M1 BADS

Analyse multidimensionnelle

**Devoir**

On se propose d’étudier les données concernant des denrées alimentaires et les catégories socio-professionnelles. On vous donne le tableau initial (Individus, variables) :

| | | | | | | | | | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | | PAO | PAA | VIO | VIA | POT | LEC | RAI | PLP | | AGRI | 167 | 1 | 163 | 23 | 41 | 8 | 6 | 6 | | SAAG | 162 | 2 | 141 | 12 | 40 | 12 | 4 | 15 | | PRIN | 119 | 6 | 69 | 56 | 39 | 5 | 13 | 41 | | CSUP | 87 | 11 | 63 | 111 | 27 | 3 | 18 | 39 | | CMOY | 103 | 5 | 68 | 77 | 32 | 4 | 11 | 30 | | EMPL | 111 | 4 | 72 | 66 | 34 | 6 | 10 | 28 | | OUVR | 130 | 3 | 76 | 52 | 43 | 7 | 7 | 16 | | INAC | 138 | 7 | 117 | 74 | 53 | 8 | 12 | 20 |

| | | | --- | --- | | **AGRI = Exploitants agricoles** **SAAG= Salariés agricoles** **PRIN = Professions indépendantes** **CSUP = Cadres supérieurs** **CMOY= Cadres moyens** **EMPL= Employés** **OUVR = Ouvriers** **INAC = Inactifs** | **PAO = Pain ordinaire** **PAA = Autre pain** **VIO = jus ordinaire** **VIA=Autre jus** **POT= Pommes de terre** **LEC=Légumes secs** **RAI=Raisin de tables** **PLP= Plats préparés** |

Les résultats de l’ACP sont les suivants :

Extrait de la matrice de corrélation

| | | | | | | | | | | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | **Matrice de corrélation** | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | Pain ordinaire | Autre pain | jus ordinaire | Autre jus | Pommes de terre | Légumes secs | Raisin de tables | | | Corrélation | PAO = Pain ordinaire | 1,000 | -,774 | ,926 | -,906 | ,656 | ,889 | -,833 | 56 | | PAA = Autre pain | -,774 | 1,000 | -,604 | ,904 | -,333 | -,673 | ,959 | ,771 | | VIO = jus ordinaire | ,926 | -,604 | 1,000 | -,750 | ,517 | ,792 | -,669 | -,828 | | VIA=Autre jus | -,906 | ,904 | -,750 | 1,000 | -,419 | -,839 | ,924 | ,720 | | POT= Pommes de terre | ,656 | -,333 | ,517 | -,419 | 1,000 | ,603 | -,410 | -,554 | | LEC=Légumes secs | ,889 | -,673 | ,792 | -,839 | ,603 | 1,000 | -,824 | -,751 | | RAI=Raisin de tables | -,833 | ,959 | -,669 | ,924 | -,410 | -,824 | 1,000 | ,834 | | PLP= Plats préparés | -,856 | ,771 | -,828 | ,720 | -,554 | -,751 | ,834 | 1,000 | | | | | | | --- | --- | --- | | **Qualités de représentation** | | | | | Initiales | Extraction | | PAO = Pain ordinaire | 1,000 | ,967 | | PAA = Autre pain | 1,000 | ,925 | | VIO = jus ordinaire | 1,000 | ,793 | | VIA=Autre jus | 1,000 | ,926 | | POT= Pommes de terre | 1,000 | ,864 | | LEC=Légumes secs | 1,000 | ,841 | | RAI=Raisin de tables | 1,000 | ,957 | | PLP= Plats préparés | 1,000 | ,814 | | Méthode d'extraction : Analyse en composantes principales. | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | **Variance totale expliquée** | | | | | | | | | | | Composante | Valeurs propres initiales | | | Sommes extraites du carré des chargements | | | Sommes de rotation du carré des chargements | | | | Total | % de la variance | % cumulé | Total | % de la variance | % cumulé | Total | % de la variance | % cumulé | | 1 | 6,208 | 77,599 | 77,599 | 6,208 | 77,599 | 77,599 | 4,484 | 56,054 | 56,054 | | 2 | ,880 | 10,996 | 88,595 | ,880 | 10,996 | 88,595 | 2,603 | 32,541 | 88,595 | | 3 | ,416 | 5,200 | 93,795 | | | | | | | | 4 | ,306 | 3,831 | 97,626 | | | | | | | | 5 | ,168 | 2,106 | 99,731 | | | | | | | | 6 | ,018 | ,226 | 99,957 | | | | | | | | 7 | ,003 | ,043 | 100,000 | | | | | | | | 8 | 2,403E-16 | 3,004E-15 | 100,000 | | | | | | | | Méthode d'extraction : Analyse en composantes principales. | | | | | | | | | |

| | | | | --- | --- | --- | | **Rotation de la matrice des composantesa** | | | | | Composante | | | 1 | 2 | | PAO = Pain ordinaire | -,728 | ,661 | | PAA = Autre pain | ,950 | -,154 | | VIO = jus ordinaire | -,608 | ,650 | | VIA=Autre jus | ,905 | -,329 | | POT= Pommes de terre | -,108 | ,923 | | LEC=Légumes secs | -,679 | ,616 | | RAI=Raisin de tables | ,938 | -,277 | | PLP= Plats préparés | ,714 | -,551 | | Méthode d'extraction : Analyse en composantes principales. Méthode de rotation : Varimax avec normalisation Kaiser. | | | | a. Convergence de la rotation dans 3 itérations. | | |

![](data:image/png;base64...)

**Travail demandé :**

1. Décrire brièvement la matrice de corrélation. Donner le couple de variables les plus corrélées et le couple de variables les moins corrélées. 2. Donner le total des valeurs propres. Quelle est la signification d’une valeur propre d’un axe i donné. 3. Quel est le nombre d’axes factoriels à choisir si on opte pour la méthode de :

* Kaiser * « Coude »

Quelle est la méthode utilisée par l’énoncé. Justifier la réponse.

1. Commenter le positionnement des variables sur la carte factorielle. Peut-on donner un sens aux deux axes. 2. Commenter le positionnement des individus. Peut-on former des groupes.