Examen Probabilités Appliquées

sont ab^(cid:16)m(cid:19)ees. Le g(cid:19)erant estime que :

(cid:15) 60% des bo^(cid:16)tes ab^(cid:16)m(cid:19)ees contiennent au moins un CD-ROM d(cid:19)efectueux.

(cid:15) 98% des bo^(cid:16)tes non ab^(cid:16)m(cid:19)ees ne contiennent aucun CD-ROM d(cid:19)efectueux.

Un client ach(cid:18)ete une boite du lot. On d(cid:19)esigne par A l’(cid:19)ev(cid:19)enement : "la boite est ab^(cid:16)m(cid:19)ee" et

par D l’(cid:19)ev(cid:19)enement "la boite achet(cid:19)ee contient au moins un CD-ROM d(cid:19)efectueux".

1. Traduire les (cid:19)enonc(cid:19)es en langage probabiliste.

2. Calculer P (D).

3. Calculer P (A \ D).

4. Le client constate qu’un des CD-ROM achet(cid:19)e est d(cid:19)efectueux. Quelle est la probabilit(cid:19)e

pour qu’il ait achet(cid:19)e une boite ab^(cid:16)m(cid:19)ee.

Exercice 2:(5 pts)

Sur 100 personnes interrog(cid:19)ees sur l’utilisation de deux produits A et B, 40 utilisent au moins

A , 28 utilisent au moins B et 10 utilisent A et B. On choisit une personne au hasard. Quelle

est la probabilit(cid:19)e des (cid:19)ev(cid:19)enements suivants ? E

1. La personne utilise au moins l’un des deux produits.

2. La personne n’utilise aucun des deux produits.

3. La personne utilise un seul des deux produits.

4. Ces deux produits sont n(cid:19)ecessaire pour la r(cid:19)eussite de l’entretien d’un appareil. On a 3

chances sur 10 de r(cid:19)eussir l’entretien si on n’utilise que le produit A, 2 chances sur 10 de

r(cid:19)eussir l’entretien si on n’utilise que le produit B et 4 chances sur 10 de r(cid:19)eussir l’entretien

si on utilise les deux produits.

(a) Donner la probabilit(cid:19)e de r(cid:19)eussir l’entretien.

1

(b) Consid(cid:19)erons un appareil n’ayant pas un entretien r(cid:19)eussi, quelle est la probabilit(cid:19)e

qu’on se soit bas(cid:19)e sur les deux produits pour son entretien.

Exercice 2:(11 pts)

Le service de d(cid:19)epannage d’un grand magasin dispose d’(cid:19)equipes intervenant sur appel de la

client(cid:18)ele. Pour des causes diverses, les interventions ont parfois lieu avec retard. On admet

que les appels se produisent ind(cid:19)ependamment les uns des autres, et que, pour chaque appel,

la probabilit(cid:19)e d’un retard d’intervention est de p.

1. Un client appelle le service (cid:18)a n reprises. On d(cid:19)esigne par X la variable al(cid:19)eatoire prenant

pour valeurs le nombre de fois o(cid:18)u ce client a d^u subir un retard d’intervention.

(a) D(cid:19)eterminer la loi de probabilit(cid:19)e de X.

(b) Calculer l’esp(cid:19)erance de X.

(c) Calculer la probabilit(cid:19)e de l’(cid:19)ev(cid:19)enement : "Le client a subi au moins un retard".

2. Le nombre d’appels re(cid:24)cus par jour est une variable al(cid:19)eatoire Y qui suit une loi de Poisson

de param(cid:18)etre (cid:21).

P (Y = k) = e(cid:0)(cid:21) (cid:21)k

k!

8k 2 N

A la variable al(cid:19)eatoire Y on associe la fonction r(cid:19)eelle GY d(cid:19)e(cid:12)nie par:

8t 2 R; GY (t) = E(tY )

(a) D(cid:19)eterminer GY .

(b) Calculer E(Y ).

3. Le nombre d’appels re(cid:24)cus par jour est une variable al(cid:19)eatoire Y qui suit une loi de Poisson

de param(cid:18)etre (cid:21). On note R la variable al(cid:19)eatoire :nombre d’appels trait(cid:19)es en retard.

(a) Quelle est la loi de probabilit(cid:19)e conditionnelle de la v.a R sachant que Y = k ?

(b) Quelle est la loi de probabilit(cid:19)e conjointe des v.a R et Y ?

(c) D(cid:19)eterminer la loi de R.

(d) Donner l’expression sans faire de calculs de :P (R = r=Y (cid:21) y)

(e) Donner l’expression sans faire de calculs de :P (R = r; Y (cid:21) y)

4. En 2014, le standard a re(cid:24)cu une succession d’appels. On note U , la v.a "le premier appel

trait(cid:19)e en retard". Quelle est la loi de U ?

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