Processus Stochastique
On utilise le terme de processus stochastique (aléatoire) pour
décrire une variable dont le comportement ne peut pas être
exprimé entièrement par une relation déterministe.
Les séries temporelles non déterministes seront appelées alors
séries stochastiques, et sont alors des processus stochastiques
(propriété mathématique).
Processus Stochastique
Un processus aléatoire est une suite de variables aléatoires (on parle
aussi d’une collection de variables aléatoires) indexées dans le temps
et définie sur un espace des états de la nature.
Ainsi, pour chaque instant du temps, la valeur de la quantité étudiée
Yt est appelée variable aléatoire et l’ensemble des valeurs Yt quand t
varie est appelé processus aléatoire. t=1,2,3,4,….T
Le moment auquel
information importante sur le phénomène observé.
l’observation est faite est généralement une
L’indice t (t appartenant à un ensemble T) s’interprète comme la date
à laquelle est faite l’observation ou comme la période sur laquelle
elle porte.
T= IN ou Z
Prolonger l’ensemble des indices vers +∞ permet en effet de prendre
en compte la possibilité d’observations nouvelles et d’étudier les
propriétés asymptotiques des diverses procédures statistiques.
Une observation d’une série temporelle sur une période de 10 ans
par exemple représente une réalisation de ce processus.
On dit qu’une réalisation de la série décrit une histoire du
processus.
Par analogie en statistique:
Nous avons une variable aléatoire X observée dans des
échantillons, x1 est une réalisation dans le premier échantillon, x2
dans le 2ème, …
Exemple de processus stochastique
Exemple sous R:
Créer un bruit blanc iid N(0;1) pour
n=200
Autrement dit réalisation du
processus stochastique de 200 N(0;1)
z<-rnorm(200, mean=0, sd=1)
>- as.ts(z)
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Time Series:
Start = 1
End = 200
Frequency = 1
plot.ts(z)
Créer un bruit blanc pour iid (0 , 2) n = 200
Processus stationnaire
Pour travailler avec des données temporelles, elles doivent conserver une
distribution constante dans le temps. C’est le concept de stationnarité.
Série chronologique stationnaire la distribution des variables chronologiques ne
varie pas dans le temps.
Ces processus sont caractérisés par le fait que leurs propriétés ne changent pas
au cours du temps
Un concept mois fort de stationnarité est généralement utilisé, la covariance
stationnaire ou stationnarité de second de degré.
Ainsi, un processus aléatoire est strictement stationnaire si toutes ces
caractéristiques, c’est-`a-dire tous ces moments sont invariants pour tout
changement de l’origine du temps.
Mais la stationnarité au sens strict est trop restrictive et on assouplit cette
condition en définissant la stationnarité du second ordre.
On dit que le processus Yt, t ∈ T, est stationnaire au sens strict
(ou fortement stationnaire)
si
la loi de {Yt1,...,Y tn} est la même que la loi de {Yt1+τ,...,Y tn+τ}
pour tout (t1,t2,...,tn)
avec ti ∈T, pour i =1,...,n
et pour tout τ ∈T avec ti+τ ∈T.
La stationnarité du second ordre:
Un processus Yt, t ∈T est dit stationnaire du second ordre (ou
faiblement stationnaire)
En résumé, un processus Yt est dit stationnaire du second ordre si
sa moyenne, sa variance et sa covariance sont indépendantes du
temps et si sa variance est finie (convergente).
Un tel processus est sans tendance en moyenne et sans tendance
en variance.
Un tel processus admet donc une loi, qui pour ses deux premiers
moments (E(X) et var(X)), est invariante par changement de l’origine
des temps.
En particulier, les variables Yt ont une même variance égale à γ(0) :
propriété d’homoscédasticité.
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Sur la figure sont représentées quelques réalisations de processus
stationnaires et non stationnaires sur un échantillon de 200 points. On
constate que les variables yc et y (quadrants sud-est et sud-ouest) sont
a priori non stationnaires.
La première série est décroissante sur les 150 premiers points ce qui
viole la condition de stationnarité du moment d’ordre un, puisque
l’espérance des variables yc,t semble ici décroissante avec t. La
seconde série, semble quant à elle violer la condition sur les moments
d’ordre deux puisque la variance ne semble pas identique sur
l’ensemble de l’échantillon.
La série semble plus volatile sur les 100 derniers points que sur la
première partie de l’échantillon.
En revanche, les deux séries xc et x (quadrants nord-est et nord-
ouest) peuvent être des réalisations d’un processus stationnaire;
La variance semble identique sur l’ensemble de l’échantillon et
les autocovariances ne semblent pas être fonction du temps.
L’exemple le plus connu de processus stationnaire est le
processus bruit blanc ( White noise).
Un Bruit Blanc est une suite de v.a.r. εt, t∈T telle que :
Il s’agit d’une suite de v.a.r. homoscédastiques et non auto
corrélées
(et même indépendantes, c’est pourquoi on parle aussi de
processus i.i.d. pour
identiquement et indépendamment distribué.
Ces processus sont très souvent utilisés en analyse des séries
temporelles car ils constituent en quelque sorte les ”briques
élémentaires” de l’ensemble des processus temporels.
la suite que tout processus
En effet, nous verrons par
stationnaire peut s’écrire comme une somme pondérée de
bruits blancs (théorème de Wold).
La première condition signifie tout simplement que
l’espérance du processus est indépendante du temps, et de
plus qu’elle est nulle.
La seconde condition implique bien entendu l’indépendance
de la fonction d’auto covariance par rapport au temps
(stationnarité).
Mais elle implique en outre que les termes d’auto covariances
(pour h =0) sont tous nuls.
Seule la variance est non nulle.
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Autrement dit, cela signifie que les bruits blancs sont des
processus stationnaires particuliers sans ”mémoire”.
Le niveau de la série considéré aujourd’hui n’a aucune incidence
sur son niveau de demain, tout comme le niveau d’hier n’a aucune
incidence sur le niveau d’aujourd’hui.
C’est pourquoi, le terme bruit blanc provient de l’analogie
dans le domaine des fréquences entre la densité
spectrale d’une variable i.i.d. (constante) et le spectre de
la lumière blanche dans le spectre des couleurs.
En outre, on parle de bruit blanc gaussien lorsque la loi
de probabilité du processus est elle même gaussienne.
Autocovariance et Autocorrélation
Un processus est caractérisé par une autocorrélation simple et une
autocorrélation partielle
1)La fonction d’auto covariance:
La fonction d’auto covariance {γ(h)} h∈Z mesure
la covariance entre une variable et cette même variable à des dates
différentes, pour un délai h:
Elle fournit une information sur la variabilité de la série et sur les
liaisons temporelles qui existent entre les diverses composantes de
la série Yt.
Exemple sous R:
Z<-rnorm(n=100)
Z<-ts(z)
z<-ts(z)
> plot.ts(z)
> mean(z)
[1] -0.008674952
> sd(z)
[1] 0.9163682
acf(z, type = c("covariance"))
> acov<- acf(z, type = c("covariance"))
> acov
Autocovariances of series ‘z’, by lag
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0.83133 0.02895 0.01461 -0.01617 0.04743 -0.05586 -0.14946
0.03036 -0.00117 0.00938
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
0.01846 -0.00762 -0.06642 -0.00571 -0.15665 -0.05500 -0.07073 -
0.00613 -0.03708 -0.00475
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0.22244
Fonction d’autocovariance
2) La fonction d’autocorrélation:
La fonction d’autocorrélation est définie par :
On appelle coefficient d’autocorrélation d’ordre 1
(resp. d’ordre k) :
le coefficient de corrélation linéaire ρ(1) (resp. ρ(k)) calculé entre
la série et cette série décalée d’une période (resp. k périodes).
Exemple:
> corlz<- acf(z, type=c("correlation"))
> corlz
Autocorrelations of series ‘z’, by lag
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12 13
1.000 0.035 0.018 -0.019 0.057 -0.067 -0.180 0.037 -
0.001 0.011 0.022 -0.009 -0.080 -0.007
14 15 16 17 18 19 20
-0.188 -0.066 -0.085 -0.007 -0.045 -0.006 0.268
On définit la matrice de corrélation (de dimension m) de
la manière suivante :
3) La fonction d’autocorrélation partielle
Elle mesure la liaison (linéaire) entre Yt et Yt−h une fois retirés
les liens transitant par les variables intermédiaires Yt−1,...,Y
t−h+1.
Le coefficient d’autocorrélation partielle d’ordre h, noté r(h),
est le coefficient de corrélation entre :
Le coefficient d’autocorrélation partielle d’ordre h d’un processus
stationnaire est alors ah et se calcule de la manière suivante :
> pacf(z)
> p=pacf(z)
> p
Partial autocorrelations of series 'z', by lag
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0.035 0.016 -0.021 0.058 -0.071 -0.179 0.055 -0.003 0.009
0.043 -0.044
12 13 14 15 16 17 18 19 20
-0.111 0.019 -0.203 -0.051 -0.056 -0.044 -0.056 -0.016 0.212