Economie de l’incertain

Cette conférence aborde les fondements de l'économie de l'incertain, une discipline essentielle en mathématiques appliquées aux sciences sociales. Elle explore la nature de l'incertitude, ses différentes formes, ses implications économiques, ainsi que les critères de décision individuelle en contexte risqué, en insistant notamment sur les limites de l'espérance mathématique de gain et l'introduction du critère d'utilité de Bernoulli.

Qu’est-ce que l’incertitude ?

L'incertitude désigne une situation dans laquelle un individu ne connaît pas aujourd'hui ce que sera sa situation future, ni celle des autres. Elle peut concerner des événements extérieurs, comme le résultat d'une émission télévisée ou les intentions d'autrui, mais aussi ses propres préférences futures, par exemple si l'on aimera toujours un certain programme dans un an.

Certains types d'incertitude peuvent se résoudre avec le temps grâce à l'acquisition d'informations, tandis que d'autres restent irrésolubles, notamment celles liées aux intentions cachées des autres. Le véritable enjeu de l'incertitude ne réside pas tant dans l'ignorance elle-même, mais dans les conséquences anticipées, positives ou négatives, qu'elle peut engendrer sur les décisions individuelles.

Les conséquences économiques de l’incertitude

L'incertitude influence les décisions quotidiennes des individus, qui peuvent s'avérer inadaptées une fois l'incertitude levée. Par exemple, un étudiant en mathématiques appliquées peut hésiter entre poursuivre ses études ou tenter une carrière artistique, en fonction des incertitudes sur ses chances de succès, les actions des autres candidats, ou ses goûts futurs.

Un exemple concret est celui des abonnements en club de gym : bien que les consommateurs paient environ 70$ par mois, ils ne fréquentent le club que 4,3 fois en moyenne, ce qui revient à 17$ par visite, alors qu'une visite hors abonnement coûte 10$. Cela illustre une incertitude sur leurs préférences futures et leur comportement réel.

Les différents types d’incertitude en économie

On distingue principalement deux types d'incertitude :

• L’incertitude décisionnelle : liée à l'environnement extérieur sur lequel l'individu n'a pas de contrôle, comme la météo ou la demande future d'un produit.
• L’incertitude stratégique : liée aux interactions avec d'autres agents économiques, notamment l'ignorance des préférences, des intentions ou des informations détenues par ces agents.

Cette distinction est importante car elle oriente les modèles économiques et les approches de décision. Par exemple, les jeux sans incertitude stratégique, comme le dilemme du prisonnier classique, ne sont pas traités dans ce cours.

Enjeux économiques de la prise en compte de l’incertitude

Plusieurs exemples illustrent l'importance de considérer l'incertitude dans les décisions économiques :

• Les coûts de construction de grands projets de transport, souvent sous-estimés en raison de l'incertitude sur les conditions futures.
• Les prévisions de demande, qui influencent la rentabilité des projets.
• La rentabilité d'investissements majeurs, comme le tunnel sous la Manche, où les incertitudes sur la demande et les coûts ont un impact crucial.

Distinction entre risque et incertitude

Selon F. Knight (1921), il faut distinguer :

• Le risque : situations où les états possibles et leurs probabilités sont connus.
• L’incertitude : situations où les états sont connus mais pas leurs probabilités.
• L’incertitude radicale : ni les états ni leurs probabilités ne sont connus.

Cette distinction concerne principalement l'aspect décisionnel, et non nécessairement l'aspect stratégique.

Critères de décision individuelle en avenir risqué

Fondements de l’espérance de gain

Le critère d'espérance mathématique de gain (EMG) repose sur la connaissance des états de la nature S = {s1, …, sn} avec leurs probabilités P = {p1, …, pn}, d'un ensemble de décisions D = {d1, …, dm} et des résultats R = D × S. L'espérance mathématique de gain pour une décision di est :

EMG(di) = ∑ (j=1 à n) p_j × r_ij

où r_ij est le résultat associé à la décision di dans l'état sj.

La décision optimale maximise cette espérance :

d* = arg max_{di} EMG(di)

Exemple d’application

Considérons trois projets A, B et C avec probabilités Pr(X=x) = {0,2 ; 0,5 ; 0,3} et gains respectifs :

• EMG(A) = 0,2 × 100 + 0,5 × 50 + 0,3 × 30 = 55 millions d'euros
• EMG(B) = 0,2 × 65 + 0,5 × 70 + 0,3 × 40 = 60 millions d'euros
• EMG(C) = 0,2 × 35 + 0,5 × 45 + 0,3 × 50 = 44,5 millions d'euros

Le projet B est donc préféré selon ce critère.

Le critère de Laplace

En cas d'incertitude totale sur les probabilités, on peut supposer une distribution uniforme (p_j = 1/n). Le critère de Laplace consiste alors à choisir la décision qui maximise la moyenne simple des gains :

L(di) = (1/n) × ∑ (j=1 à n) r_ij

Dans l'exemple précédent :

• L(A) = (100 + 50 + 30) / 3 = 60
• L(B) = (65 + 70 + 40) / 3 = 58,33
• L(C) = (35 + 45 + 50) / 3 = 43,33

Le critère de Laplace privilégie donc le projet A.

Le critère de Markowitz et la gestion du risque

Harry Markowitz (1952) a introduit un critère combinant l'espérance de gain et la variance (ou écart-type) des résultats pour évaluer des portefeuilles financiers. Le risque est mesuré par la dispersion des rendements, souvent via l'écart-type ou le coefficient Beta, qui exprime la volatilité relative d'un titre par rapport à un indice de référence.

La fonction de valorisation d'une décision di est alors caractérisée par le couple :

(E(di), σ²(di)) = (∑ p_j r_ij, ∑ p_j (r_ij)^2)

Le choix entre décisions s'appuie sur des règles comparatives prenant en compte à la fois l'espérance et la variance :

• Critère 1 : choisir di si E(di) ≥ E(dk) et σ(di) ≤ σ(dk), ou inversement.
• Critère 2 : maximiser le ratio espérance/écart-type, c’est-à-dire choisir la décision avec la plus grande espérance par unité de risque.

Par exemple, pour trois décisions avec espérances et écarts-types donnés, on calcule ce ratio pour déterminer la meilleure stratégie.

Limites de l’espérance mathématique de gain : exemples paradoxaux

Le philanthrope sadique

Un individu gravement malade doit choisir entre deux loteries :

• Loterie A : 50 000 € avec probabilité 0,5 et 75 000 € avec probabilité 0,5
• Loterie B : 100 000 € avec probabilité 0,01 et 0 € avec probabilité 0,99

En espérance mathématique, A est préférable (62 500 € contre 1 000 €), mais B offre une chance de survie, ce qui est crucial. Ce cas montre que l'espérance mathématique ne suffit pas à modéliser les préférences réelles, notamment quand la survie est en jeu.

Le paradoxe de Saint-Pétersbourg

Cette loterie propose un gain de 2^n si la pièce tombe sur face au n-ième lancer, avec une probabilité décroissante de 1/2^n. L'espérance mathématique est infinie, ce qui conduit à préférer cette loterie à un gain certain, ce qui est contre-intuitif.

Bernoulli a proposé de résoudre ce paradoxe en introduisant une fonction d'utilité concave, traduisant l'aversion au risque.

Le critère d’utilité de Bernoulli

Bernoulli suggère que les individus maximisent non pas le gain monétaire, mais l'utilité associée à ce gain. La fonction d'utilité u(x) traduit la satisfaction procurée par un gain x.

La décision optimale maximise alors l'espérance d'utilité :

EU(di) = ∑ p_j × u(r_ij)

Par exemple, un mendiant vend un billet de loterie lui permettant de gagner 20 000 ducats avec probabilité 0,5. Il accepte de le vendre 9 000 ducats, ce qui est rationnel si sa fonction d'utilité est u(x) = ln(x), car l'espérance d'utilité de la vente est supérieure à celle de conserver le billet.

Application au paradoxe de Saint-Pétersbourg

En supposant une fonction d'utilité du type u(x) = x^0,5, la série géométrique des espérances d'utilité converge, ce qui limite la valeur attendue de la loterie et résout le paradoxe.

Conclusions

Les critères basés sur l'espérance mathématique de gain sont simples et intuitifs, mais présentent des limites importantes, notamment en ne tenant pas compte des attitudes individuelles face au risque. L'introduction de fonctions d'utilité permet de mieux modéliser les préférences réelles et d'expliquer des comportements apparemment paradoxaux.

Points clés

• L’incertitude peut être décisionnelle (exogène) ou stratégique (liée aux interactions).
• Le risque suppose la connaissance des probabilités, l’incertitude non.
• Le critère d’espérance mathématique de gain (EMG) est la base des décisions en contexte risqué.
• Le critère de Laplace suppose une distribution uniforme des probabilités en cas d’incertitude totale.
• Le critère de Markowitz combine espérance et variance pour gérer le risque financier.
• Des paradoxes comme celui de Saint-Pétersbourg montrent les limites de l’EMG.
• Le critère d’utilité de Bernoulli introduit la notion d’utilité pour mieux modéliser les préférences.