Principe des méthodes de lissage

exponentiel

 La technique du lissage exponentiel est utilisée dans le cas d’une

chronique affectée d’une tendance aléatoire.

 Nous supposons, que ce type de composante se présente lorsque

son évolution n’est pas modélisable par une forme fonctionnelle

Principe des méthodes de lissage

exponentiel

Le lissage regroupe l’ensemble des techniques empiriques qui ont

pour caractéristiques communes d’accorder un poids plus important

aux valeurs récentes de la chronique.

le nom de filtrage, car il s’agit d’une

Ces méthodes portent aussi

opération mathématique transformant un entrant xt en une nouvelle

chronique sortante yt .

Principe des méthodes de lissage

exponentiel

 Les méthodes de lissage exponentiel sont des méthodes de

prévision à court terme ;

 Elles supposent que le phénomène étudié ne dépend que de ses

valeurs passées ;

 Ce sont des méthodes d'extrapolation qui donnent un poids

prépondérant aux valeurs récentes : les coefficients de pondération

décroissent exponentiellement en remontant dans le temps ;

• Les méthodes de prévision se sont développées au cours

de la seconde moitié du XXe siècle.

• La méthode de lissage exponentiel simple a été introduite

par Brown en 1962 .

• Elle a ensuite été généralisée par Holt et Winters.

• Ces méthodes sont largement diffusées et utilisées.

• Leur succès est dû à la fois à leur simplicité et à la qualité

des prévisions obtenues.

Etant donnée une série d'observations 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁, on s'intéresse

aux prévisions qu'on peut donner à la date N pour les dates futures.

De façon générale, la prévision faite à une date t pour l'horizon h,

c'est-à-dire pour la date t+h, sera notée ∶ x̂(t, h).

La méthode de lissage exponentiel simple procède par filtrage de la

série de données avec les particularités suivantes :

le filtre utilisé fait intervenir tout le passé (il est donc décentré à

gauche).

les poids attribués aux observations décroissent de façon

exponentielle en fonction de l'ancienneté de ces observations

Le succès de ces méthodes est dû à :

Leur simplicité.

La qualité des prévisions obtenues

 Sans tendance sans saisonnalité

 Pour cette série « Cours d'une action », série sans tendance, ni

saisonnalité, mais avec un changement de niveau, on a réalisé deux

lissages exponentiels simples (le LES nécessite le choix d'un seul

paramètre)

Le lissage exponentiel simple

Le lissage exponentiel simple (LES) s'applique à des séries

tendance

saisonnalité

chronologiques

localement constante.

sans

Dans le cadre du LES qui s'applique à des séries sans tendance, la

prévision faite à la date T est une valeur constante indépendante

de l’horizon h

Le LES va être appliqué à la série « Cours d'une

action ».

Pour les calculs, on utilise une des deux formules

de récurrence :

•Ce sont ces formules qui sont utilisées pour

pratiquer le lissage exponentiel simple sur une

chronique. La seconde est peut-être la plus

pratiquée.

•Elles demandent le choix d'une valeur initiale, ce

que nous allons traiter dans ce qui suit.

On peut choisir pour valeur initiale :

•La moyenne de la série chronologique.

•La première observation de la série chronologique.

On choisit x1 pour initialiser le calcul

L' Erreur Absolue Moyenne accorde moins d'importance aux erreurs

élevées que l'Erreur Quadratique Moyenne.

On peut chercher le paramètre qui minimise l'Erreur Quadratique

Moyenne, mais on peut préférer minimiser

l'Erreur Absolue

Moyenne qui accorde moins d'importance aux erreurs élevées que

l'Erreur Quadratique Moyenne.

L’adaptation au changement de

niveau se fait avec retard

La valeur initiale a d'autant moins

d'influence sur les prévisions que la

série est longue

La valeur d'une prévision ne dépend

pas de l'horizon puisque la série est

sans tendance.

La méthode du lissage exponentiel simple a permis de

mettre en évidence l'importance du choix du

paramètre :

Un paramètre proche de 1 donne plus d'importance

aux observations récentes, tandis qu'un paramètre

proche de 0 renforce l'importance du passé plus

lointain.

Méthodes de lissage exponentiel

Méthode de Holt

lissage exponentiel pour

 série sans saisonnalité



et à tendance localement linéaire.

130

120

110

100

Prévision

Comme pour le lissage exponentiel

simple, l'équation de niveau montre ici

que ℓt est une moyenne pondérée

d'observation y et la prévision faite au

temps t-1 pour le temps t,

 ℓt estimation du niveau (level

of the series at time t)

 bt estimation du trend de la

série au temps t

L'équation de tendance montre que

bt est une moyenne pondérée de la

tendance estimée au moment t le trend

à t-1 et la variation du niveau

0 ≤ α ≤ 1

0 ≤ β∗ ≤ 1

Exemple

 library(fpp2) –

 Attaching packages ggplot2 3.3.2 fma 2.4 forecast 8.13 expsmooth 2.3

 > data(ausair)

 > ausair

 Time Series:

 Start = 1970 End = 2016 Frequency = 1 [1] 7.31870 7.32660 ,,,,,,,

plot.ts(ausair)

ets(ausair, model = "AAN")

 ETS(A,A,N) Call: ets(y = ausair, model = "AAN")

 Smoothing parameters: alpha = 0.8481 beta = 0.097

 Initial states: l = 6.5174 b = 0.6821

 sigma: 2.0755

autoplot(ausair)+autolayer(ETS$fitted)

led<-ets(ausair, model = "AAN")

> led$fitted

Time Series: Start = 1970 End = 2016 Frequency = 1 [1] 7.199504 7.994300

led$par

 alpha beta l b

 0.84811600 0.09695788 6.51735643 0.68214725

l b

led$states

 Time Series: Start = 1969 End = 2016 Frequency = 1



 1969 6.517356 0.6821472

 1970 7.300596 0.6937043

 1971 7.428013 0.6289655

 1972 7.835299 0.6036228

 1973 9.240967 0.6953137

 1974 10.554065 0.7659397

 1975 11.095335 0.7402552

 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,

Data set sous package fpp2

Data(USAccDeaths)

1.Plot de la série

2.Commentaires

3.Lisser la série par la moyenne mobile, par

LES et par LED

4.Quel est le meilleur modèle d eprévision

5.Forcaste et plot du forcaste.

On suppose la tendance localement linéaire.

Cette tendance est donc définie à chaque date par:

Son ordonnée appelée « niveau »,
La pente qui définit la direction de la droite de prévision.

Exercice

Lissage de Winters

Le lissage de Winters concerne les séries chronologiques saisonnières

 Effet de saison additif

 Effet de saison multiplicatif

Le nombre total d'observations = n*p = 52 avec p = 4

N = 52/4 = 13

La période de la saisonnalité est = p

la série a été observée sur n années

Mk moyenne de l’année k

Le lissage de winters a l’avantage d’intégrer la saisonnalité,

On établit une fonction localement linéaire dont la pente et le

niveau sont tous deux estimés à partir des réalisations passées

et de prévisions, ces dernières sont déterminées à partir des

constantes de lissage,

On rajoute simplement une constante de lissage pour tenir

compte de la saisonnalité,

Prévisions avec le modèle additif

Constantes

0,4

0,2

observation

61,5

63,2

55,8

71,4

63,9

78,9

78,3

78,6

71,9

86,2

87,5

80,1

92,5