Analyse Factorielle des Correspondances

Ce document présente une synthèse sur l'Analyse Factorielle des Correspondances (AFC), une méthode statistique destinée à étudier l'association entre deux variables qualitatives. Il s'adresse aux étudiants et chercheurs en statistiques ou en analyse de données multivariées souhaitant comprendre les principes, calculs et interprétations liés à cette technique.

Introduction à l'Analyse Factorielle des Correspondances (AFC)

L’AFC vise à extraire les informations les plus pertinentes d’un tableau de contingence pour offrir une représentation claire de l’association entre deux variables qualitatives. Dans ce contexte, les lignes correspondent aux catégories d’une première variable et les colonnes aux catégories d’une deuxième variable.

Distance du Khi-deux et taux de liaison

La distance du Khi-deux entre deux lignes i et i' est définie par la formule :

dΦ²(Li, Li') = Σj (flij - fli'j)² / f•jj

où flij représente la fréquence relative de la cellule (i,j) et f•jj la fréquence marginale de la colonne j.

Les taux de liaison sont des rapports qui mesurent l’écart entre les fréquences observées et les fréquences théoriques sous indépendance des variables. Par exemple, un taux de liaison de 38,4 % entre x1 et y8 signifie que le score observé est 38,4 % plus élevé que le score attendu si les variables étaient indépendantes. À l’inverse, un taux de liaison négatif indique une fréquence inférieure à celle attendue.

Décomposition du Khi-deux et inertie

La méthode d’AFC peut être vue comme une décomposition pertinente du Khi-deux en plusieurs axes factoriels. Chaque axe représente une dimension synthétisant une part de l’inertie totale, c’est-à-dire la variance expliquée par cet axe.

La somme des inerties des axes factoriels correspond à la valeur totale du Khi-deux.

Valeurs propres et choix des axes

Le nombre de valeurs propres calculées est égal au minimum entre le nombre de lignes (p) et de colonnes (q) du tableau initial. La première valeur propre est toujours égale à 1 et est éliminée dans les logiciels d’analyse. Les autres valeurs propres sont comprises dans l’intervalle [0, 1[.

Exemple de valeurs propres extraites :

• 1ère valeur propre : 0,123
• 2ème valeur propre : 0,068
• Dernière (8ème) valeur propre : 0,005

L’inertie totale est de 0,024, répartie entre les différents axes. Le choix du nombre d’axes à retenir se fait en observant la décroissance des valeurs propres, similaire à l’Analyse en Composantes Principales (ACP). Ici, une chute notable entre la 3ème et la 4ème valeur propre suggère de conserver les trois premiers axes factoriels.

Caractéristiques des points lignes

Chaque point ligne (modalité de la variable ligne) est caractérisé par :

• Masse : poids correspondant à la fréquence marginale de la modalité (profil colonne moyen).
• Score dans chaque dimension : coordonnées factorielles sur les axes retenus.
• Inertie : somme des carrés des taux de liaison pondérés par les fréquences marginales.
• Contribution : influence relative de la modalité à la formation d’un axe factoriel.
• Cosinus-carré : qualité de représentation de la modalité sur chaque axe.

Ces scores ont les propriétés suivantes :

• La moyenne pondérée des coordonnées selon chaque axe est nulle.
• La moyenne pondérée des carrés des coordonnées est égale à la valeur propre de l’axe.
• Les coordonnées sur deux axes différents sont indépendantes (covariance nulle).

Exemple simplifié

Considérons une modalité x1 avec une masse de 0,183 et un score sur le premier axe de -0,299. Sa contribution à l’axe 1 est élevée (0,512), indiquant qu’elle influence fortement la formation de cet axe.

Caractéristiques des points colonnes

Les modalités colonnes sont analysées de la même manière que les modalités lignes, avec des masses, scores, inerties, contributions et cosinus-carrés calculés selon les mêmes principes.

Exemple simplifié

La modalité y3 a une masse de 0,096, un score sur l’axe 1 de -0,372 et une contribution importante à cet axe (0,470), ce qui signifie qu’elle joue un rôle majeur dans la structuration de l’axe 1.

Cartes factorielles et interprétation géométrique

Contrairement à l’ACP, les graphiques factoriels en AFC peuvent représenter simultanément les profils lignes et colonnes sur un même plan.

• En dimension 1 : les individus sont placés le long d’un axe factoriel.
• En dimension 2 : les individus sont positionnés dans un plan défini par deux axes factoriels.

La distance euclidienne entre deux points-lignes dans le plan factoriel correspond à la distance du Khi-deux entre leurs profils initiaux.

La proximité géométrique entre un point-ligne L et un point-colonne C n’a pas d’interprétation directe, mais l’angle formé au sommet O entre les segments OL et OC permet d’interpréter leur relation :

• Angle aigu : attraction entre modalités (taux de liaison positif).
• Angle obtus : répulsion entre modalités (taux de liaison négatif).
• Angle droit : absence d’interaction (taux de liaison proche de zéro).

Interprétation des résultats

Au niveau global, les modalités ayant les inerties relatives les plus fortes sont :

• Pour la variable ligne X : x6, x5, x1, x2
• Pour la variable colonne Y : y3, y5, y2, y4

Ces modalités seront donc privilégiées dans l’analyse. À l’inverse, des modalités comme x7, x8, y7, y8 auront peu d’influence et peuvent être écartées.

Analyse axe par axe

Chaque axe factoriel peut être interprété en étudiant séparément les contributions des modalités lignes et colonnes :

• Le premier axe oppose les modalités x1 et x5 à x6. Pour les colonnes, il oppose y3 et y2 à y5 et y4.
• Un autre axe oppose les modalités y4 et y8 aux modalités y5 et y3, tandis que x2 s’oppose à x6 et x5.

Glossaire des termes clés

• Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) : méthode statistique pour étudier l’association entre deux variables qualitatives.
• Tableau de contingence : tableau croisant les modalités des deux variables étudiées.
• Distance du Khi-deux : mesure de dissimilarité entre profils lignes ou colonnes.
• Taux de liaison : rapport exprimant l’écart entre fréquence observée et fréquence attendue sous indépendance.
• Inertie : mesure de la variance expliquée par un axe factoriel.
• Valeurs propres : quantifient la part d’inertie expliquée par chaque axe.
• Masse : poids d’une modalité, proportionnelle à sa fréquence marginale.
• Score factoriel : coordonnée d’une modalité sur un axe factoriel.
• Contribution : influence relative d’une modalité dans la formation d’un axe.
• Cosinus-carré : qualité de représentation d’une modalité sur un axe.
• Cartes factorielles : représentation graphique des modalités sur les axes factoriels.

Points clés à retenir

• L’AFC synthétise l’association entre deux variables qualitatives en décomposant le Khi-deux en axes factoriels.
• La distance du Khi-deux mesure la dissimilarité entre profils de modalités.
• Les valeurs propres permettent de choisir le nombre d’axes significatifs à retenir.
• Les masses, contributions et cosinus-carrés caractérisent l’importance et la qualité de représentation des modalités.
• Les cartes factorielles permettent de visualiser simultanément les modalités lignes et colonnes.
• L’interprétation géométrique des angles entre points lignes et colonnes renseigne sur l’attraction ou la répulsion entre modalités.
• Seules les modalités avec une inertie significative doivent être considérées dans l’analyse finale.