Les Processus ARMA

Cette représentation consiste en l’adjonction d’une composante

autorégressive d’ordre ﬁni (AR) et d’une composante moyenne

mobile (MA) d’ordre fini.

Le processus stationnaire (xt,t∈Z) satisfait une représentation

ARMA, d’ordre p et q, notée ARMA(p,q), si et seulement si :

Les diﬀérentes conditions sur les paramètres φj et θj signiﬁent

que dans ARMA(p,q), tous les paramètres du polynômes Φ(L)

peuvent être nuls à l’exception du paramètre correspondant

au pème retard et que tous les paramètres du polynômes Θ(L)

peuvent être nuls à l’exception du paramètre correspondant

au qème retard.

Tout comme pour les AR, la constante c ne correspond pas dans

ce cas à l’espérance du processus (xt,t∈Z).

Cette dernière est donnée par la même relation que celle obtenue

pour l’AR :

Exemples

Identifier ces deux processus ARMA (ordre) et calculer

leur espérance

2) Simuler pour n= 500 et voir s’ils sont stationnaires

2) Simuler ces deux processus pour n =500

3) Ces deux processus sont-ils stationnaires

z1 = 2 + arima.sim(n=500, list(ar=c(-0.5, 0, 0.2), ma=-0.5))

z2 = arima.sim(n=500, list(ar=c(0.2, 1.5), ma=c(0.5, 0, 0, 0.6)))

Error in arima.sim(n = 500, list(ar = c(0.2, 1.5), ma = c(0.5, 0, 0, 0.6))) :

la partie 'ar' du mopdèle n'est pas stationaire

On constate que le processus z1 est centré autour de sa moyenne

et semble être un processus stationnaire. En revanche, le processus

z2, de moyenne nulle, ne semble pas être un processus stationnaire.

En eﬀet, comme nous allons le voir il existe certaines conditions sur

les processus ARMA pour que ces derniers soient stationnaires. Ici,

ces conditions ne sont pas satisfaites.

Stationnarité et inversibilité

 Les conditions de stationnarité d’un processus ARMA sont

les racines (Equation ) du (polynôme)

déterminées par

associées à sa composante AR.

Donc sous l’hypothèse |φ|< 1,

stationnaire.

le processus (xt,t∈Z) est

 Les conditions d’inversibilité sont déterminées par les racines

du polynôme associé à sa composante MA.

on montre que si |θ|< 1, Θ(L) est inversible

ARMA(1,0)

ARMA(0,1)

ARMA(2,0)

2ème

méth

ode

plot(acf(X),lwd=5,col="red")

> plot(pacf(X),lwd=5,col="red")

Exercice