Principe des méthodes de lissage
exponentiel
La technique du lissage exponentiel est utilisée dans le cas d’une
chronique affectée d’une tendance aléatoire.
Nous supposons, que ce type de composante se présente lorsque
son évolution n’est pas modélisable par une forme fonctionnelle
Principe des méthodes de lissage
exponentiel
Le lissage regroupe l’ensemble des techniques empiriques qui ont
pour caractéristiques communes d’accorder un poids plus important
aux valeurs récentes de la chronique.
le nom de filtrage, car il s’agit d’une
Ces méthodes portent aussi
opération mathématique transformant un entrant xt en une nouvelle
chronique sortante yt .
Principe des méthodes de lissage
exponentiel
Les méthodes de lissage exponentiel sont des méthodes de
prévision à court terme ;
Elles supposent que le phénomène étudié ne dépend que de ses
valeurs passées ;
Ce sont des méthodes d'extrapolation qui donnent un poids
prépondérant aux valeurs récentes : les coefficients de pondération
décroissent exponentiellement en remontant dans le temps ;
• Les méthodes de prévision se sont développées au cours
de la seconde moitié du XXe siècle.
• La méthode de lissage exponentiel simple a été introduite
par Brown en 1962 .
• Elle a ensuite été généralisée par Holt et Winters.
• Ces méthodes sont largement diffusées et utilisées.
• Leur succès est dû à la fois à leur simplicité et à la qualité
des prévisions obtenues.
Etant donnée une série d'observations 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁, on s'intéresse
aux prévisions qu'on peut donner à la date N pour les dates futures.
De façon générale, la prévision faite à une date t pour l'horizon h,
c'est-à-dire pour la date t+h, sera notée ∶ x̂(t, h).
La méthode de lissage exponentiel simple procède par filtrage de la
série de données avec les particularités suivantes :
le filtre utilisé fait intervenir tout le passé (il est donc décentré à
gauche).
les poids attribués aux observations décroissent de façon
exponentielle en fonction de l'ancienneté de ces observations
Le succès de ces méthodes est dû à :
Leur simplicité.
La qualité des prévisions obtenues
Sans tendance sans saisonnalité
Pour cette série « Cours d'une action », série sans tendance, ni
saisonnalité, mais avec un changement de niveau, on a réalisé deux
lissages exponentiels simples (le LES nécessite le choix d'un seul
paramètre)
Le lissage exponentiel simple
Le lissage exponentiel simple (LES) s'applique à des séries
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tendance
saisonnalité
chronologiques
localement constante.
sans
et
à
Dans le cadre du LES qui s'applique à des séries sans tendance, la
prévision faite à la date T est une valeur constante indépendante
de l’horizon h
Le LES va être appliqué à la série « Cours d'une
action ».
Pour les calculs, on utilise une des deux formules
de récurrence :
•Ce sont ces formules qui sont utilisées pour
pratiquer le lissage exponentiel simple sur une
chronique. La seconde est peut-être la plus
pratiquée.
•Elles demandent le choix d'une valeur initiale, ce
que nous allons traiter dans ce qui suit.
On peut choisir pour valeur initiale :
•La moyenne de la série chronologique.
•La première observation de la série chronologique.
On choisit x1 pour initialiser le calcul
L' Erreur Absolue Moyenne accorde moins d'importance aux erreurs
élevées que l'Erreur Quadratique Moyenne.
On peut chercher le paramètre qui minimise l'Erreur Quadratique
Moyenne, mais on peut préférer minimiser
l'Erreur Absolue
Moyenne qui accorde moins d'importance aux erreurs élevées que
l'Erreur Quadratique Moyenne.
L’adaptation au changement de
niveau se fait avec retard
La valeur initiale a d'autant moins
d'influence sur les prévisions que la
série est longue
La valeur d'une prévision ne dépend
pas de l'horizon puisque la série est
sans tendance.
La méthode du lissage exponentiel simple a permis de
mettre en évidence l'importance du choix du
paramètre :
Un paramètre proche de 1 donne plus d'importance
aux observations récentes, tandis qu'un paramètre
proche de 0 renforce l'importance du passé plus
lointain.
Méthodes de lissage exponentiel
Méthode de Holt
lissage exponentiel pour
série sans saisonnalité
et à tendance localement linéaire.
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130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
xt
Prévision
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
Comme pour le lissage exponentiel
simple, l'équation de niveau montre ici
que ℓt est une moyenne pondérée
d'observation y et la prévision faite au
temps t-1 pour le temps t,
ℓt estimation du niveau (level
of the series at time t)
bt estimation du trend de la
série au temps t
L'équation de tendance montre que
bt est une moyenne pondérée de la
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tendance estimée au moment t le trend
à t-1 et la variation du niveau
0 ≤ α ≤ 1
0 ≤ β∗ ≤ 1
Exemple
library(fpp2) –
Attaching packages ggplot2 3.3.2 fma 2.4 forecast 8.13 expsmooth 2.3
> data(ausair)
> ausair
Time Series:
Start = 1970 End = 2016 Frequency = 1 [1] 7.31870 7.32660 ,,,,,,,
plot.ts(ausair)
ets(ausair, model = "AAN")
ETS(A,A,N) Call: ets(y = ausair, model = "AAN")
Smoothing parameters: alpha = 0.8481 beta = 0.097
Initial states: l = 6.5174 b = 0.6821
sigma: 2.0755
autoplot(ausair)+autolayer(ETS$fitted)
led<-ets(ausair, model = "AAN")
> led$fitted
Time Series: Start = 1970 End = 2016 Frequency = 1 [1] 7.199504 7.994300
led$par
alpha beta l b
0.84811600 0.09695788 6.51735643 0.68214725
l b
led$states
Time Series: Start = 1969 End = 2016 Frequency = 1
1969 6.517356 0.6821472
1970 7.300596 0.6937043
1971 7.428013 0.6289655
1972 7.835299 0.6036228
1973 9.240967 0.6953137
1974 10.554065 0.7659397
1975 11.095335 0.7402552
,,,,,,,,,,,,,,,,,,
Data set sous package fpp2
Data(USAccDeaths)
1.Plot de la série
2.Commentaires
3.Lisser la série par la moyenne mobile, par
LES et par LED
4.Quel est le meilleur modèle d eprévision
5.Forcaste et plot du forcaste.
On suppose la tendance localement linéaire.
Cette tendance est donc définie à chaque date par:
- Son ordonnée appelée « niveau »,
- La pente qui définit la direction de la droite de prévision.
Exercice
Lissage de Winters
Le lissage de Winters concerne les séries chronologiques saisonnières
Effet de saison additif
Effet de saison multiplicatif
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Le nombre total d'observations = n*p = 52 avec p = 4
N = 52/4 = 13
La période de la saisonnalité est = p
la série a été observée sur n années
Mk moyenne de l’année k
Le lissage de winters a l’avantage d’intégrer la saisonnalité,
On établit une fonction localement linéaire dont la pente et le
niveau sont tous deux estimés à partir des réalisations passées
et de prévisions, ces dernières sont déterminées à partir des
constantes de lissage,
On rajoute simplement une constante de lissage pour tenir
compte de la saisonnalité,
Prévisions avec le modèle additif
Constantes
0,4
0,2
0
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
observation
61,5
63,2
55,8
71,4
70
71,4
63,9
78,9
78,3
78,6
71,9
87
86,2
87,5
80,1
92,5