Analyse Factorielle des Correspondances

Ce document présente les principes fondamentaux de l’Analyse Factorielle des Correspondances (AFC), une méthode statistique destinée à étudier l’association entre deux variables qualitatives nominales. Il s’adresse aux étudiants et chercheurs en statistique ou en analyse de données multivariées souhaitant comprendre et appliquer cette technique pour visualiser et interpréter les relations entre catégories de variables.

Introduction à l’Analyse Factorielle des Correspondances (AFC)

L’AFC vise à synthétiser l’information contenue dans un tableau de contingence, qui croise deux variables qualitatives, afin de fournir une représentation claire des associations entre leurs modalités. Contrairement à l’Analyse en Composantes Principales (ACP), où les colonnes représentent des variables quantitatives et les lignes des individus, l’AFC traite des tableaux où les lignes et colonnes correspondent aux catégories respectives de deux variables qualitatives.

L’objectif principal est de réduire la dimension d’un espace multidimensionnel tout en conservant un maximum d’information, ce qui permet de visualiser les relations entre modalités selon des oppositions telles que :

• centre/périphérie
• éloignement/proximité
• ressemblance/dissemblance
• attraction/répulsion

Tableau de contingence et données de base

Soient deux variables nominales X et Y, avec respectivement p et q modalités. Le tableau de contingence est une matrice à p lignes et q colonnes où chaque case (i,j) contient l’effectif conjoint nij, c’est-à-dire le nombre d’individus ayant la modalité i de X et la modalité j de Y. L’effectif total est noté n..

	Camping	Hôtel	Famille	Location	Total
Agriculteur	1	3	1	2	7
Cadre moyen	8	4	19	1	32
Chef d’Entreprise	3	5	10	1	19
Employé	2	22	8	0	32
Ouvrier	1	8	7	1	17
Retraité	25	2	6	9	42
Total	40	44	51	14	149

Ce tableau se lit ainsi : par exemple, 1 agriculteur a choisi le camping, 3 cadres moyens ont choisi l’hôtel, 6 employés ont choisi la location, etc.

Pratique de l’AFC : profils et fréquences

La première étape de l’AFC consiste à calculer les profils lignes et colonnes. Ces profils correspondent aux distributions relatives des modalités dans chaque ligne ou colonne :

• Profil ligne i : chaque case est divisée par le total de la ligne i (ni.)
• Profil colonne j : chaque case est divisée par le total de la colonne j (n.j)

Ensuite, l’analyse est réalisée sur le tableau des fréquences relatives, obtenu en divisant chaque effectif nij par l’effectif total n.. :

fij = nij / n..

Ces fréquences permettent d’étudier les relations entre modalités en neutralisant l’effet des tailles d’échantillon.

Exemple de calcul de fréquence relative

Si dans le tableau précédent, l’effectif total est n.. = 100, et que nij = 25 pour la case (Retraité, Camping), alors :

fij = 25 / 100 = 0,25 soit 25%

Ce calcul est effectué pour chaque case du tableau.

Mesure des ressemblances : distance du Khi-deux

Pour comparer les profils et mesurer les ressemblances ou dissemblances entre modalités, on utilise la distance du Khi-deux, qui est une distance euclidienne pondérée. Cette distance est adaptée aux données qualitatives et permet de quantifier les oppositions entre profils.

La distance du Khi-deux entre deux lignes i et i' est définie par :

d²(Li, Li') = Σj ((f_lij - f_li'j)² / f_•j)

où :

• f_lij et f_li'j sont les fréquences relatives des cases (i,j) et (i',j)
• f_•j est la fréquence marginale de la colonne j

Cette formule permet de mesurer la dissemblance entre deux profils lignes en tenant compte de l’importance relative des colonnes.

Rappel du test du Khi-deux

Le test du Khi-deux permet d’évaluer l’indépendance entre deux variables qualitatives. Si les variables sont indépendantes, la statistique du Khi-deux suit une distribution avec un nombre de degrés de liberté égal à (p-1)(q-1), où p et q sont le nombre de modalités des variables X et Y.

La distance du Khi-deux utilisée en AFC s’appuie sur cette notion statistique pour quantifier les différences entre profils.

Exemple d’interprétation en AFC

À partir des profils et des distances calculées, l’AFC permet de répondre à des questions telles que :

• Quelles modalités de Y se ressemblent, c’est-à-dire ont des profils proches ?
• Quelles modalités de X s’opposent à d’autres ?
• Quelles modalités de X ont des comportements similaires à certaines modalités de Y ?

Ces analyses visuelles et numériques facilitent la compréhension des relations complexes entre catégories de variables qualitatives.

Glossaire des termes clés

• Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) : méthode statistique pour étudier l’association entre deux variables qualitatives en réduisant la dimension des données.
• Tableau de contingence : tableau croisant les effectifs conjoints de deux variables qualitatives.
• Effectif conjoint (nij) : nombre d’individus ayant la modalité i de la variable X et la modalité j de la variable Y.
• Effectif total (n..) : somme de tous les effectifs du tableau de contingence.
• Profil ligne : distribution relative des modalités de Y pour une modalité donnée de X.
• Profil colonne : distribution relative des modalités de X pour une modalité donnée de Y.
• Fréquence relative (fij) : proportion de l’effectif conjoint nij par rapport à l’effectif total n..
• Distance du Khi-deux : mesure de dissemblance entre profils basée sur la statistique du Khi-deux.
• Test du Khi-deux : test statistique d’indépendance entre deux variables qualitatives.

Points clés à retenir

• L’AFC est une méthode adaptée pour analyser et visualiser les relations entre deux variables qualitatives nominales.
• Elle repose sur l’étude d’un tableau de contingence et la transformation des effectifs en fréquences relatives.
• Les profils lignes et colonnes permettent de comparer les distributions relatives des modalités.
• La distance du Khi-deux est utilisée pour mesurer la dissemblance entre profils, facilitant l’interprétation des oppositions et ressemblances.
• Cette méthode offre une représentation graphique qui aide à comprendre les liens entre catégories des deux variables.