Sciences Industrielles
TD 1 - Enoncé
Dérivée vectorielle
TD1 énoncé : Dérivée Vectorielle
1. BRAS MANIPULATEUR : LES DONNEES.
1.1. Présentation schématique du bras manipulateur.
Le système mécanique est constitué d’un robot 0et de trois solides 1, 2, 3. La représentation schématique est donnée ci-dessous.
y3
D
γγγγ
3
C
y1
x2
z0
1
αααα
A
0
y1
2
x1
ββββ
B
x0
Cette représentation est appelée schéma cinématique du bras manipulateur. Ce schéma est enrichi du :
• Repérage : à chaque solide a été affecté un repère orthonormé direct. • Paramétrage : chaque repère défini lors du repérage doit être positionné par rapport à un (ou
plusieurs) autre (s) . Les paramètres mis en évidence seront appelés mobilités du système mécanique. Ici, pour pouvoir animer le système, il est nécessaire de disposé de trois moteurs. C’est pourquoi, m=3 βα t ),( ( cinématique. Les positions, les vitesses et les accélérations définissant la cinématique, seront donc exprimée en fonction
) défini le nombre de paramètres juste nécessaire pour définir toute la
et leur dérivée première ou seconde par rapport au temps.
γβα
γ )(et t
t )(,)( t
t ),(
t )(
1.2. Passage progressif d’une réalité vers une modélisation du point de vue de la
cinématique.
Une représentation structurelle de ce système sous forme de Graphe de structure (ou de liaison) est très utile lors d’une analyse mécanique d’un mécanisme.
1.2.1. Graphe des structures (ou de liaisons)
rrr , zyxR , ) 0 00
( 0
rrr ), zyxR ,( 1111
L01
0
1
L12
rrr ), zyxR ,( 2222
2
L23
rrr ,( zyxR ), 3333
3
• Les ronds de couleur représentent les sommets du graphe et modélisent des solides
(indéformables). Chaque solide est affecté un repère orthonormé direct.
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Dérivée vectorielle
• Les traits noirs sont appelés : arcs du graphe et modélisent les contacts entre les différents
solides composant le mécanisme. Ces arcs sont modélisés par des liaisons qui définissent la cinématique entre les deux solides reliés.
01zA r ,( ) L01 : Liaison pivot d’axe 12yB r L12 : Liaison pivot d’axe ,( ) 23xC r ,( L23 : Liaison pivot d’axe ) r = . Cette notation est très utile lors des calculs de r r = et r r = , r x 2 x z 0 z 1 y y Le double indice indique que : 1 2 3 dérivées vectorielles des vecteurs unitaires.
1.3. Définition de la géométrie juste nécessaire pour étudier la cinématique du bras
manipulateur En reprenant le graphe de structure :
rrr , zyxR , 0 00
( 0
)
rrr ), zyxR ,( 1111
L01
0
1
L12
rrr ), zyxR ,( 2222
L23
2
rrr ,( zyxR ), 3333
3
D
Liaison pivot d'axe A,z01
Liaison pivot d'axe B,y12
Liaison pivot d'axe C,x23
Les points A, B, C et D sont indiqués sur le graphe de structure. Le point D est un point défini sur le solide 3. les points A, B, C sont des points liés aux caractéristiques des liaisons identifiées dans le mécanisme. On appelle aussi ces points (A, B, C) les points idéaux associés aux liaisons. Il est donc nécessaire de les positionner relativement les uns par rapport aux autres. → CD
Quatre points nous donnent au minimum trois vecteurs :
→ BC
→ AB
;
=
=
=
r xh ; . 1
r xd . 23
r yL . 3
2. QUESTIONS
2.1. Représenter graphiquement
le repérage relatif des différents repères intervenants dans la modélisation du bras manipulateur et donner l’expression
des vecteurs rotations :
→ Ω
→ Ω , 0/1 RR
→ Ω , 1/2
, 23 RR
RR
Cette représentation plane doit être définie comme ci-dessous (voir cours sur les dérivées vectorielles)
y1
y0
x1
x0
θθθθ
A
z1
z0
Dans un mouvement en rotation autour de l’axe r z
par rapport au repère
r x repère que l’angle θ est défini par
10 xx rr ), (
, le vecteur
(1
r y
R
)
,
,
1
1
1
du
(A,
10zr ) rrr zyxR , , ) 0 0 0
(0
, tel
rotation
→ Ω
RR
0/1
→ θ& = z 10
.
Remarques : en général, le premier travail à réaliser en cinématique (rechercher de vitesses ou accélérations) se traduit par la détermination des vecteurs rotations pour se donner la possibilité de dériver par rapport au temps.
2.2. Déterminer la vitesse
→
V
∈
0/1 RRB
=
→ ABd dt
R
0
en dérivant le vecteur
→ AB .
Remarque : A est un point lié au solide 0 et B est un point lié au solide 1.
2.3. Déterminer la vitesse
→
V
∈
1/2 RRC
=
→ BCd dt
1 R
en dérivant le vecteur
→ BC .
Remarque : B est un point lié au solide 1 et C est un point lié au solide 2 et
→ Ω
RR
1/3
Ω=
→
→
Ω+
.
1/2 RR
2/3 RR
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2.4. Déterminer la vitesse
Dérivée vectorielle
=
→ CDd dt
2 R
en dérivant le vecteur
→ CD .
→
V
∈
RRD
2/3
Remarque : C est un point lié au solide 2 et D est un point lié au solide 3 .
2.5. Déterminer la vitesse
→
V
∈
0/2 RRC
=
→ ACd dt
R
0
en dérivant le vecteur
→ AC .
Remarque : A est un point lié au solide 0 et C est un point lié au solide 2.
2.6. Déterminer la vitesse
→
V
∈
RRD
0/3
=
→ ADd dt
0 R
en dérivant le vecteur
→ AD .
Remarque : A est un point lié au solide 0 et D est un point lié au solide 3 .
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TD 1 - Corrigé
Dérivée vectorielle
TD1 corrigé : Dérivée Vectorielle 1. RÉPONSES AUX QUESTIONS ET CONSEILS....................................................................... 1
1.1. REPONSES A LA QUESTION 2-1................................................................................................. 1 1.2. REPONSES A LA QUESTION 2-1................................................................................................. 1 1.3. REPONSES A LA QUESTION 2-2................................................................................................. 2
1. RÉPONSES AUX QUESTIONS ET CONSEILS.
1.1. Réponses à la question 2-1
- Liaison pivot d’axe
Publicité
(A,
y1
y0
αααα
A
z1
z0
10zr
)
x1
x0
- Liaison pivot d’axe
(B,
12yr
)
repère
Dans un mouvement en rotation autour de l’axe rrr zyxR , , ) 0 0 0 → Ω
par rapport au repère
rrr zyxR ), ,(1 111
)(tα est défini par
, le vecteur rotation
(0
10 xx rr ), (
RR 0/1
→ α& = z 10
.
(A,
10zr )
du
, tel que l’angle
z2
ββββ
repère
rrr zyxR , , ) 2 2 2
Dans un mouvement en rotation autour de l’axe rrr ,(1 ), zyxR 111 → Ω
par rapport au repère 1 xx rr ,(
)(tβ est défini par
, le vecteur rotation
) 23
RR
(2
1/2
(B,
=
β&
→ y 12
.
12yr )
du
, tel que l’angle
x1
x23
ββββ
B
y12
z01
→ x ) 23
Liaison pivot d’axe
(C,
z3
z2
y3
γγγγ
y12
C
x23
repère
Dans un mouvement en rotation autour de l’axe rrr , , ) zyxR 22 2 → Ω
par rapport au repère
rrr zyxR ,(3 ), 33 3
)(tβ est défini par
, le vecteur rotation
(2
(
→→ yy , ) 12 3
RR
2/3
(C,
, tel que l’angle
→ x ) 23
du
→ x 23
γ& =
.
1.2. Réponses à la question 2-1
la vitesse
→
V
∈
RRB 0/1
=
→ ABd dt
R
0
en dérivant le vecteur
→ AB .
Remarque : A est un point lié au solide 0 et B est un point lié au solide 1.
Conseil important : Ecrire le vecteur → AB
→ = ua .
un élément des bases mises en évidence,
→ AB le plus simplement du monde. C’est à dire de la forme : → u un vecteur pouvant être égal à rrr ,(3 (2 ), zyxR 3 33
rrr , , ) zyxR 2 2 2
rrr , , ) zyxR 0 0 0
rrr ), zyxR ,(1 111
lors du
(0
,
,
,
tel que a soit un scalaire (dépendant ou non du temps) et
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Dérivée vectorielle
→ AB
→ = 1.xh
paramétrage et du repérage. Ici dans quel repère projeter le vecteur résultat. = h
→ ABd dt
=
d’où
RRB 0/1
→
V
R 0
∈
→ xd 1 dt
R 0
Ω= h
→
RR 0/1
∧
→ x 1
→→ α ∧ = . h z x & 1 01
→ α . yh &
12
=
. En agissant ainsi, vous ne vous poserez pas la question :
→
V
∈
RRB 0/1
=
→ ABd dt
R 0
=
→ α& .yh
12
Projeter dans un autre repère serait une ânerie et une perte de temps inutile.
1.3. Réponses à la question 2-3
La vitesse
→
V
∈
RRC 1/2
=
→ BCd dt
R 1
en dérivant le vecteur
→ BC .
Remarque : B est un point lié au solide 1 et C est un point lié au solide 2.
En respectant le conseil donner à la réponse à la question 2-1, = d .
→ BCd dt
=
d’où
RRC 1/2
→
V
R 1
∈
=
→ .xd
23
→ BC → xd 23 dt
R 1
. d
→ xd 23 dt
R 1
Ω= d
→
RR 1/2
∧
→ x 23
= d
β . &
→→ ∧ y x 12 23
=−
→ β . zd & 2
ou
. d
→ xd 23 dt
R 1
Ω= d
→
RR 1/3
∧
→ x 23
= d
→ x 23
+
γ &
β . &
→ y 12
→ x 23
∧
=−
→ β zd . & 2
avec
→ Ω
RR
1/3
→
→
Ω=
Publicité
Ω+
RR 2/3
RR 1/2
En regardant les indices, vous voyez très vite que le plus simple est de projeter
β & .
→→ ∧ y x 12 23
=
0
β &
∧
1
0
2 R
0
2 R
0
ou
→ x 23
+
γ &
β & .
→ y 12
→ x 23
∧
=
γ & β &
∧
1
0
R
02
2 R
0
dans R2.
→
V
∈
RRC
1/2
=
→ BCd dt
R 1
=−
→ β& .zd 2
Projeter dans un autre repère serait une ânerie et une perte de temps inutile.
1.4. Réponses à la question 2-4
La vitesse
→
V
∈
RRD 2/3
=
→ CDd dt
R 2
en dérivant le vecteur
→ CD .
Remarque : C est un point lié au solide 2 et D est un point lié au solide 3 .
En respectant le conseil donner à la réponse à la question 2-1, L .
→ CDd dt
=
d’où
RRD 2/3
→
V
=
R 2
∈
=
→ 3.yL
→ CD → yd 3 dt
R 2
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L
.
→ yd 3 dt
R
2
Ω= L .
→
RR
2/3
∧
→ x
23
=
L
.
→→ ∧ x y 23 3
γ . &
=
→ γ zL . & 3
En regardant les indices, vous voyez très vite que le plus simple est de projeter
→→ ∧ γ . x y & 23 3
=
γ &
0
∧
0
1
3 R
0
3 R
0
dans R3.
→
V
∈
RRD 2/3
=
→ CDd dt
R 2
=
→ γ& .zL 3
Projeter dans un autre repère serait une ânerie et une perte de temps inutile.
1.5. Réponses à la question 2-5 → ACd dt
=
Déterminer la vitesse
RRC 0/2
→
V
∈
en dérivant le vecteur
→ AC .
R
0
Remarque : A est un point lié au solide 0 et C est un point lié au solide 2.
En respectant le conseil donner à la réponse à la question 2-1, +
→ ACd dt
= . h
→ dx 1 dt
=
d’où
RRC 0/2
→
V
R 0
∈
→ AC
d
=
→ xd 23 dt
+
→ BC
=
→ xh .
1
+
→ xd .
23
→ AB
R 0
R 0
h
→ xd 1 dt
Ω= h
R 0 → Ω
RR
0/2
→
RR 0/1
∧
→ x 1
→→ α ∧ = . h z x & 1 01
→ α . yh &
12
=
→
→
Ω=
Ω+
RR 1/2
RR 0/1
=
→ → αβ & . . y z & 12 01
+
. d
→ xd 23 dt
R 0
Ω= d
→
RR
0/2
∧
→ x 23
= d .
→ → αβ . . y z & & 12 01
+
→ x 23
∧
=
d
.
→ → αβ & . . y z & 12 01
+
→ x 23
∧
= d
0
cos
β
.
β &
∧
0
α 1 R &
− 1 R
sin
β
→
Publicité
V
∈
RRC 0/2
=
→ ACd dt
R
0
=
→ α yh . &
12
−+ d
→ βαββ + & . x . . cos 1
. cos &
→ y 12
→ ββ − & sin. z . . 10
1.6. Réponses à la question 2-6 → ADd dt
=
Déterminer la vitesse
RRD
→
0/3
V
∈
en dérivant le vecteur
→ AD .
R 0
Remarque : A est un point lié au solide 0 et D est un point lié au solide 3 .
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En respectant le conseil donner à la réponse à la question 2-1,
→ ADd dt
= . h
→ dx 1 dt
=
d’où
RRD 0/3
→
V
+
d
R 0
∈
=
→ AD → xd 23 dt
→ CD
=
+
→ → + xdxh . . 1
23
+
→ yL . 3
→ AB .
L
+
→ BC → yd 3 dt
+
R
0
R
0
R 0
h
→ xd 1 dt
R 0
Ω= h
→
RR 0/1
∧
→ x 1
→→ α ∧ = . h z x & 1 01
→ α . yh &
12
=
→ Ω
RR
0/2
Ω=
→
→
Ω+
RR 1/2
RR 0/1
=
→ → αβ & . . y z & 12 01
+
d .
→ xd 23 dt
R 0
Ω= d
→
RR
0/2
∧
→ x 23
= d .
→ → αβ & . . y z & 12 01
+
→ x 23
∧
=
d
.
→ → αβ & y z . . & 12 01
+
→ x 23
∧
= d
0
cos
β
.
β &
∧
0
α R 1 &
− R 1
sin
β
→ Ω
Ω=
→
→
→
Ω+
Ω+
RR
2/3
RR 1/2
RR
0/1
→ γ = . x & 23
+
→ → αβ & . . y z & 12 01
+
Ω= L
→
RR 0/3
∧
→ x 23
=
L
.
→ γ . x & 23
+
→ → αβ & . . z y & 01 12
+
→ x 23
∧
=
→ xd 23 dt
L
.
RR 0/3
R 0
L
.
→ γ x . & 23
+
→ → αβ & y z . . & 12 01
+
∧
→ x 23
= .
R d’où
βγ . cos &
cos
β
β &
∧
0
−
βγα sin. 1 & &
R
1
−
sin
β
=
→ ADd dt
R 0
( =+ d
βββ & & . L . cos
−
sin
) → ( β + hx 1
) βγαβαα + . cos &
. cos &
sin. &
( L
+
−
d
&
.
γβ + . &
L . cos
→ ) ββ y sin 12
( −+ d .
βββ & & sin. L
+
cos
) → β z . 10
→
V
∈
RRD 0/3
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