Résolution numérique de systèmes d’équations linéaires

Cette leçon traite de la résolution numérique des systèmes d’équations linéaires, en particulier à travers la méthode du pivot de Gauss. Elle s’inscrit dans un cours d’algèbre linéaire avancée et vise à montrer comment transformer un système linéaire en un système triangulaire supérieur plus facile à résoudre.

La méthode du pivot de Gauss

La méthode du pivot de Gauss est une technique permettant de transformer un système d’équations linéaires en un système équivalent, c’est-à-dire ayant les mêmes solutions, mais sous une forme triangulaire. Cette forme triangulaire facilite grandement la résolution du système.

Pour effectuer cette transformation, seules trois opérations élémentaires sur les lignes sont autorisées :

• Permutation de deux lignes : Li ↔ Lj.
• Multiplication d’une ligne Li par un scalaire non nul λ : Li ←− λLi.
• Addition d’un multiple d’une ligne à une autre ligne : Li ←− Li + λLj.

Ces opérations permettent d’éliminer progressivement les coefficients situés sous les pivots, conduisant à une matrice triangulaire supérieure.

Étude d’un exemple

Considérons le système (S) suivant :

3x1 + x2 + x3 = 1
x1 − 3x2 + x3 = −3
x1 + x2 − 3x3 = 1

Ce système peut s’écrire sous forme matricielle AX = b où :

A = | 3   1   1  |
    | 1  −3   1  |
    | 1   1  −3  |

X = | x1 |
    | x2 |
    | x3 |

b = |  1  |
    | −3  |
    |  1  |

La matrice A est inversible car det(A) = 32 ≠ 0, donc le système admet une unique solution.

Étapes de la méthode du pivot de Gauss appliquée au système (S)

Opération 1 : Écrire la matrice augmentée (A|b) :

(A|b) = 
|  3   1   1   1  |
|  1  −3   1  −3  |
|  1   1  −3   1  |

On choisit comme premier pivot le coefficient a11 = 3, qui est non nul. Si ce coefficient avait été nul, il aurait fallu permuter la première ligne avec une autre ligne possédant un coefficient non nul en première colonne.

Opération 2 : Annuler tous les coefficients situés sous le premier pivot (colonne 1) :

• L2 ←− L2 − (1/3) L1
• L3 ←− L3 − (1/3) L1

Après ces opérations, la matrice augmentée devient :

|  3      1       1       1      |
|  0   −10/3    2/3   −10/3     |
|  0    2/3   −10/3   2/3       |

Opération 3 : Passer au pivot suivant, c’est-à-dire le coefficient en position (2,2), vérifier qu’il est non nul, puis annuler les coefficients situés en dessous :

• Le pivot est −10/3, non nul.
• L3 ←− L3 + (1/5) L2

La matrice augmentée devient alors :

|  3      1       1       1      |
|  0   −10/3    2/3   −10/3     |
|  0      0       5       0      |

On obtient ainsi un système triangulaire supérieur équivalent au système initial :

3x1 + x2 + x3 = 1
−(10/3)x2 + (2/3)x3 = −(10/3)
5x3 = 0

Résolution du système triangulaire

Le système triangulaire supérieur se résout facilement par substitution :

• De la troisième équation : 5x3 = 0 ⇒ x3 = 0.
• De la deuxième équation : −(10/3)x2 + (2/3)·0 = −(10/3) ⇒ −(10/3)x2 = −(10/3) ⇒ x2 = 1.
• De la première équation : 3x1 + x2 + x3 = 1 ⇒ 3x1 + 1 + 0 = 1 ⇒ 3x1 = 0 ⇒ x1 = 0.

La solution du système (S) est donc :

(x1, x2, x3) = (0, 1, 0)

Points clés

• La méthode du pivot de Gauss transforme un système linéaire en un système triangulaire supérieur équivalent.
• Les opérations élémentaires autorisées sont : permutation de lignes, multiplication d’une ligne par un scalaire non nul, addition d’un multiple d’une ligne à une autre ligne.
• Le choix des pivots non nuls est essentiel pour garantir la validité de la méthode.
• Une fois le système triangulaire obtenu, la résolution s’effectue par substitution descendante.
• La méthode garantit une solution unique si la matrice des coefficients est inversible (det(A) ≠ 0).