Logique Mathématique Exam

g)

Pour chaque expression correcte syntaxiquement, préciser :

1) si c’est un terme, une formule atomique ou une formule bien formée

2) pour chaque occurrence de variable dans les formules bien formées, si elle est liée

ou libre

Exercice 2

Soient les assertions suivantes :

John aime toutes les sortes de nourriture. Tout ce que quelqu'un mange et qui ne le tue

pas est de la nourriture. Bill mange des chips et cela ne l’a pas tué.

Prouver en utilisant le principe de résolution que John aime les chips

On prend pour constantes John, Bill, Chips et pour prédicats :

A(x,y) : x aime y

M(x,y) : x mange y

T(x,y) : x tue y

N(x) : x est de la nourriture

Exercice 3

En patinage artistique, les décisions des jurys classant les candidats relèvent d'une

subjectivité qu'il est souvent de bon ton de dénigrer, a fortiori lorsque les sportifs d'un

• 1 -

yx),(yxg)),((yxgR)),())(((yxyRxfxP)),(),((cygxfR

pays n'obtiennent pas les résultats escomptés par leurs compatriotes... Lassés de ces

critiques perpétuelles, un trio de juges facétieux a le don d'exaspérer les commentateurs

et les sportifs par des affirmations qui sont tantôt vraies, tantôt fausses. Laetitia,

Patricia et Surya voudraient bien savoir si elles sont qualifiées dans le dernier groupe

de la finale olympique. Ayant plus révisé leurs triples axels que leur logique des

propositions, elles font appel à vos compétences pour démêler cet écheveaux. Sauriez-

vous les aider en utilisant la méthode de votre choix ?

1 — Laetitia recueille les affirmations suivantes auprès du jury :

Nikolaï : L'un de nous au moins va vous mentir.

Omar : Vous êtes qualifiée, toutes mes félicitations !

Peter : Nikolaï a dit la vérité.

Après mure réflexion, Laetitia saute de joie en s'écriant "Je suis qualifiée !". Une

cruelle désillusion l'attend-elle ?

2 — C'est au tour de Patricia de se présenter maintenant face aux juges.

Nikolaï : Désolé, vous n'êtes pas qualifiée.

Omar : Ne l'écoutez pas, Nikolaï ne dit jamais la vérité.

Peter : Je ne sais pas si vous devez croire Omar ! En effet, deux d'entre nous, au moins,

vous mentent!

Croyant Nikolaï sur parole, Patricia repart la tête basse en marmonnant "Ma triple

boucle piquée m'a perdue".

Un petit calcul logique saura-t-elle la réconforter ?

3 — Enfin, Surya affronte ce trio diabolique.

Nikolaï : Je n'ai qu'une chose à dire : Peter vous dira la vérité..

Omar : Si vous êtes qualifiée, c'est que Nikolaï vous a menti !

Peter : Omar dit la vérité. En tous cas, je vous félicité, vous êtes qualifiée.

Se perdant en conjoncture, Surya reste prostrée face au jury. Sauriez-vous trouver la

conclusion que l'on peut tirer de ces trois affirmations ?

Exercice 4

l’assassin est quelqu’un qui peut désirer tuer jean, qui possède une arme et qui n’a

Jean a été tué mardi. Les seuls suspects sont : luc, paul, alain, bernard, et louis. Bien

sûr :

-

pas vraiment un alibi pour mardi,

• un alibi donné par quelqu’un de douteux ne peut pas être pris en compte,
• quelqu’un peut désirer tuer jean s’il a intérêt à tuer jean ou s’il désire se venger,
• et quelqu’un a intérêt à tuer jean s’il en est l’héritier ou s’il lui doit de l’argent ou

si jean l’a surpris en train de commettre un crime.

L’enquête détaillée a établi les faits suivants :

-

luc a un alibi pour mardi donné par bernard

• paul a un alibi pour mardi donné par bernard

-

louis a un alibi pour mardi donné par luc

• alain a un alibi pour jeudi donné par luc

• 2 -

• alain est un personnage douteux
• paul désire se venger de jean

-

luc désire se venger de jean

• bernard est héritier de jean

-

jean est héritier de louis

-

louis doit de l’argent à jean

-

luc doit de l’argent à jean

-

jean a vu alain commettre un crime

-

luc possède une arme

-

louis possède une arme

• alain possède une arme

1. Ecrire les connaissances précédentes dans la logique des prédicats.

2. Déterminer qui a tué jean mardi ?

• 3 -