PSR83B - Introduction aux analyses multidimensionnelles

Ce matériel couvre les bases des analyses multidimensionnelles, en particulier l'analyse factorielle des correspondances (AFC) et la classification ascendante hiérarchique (CAH). Il s'adresse aux étudiants en statistiques appliquées ou en sciences sociales souhaitant comprendre comment analyser et interpréter des données complexes sous forme de tableaux de contingence.

Classification ascendante hiérarchique et représentation graphique

Une partition des individus en classes est proposée :

• Classe I : I1, I2, I5, I12
• Classe II : I4, I7
• Classe III : I3, I13, I8, I14, I15
• Classe IV : I6, I10, I9, I11

Sur le graphique de l'Analyse en Composantes Principales (ACP), ces classes correspondent approximativement aux quatre quadrants définis par les deux premières variables principales :

• Classe I : CP1 < 0 et CP2 > 0
• Classe II : CP1 < 0 et CP2 < 0, mieux décrite par CP1 < -1 et CP2 < -1
• Classe III : CP1 > -1 et CP2 < 0
• Classe IV : CP1 > 0 et CP2 > 0

La distance ultramétrique entre deux individus (par exemple I15 et I6) est obtenue en considérant la plus petite classe les contenant tous deux et en notant l'indice d'agrégation correspondant. Ici, cette distance est proche de 24 selon le graphique.

Exemple d'analyse factorielle des correspondances : choix d'une marque

Une entreprise souhaite choisir un nom pour un produit destiné à un public masculin, connaisseur, raffiné, de niveau socio-économique élevé. Douze marques sont évaluées selon onze attributs, chaque client interrogé désignant une ou plusieurs marques correspondant à chaque attribut.

Attributs	Orly	Alezan	Corsaire	Directoire	Ducat	Fontenoy	Icare	Zodiaque	Pavois	Cocker	Escale	Hotesse
Vieillot	1	20	9	1	4	3	11	4	9	9	7	2
Nouveau-riche	9	23	3	33	9	9	4	12	3	5	14	1
Sobre-élégant	1	1	15	7	1	1	32	23	9	2	38	11
Cocasse	15	15	8	7	17	2	4	8	7	18	10	7
Racé	6	3	7	4	6	7	4	11
Mièvre	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...

Le total des réponses est de 1145.

Interprétation des fréquences

Les fréquences lignes sont calculées en divisant l'effectif d'une cellule par l'effectif total de la ligne. Par exemple, la fréquence ligne pour "sobre-élégant" et "alezan" est :

20,35% = 23 / 113

Les profils colonnes montrent que la marque "Corsaire" a un profil très éloigné du profil moyen, avec plusieurs fréquences inférieures à 1% et une fréquence élevée (plus de 30%) pour l'attribut "vulgaire".

Calcul des taux de liaison

Le taux de liaison t entre une modalité ligne et une modalité colonne est calculé par :

t = (f_ij - f_i * f_j) / sqrt(f_i * f_j)

où f_ij est la fréquence conjointe, f_i la fréquence marginale ligne et f_j la fréquence marginale colonne.

Exemple : Pour "Orly" et "Vieillot", avec f_ij = 0,09%, f_i = 9,69%, f_j = 6,81%, on obtient :

t = (0,0009 - 0,0969 * 0,0681) / sqrt(0,0969 * 0,0681) ≈ -0,863

Un taux de liaison positif élevé indique une attraction entre modalités, par exemple "Orly" et "Nouveau-riche". Un taux négatif indique une répulsion, comme entre "Orly" et "Vieillot". Le taux maximal observé est 2,677 pour le couple ("Vulgaire", "Corsaire"), indiquant que cette fréquence dépasse de 267% la fréquence attendue sous indépendance.

Coefficient Phi-2 et valeurs propres

Le coefficient Phi-2 est égal à la somme des valeurs propres et relié au khi-2 par :

Phi2 = Khi2 / N

Dans cet exemple :

0,60855 = 696,79 / 1145

Les dix valeurs propres indiquent que les cinq premiers axes doivent être étudiés, car l'inertie diminue fortement à partir du sixième axe.

Distances et qualité de représentation

La distance d'un point à l'origine dans l'espace factoriel est calculée par :

d² = Σ (coord_i)^2

Exemple pour "Nouveau-riche" sur les trois premiers axes :

d² = (-0,436)² + (-0,157)² + (-0,007)² = 0,2148

d = 0,4635

La qualité de représentation Q est définie par :

Q = OM_H² / OM²

où OM_H est la distance du point projeté dans le sous-espace retenu, OM la distance dans l'espace complet.

Pour "Nouveau-riche", Q = 0,38 sur les trois premiers axes, donc la distance dans l'espace complet (10 dimensions) est :

D² = 0,2148 / 0,38 = 0,5652

D = 0,7518

Pour "Sobre-élégant" :

d'² = (-0,409)² + (-0,216)² + (-0,194)² = 0,2516

d' = 0,5016

Q' = 0,853

D'² = 0,2516 / 0,853 = 0,2950

D' = 0,5431

Dans l'espace à 3 dimensions, "Nouveau-riche" est plus proche de l'origine que "Sobre-élégant", mais dans l'espace complet à 10 dimensions, c'est l'inverse, ce qui s'explique par la meilleure qualité de représentation de "Sobre-élégant".

Étude des variables factorielles

Première variable factorielle

Les attributs dont la contribution à l'inertie du premier axe est supérieure à la moyenne (9,09%) sont :

• Distingué (23,7%) - coordonnée négative
• Vulgaire (21,2%) - coordonnée positive
• Nouveau-riche (10,0%) - coordonnée positive
• Cocasse (19,6%) - coordonnée positive

Ce premier axe oppose donc les attributs antinomiques "distingué" et "vulgaire".

Pour les marques, celles qui contribuent significativement (> 8,33%) sont :

• Hôtesse (28,9%) - coordonnée négative
• Corsaire (33,2%) - coordonnée positive
• Zodiaque (19,8%) - coordonnée positive

On observe une opposition entre "Hôtesse", liée à "distingué" et "pour une femme", et "Corsaire" ou "Zodiaque", associées respectivement à "vulgaire" et "cocasse".

Deuxième variable factorielle

Les attributs avec contribution supérieure à la moyenne (9,09%) sont :

• Vieillot (23,8%) - coordonnée négative
• Pour une femme (44,7%) - coordonnée positive
• Vulgaire (18,3%) - coordonnée positive

Les marques associées sont :

• Directoire (20,2%) - coordonnée négative
• Escale (25,2%) - coordonnée positive
• Hôtesse (23%) - coordonnée positive
• Corsaire (10,7%) - coordonnée positive

Cette variable oppose "Vieillot" à des attributs liés à "pour une femme" et des marques comme "Escale" ou "Hôtesse".

Synthèse des deux premiers axes

Le premier plan factoriel permet de distinguer trois zones :

• Marques "Zodiaque" et "Corsaire" associées aux attributs "vulgaire" et "cocasse".
• Marques "Escale", "Hôtesse" et "Orly" liées à "pour une femme" et "distingué".
• Marques "Directoire", "Pavois" et "Ducat" associées à "vieillot".

Choix final de la marque

Le cahier des charges exige un produit prestigieux, luxueux, destiné à un public masculin, raffiné et distingué. Aucune des marques des zones précédentes ne correspond parfaitement. La zone la plus intéressante regroupe les points "distingué", "nouveau-riche", "sobre-élégant", "Fontenoy" et "Alezan". Parmi elles, "Fontenoy" est la marque finalement retenue, car elle est mieux liée à "distingué" que "Alezan".

Glossaire des termes clés

• Analyse factorielle des correspondances (AFC) : méthode d’analyse multidimensionnelle adaptée aux tableaux de contingence, permettant de représenter graphiquement les relations entre modalités de deux variables qualitatives.
• Classification ascendante hiérarchique (CAH) : méthode de regroupement des individus en classes hiérarchisées selon une distance ultramétrique.
• Distance ultramétrique : distance définie à partir d’une hiérarchie de classes, égale à l’indice d’agrégation de la plus petite classe contenant deux objets.
• Fréquence ligne : proportion d’un effectif cellule par rapport à l’effectif total de la ligne correspondante.
• Profil colonne : distribution des fréquences d’une modalité colonne sur les différentes modalités ligne.
• Taux de liaison : mesure de l’association entre deux modalités, calculée à partir des fréquences observées et attendues sous indépendance.
• Valeurs propres : quantités mesurant l’inertie expliquée par chaque axe factoriel dans une AFC.
• Inertie : mesure de la variance totale expliquée par les axes factoriels.
• Qualité de représentation (cos²) : proportion de la variance d’un point expliquée par les axes retenus dans la représentation.
• Coordonnées factorielle : position d’un point (modalité ou individu) dans l’espace des axes factoriels.

Points clés à retenir

• La CAH permet de regrouper les individus en classes hiérarchisées, visualisables sur un plan factoriel.
• L’AFC est adaptée à l’analyse de tableaux de contingence et met en évidence les relations entre modalités.
• Les fréquences lignes et colonnes permettent d’interpréter les profils des modalités.
• Le taux de liaison mesure l’attraction ou la répulsion entre modalités.
• Le coefficient Phi-2 relie l’inertie totale à la statistique du khi-2.
• La qualité de représentation indique la fidélité de la projection des points dans l’espace factoriel réduit.
• Les premiers axes factoriels permettent souvent de synthétiser l’essentiel de la structure des données.
• La sélection d’une marque peut s’appuyer sur la position des modalités dans le plan factoriel en fonction des critères souhaités.