PSR83B - Introduction aux analyses multidimensionnelles

Exercice 1 (Questions partielles)

Le document source débute par des fragments de la fin d'un premier exercice sur la classification (ACP et CAH). Bien que l'énoncé complet manque, nous pouvons expliciter les réponses fournies.

Question d - Positions des classes sur l'ACP

Il est demandé de situer les 4 classes issues de la classification sur le premier plan factoriel (CP1 et CP2) de l'Analyse en Composantes Principales (ACP).

Les classes correspondent aux quadrants du plan factoriel, ce qui permet de traduire leurs profils par le signe de leurs coordonnées :

• Classe I : CP1 < 0 et CP2 > 0 (quadrant supérieur gauche).
• Classe II : CP1 < -1 et CP2 < -1 (quadrant inférieur gauche, position plus extrême pour exclure I13 par rapport à une simple condition négative).
• Classe III : CP1 > -1 et CP2 < 0 (quadrant inférieur droit).
• Classe IV : CP1 > 0 et CP2 > 0 (quadrant supérieur droit).

Question e - Distance ultramétrique entre I15 et I6

Sur l'arbre d'une Classification Ascendante Hiérarchique (CAH), la distance ultramétrique entre deux individus correspond à la valeur de l'indice d'agrégation (hauteur sur le dendrogramme) au nœud où ces deux individus se rejoignent pour la première fois dans une même classe.

Pour I15 et I6, la lecture du graphique (non fourni mais commenté par la source) indique qu'ils se rejoignent à l'avant-dernière étape d'agrégation. L'indice correspondant sur l'axe des ordonnées du dendrogramme est d'environ 24. La distance ultramétrique est donc de 24.

Exercice 2

Cet exercice propose l'étude d'un tableau croisant 12 marques et 11 attributs.

Question 1 - Méthode d'analyse

La méthode employée ici est l'Analyse Factorielle des Correspondances (AFC). On utilise l'AFC car le jeu de données se présente sous la forme d'un tableau de contingence (un tableau croisant les fréquences d'apparition conjointes de deux variables qualitatives : ici, les marques et les attributs).

Question 2 - Fréquences et profils

Sous-question a - Fréquence ligne "sobre-élégant" et "alezan"

La valeur de 20,35% se trouve dans le tableau des profils lignes (Fréquences lignes). Elle correspond au rapport entre l'effectif de la case à l'intersection de la ligne "Sobre-élégant" et de la colonne "Alezan" (soit 23, lu dans le tableau de contingence initial) et le total de la ligne "Sobre-élégant" (soit 113).

Calcul : 23 ÷ 113 ≈ 0,203539, soit environ 20,35%. Cela signifie que, parmi toutes les fois où l'attribut "Sobre-élégant" a été cité, il a été associé à la marque "Alezan" dans 20,35% des cas.

Sous-question b - Profil de la marque "Corsaire"

En comparant le profil colonne de "Corsaire" au profil colonne moyen (la marge des colonnes en pourcentage, notée "Total" dans le dernier tableau) :

• Le profil moyen est assez équilibré, avec des proportions variant globalement entre 7,60% et 9,87% pour les différents attributs.
• Le profil de "Corsaire" est très déséquilibré et s'écarte fortement de la moyenne. Des attributs comme "Vulgaire" (30,19%) et "Cocasse" (25,35%) y sont surreprésentés, tandis que plusieurs attributs y sont presque absents (moins de 1% pour "Sobre-élégant", "Racé", ou "Distingué").

Question 3 - Taux de liaison

Sous-question a - Calcul du taux de liaison (-0,868)

Le taux de liaison mesure l'écart entre la fréquence observée d'une case et la fréquence théorique attendue si les deux variables étaient indépendantes.

La formule théorique est : t = (f_observée - f_théorique) ÷ f_théorique Avec f_théorique = (marge ligne × marge colonne).

L'énoncé source propose un calcul aboutissant à -0,863 en utilisant les fréquences arrondies à deux ou trois décimales (0,09% pour l'observation, 9,69% et 6,81% pour les marges). Cependant, la valeur du tableau est de -0,868. Le calcul de la source souffre d'une erreur d'arrondi sur les valeurs intermédiaires.

Voici le calcul exact avec les fractions non arrondies :

• Effectif Orly/Vieillot = 1
• Marge Vieillot (ligne) = 111
• Marge Orly (colonne) = 78
• Total N = 1145

Fréquence relative ligne (f_i) = 111 ÷ 1145 ≈ 0,096943 Fréquence relative colonne (f_j) = 78 ÷ 1145 ≈ 0,068122 Fréquence théorique attendue = 0,096943 × 0,068122 ≈ 0,006604 Fréquence observée (f_ij) = 1 ÷ 1145 ≈ 0,000873

Calcul du taux exact : (0,000873 - 0,006604) ÷ 0,006604 = -0,8678, qui s'arrondit bien à la valeur affichée dans le tableau : -0,868.

Sous-question b - Modalités qui s'attirent et se repoussent

• Attraction : Un taux de liaison positif élevé traduit une attraction. "Orly" et "Nouveau-riche" ont un taux de 1,669 (très supérieur à 0), indiquant que ces modalités sont fortement associées.
• Répulsion : Un taux de liaison négatif (proche de -1) traduit une répulsion. "Orly" et "Vieillot" ont un taux de -0,868, indiquant que les répondants associent très rarement ces deux termes par rapport à ce que donnerait le hasard.

Sous-question c - Taux de liaison maximum

Le taux maximum relevé dans le tableau est de 2,677, à l'intersection de la colonne "Corsaire" et de la ligne "Vulgaire". Autre formulation : la fréquence conjointe d'association entre la marque "Corsaire" et l'attribut "Vulgaire" est 267,7% supérieure (soit plus de 3,5 fois supérieure) à la fréquence que l'on observerait sous une stricte hypothèse d'indépendance.

Question 4 - Coefficient Phi-2

Le coefficient Phi² (Φ²) d'un tableau est une mesure globale de l'écart à l'indépendance. Il possède deux propriétés fondamentales vérifiables avec nos données :

1. Il est égal à la somme des valeurs propres de l'AFC : 0,1821 + 0,1330 + 0,1043 + 0,0812 + ... + 0,0001 = 0,60855.
2. Il est lié au test du Khi² par la relation Φ² = Khi² ÷ N. Vérification : 696,79 ÷ 1145 ≈ 0,60855.

Question 5 - Nombre de variables factorielles à retenir

Pour un tableau de dimensions (11 lignes, 12 colonnes), l'AFC génère min(11-1, 12-1) = 10 axes. Si l'inertie était uniformément répartie, chaque axe représenterait 10% de l'inertie totale (100% ÷ 10 axes). Selon la règle de Kaiser (méthode de la moyenne), on retient les axes dont l'inertie est supérieure à cette moyenne de 10%. Le tableau indique :

• Axe 1 : 29,92%
• Axe 2 : 21,84%
• Axe 3 : 17,14%
• Axe 4 : 13,34%
• Axe 5 : 10,53%
• Axe 6 : 3,48%

Les 5 premiers axes dépassent le seuil de 10%. De plus, on observe une "cassure" nette (méthode du coude) entre l'axe 5 (10,5%) et l'axe 6 (3,5%). Il convient donc d'étudier les 5 premiers axes.

Question 6 - Distances et Qualité de représentation

Cette question analyse la géométrie du nuage de points et ses projections dans des sous-espaces.

Sous-question a - Distance de "Nouveau-riche" à l'origine en 3D

Les coordonnées de "Nouveau-riche" sur les 3 premiers axes sont : (-0,436 ; -0,157 ; -0,007). La distance au carré à l'origine est la somme des carrés des coordonnées : d² = (-0,436)² + (-0,157)² + (-0,007)² = 0,190096 + 0,024649 + 0,000049 = 0,214794. En arrondissant à 4 décimales : d² ≈ 0,2148. La distance est d = √(0,2148) ≈ 0,4635.

Sous-question b - Définition de la qualité de représentation (Cos²)

La qualité de représentation (ou cosinus carré, Cos²) d'un point M dans un sous-espace correspond au rapport entre le carré de sa distance projetée à l'origine (OH²) et le carré de sa distance totale réelle à l'origine dans l'espace complet (OM²). Formule : Qualité = OH² ÷ OM².

Sous-question c - Distance de "Nouveau-riche" en dimension 10 (espace réel)

Le tableau indique pour "Nouveau-riche" une qualité globale sur les 3 premiers axes de 0,380. D'après la formule précédente, OM² = OH² ÷ Qualité. D² = 0,2148 ÷ 0,380 ≈ 0,5652. La vraie distance à l'origine est D = √(0,5652) ≈ 0,7518.

Sous-question d - Distance de "Sobre-élégant"

Coordonnées sur 3 axes : (-0,409 ; -0,216 ; -0,194). d'² = (-0,409)² + (-0,216)² + (-0,194)² = 0,167281 + 0,046656 + 0,037636 = 0,251573 (arrondi à 0,2516). Distance en 3D : d' = √(0,2516) ≈ 0,5016. Qualité en 3D (lue dans le tableau) = 0,853. Distance réelle D'² = 0,2516 ÷ 0,853 ≈ 0,2950. Distance en 10D : D' = √(0,2950) ≈ 0,5431.

Sous-question e - Comparaison

Dans l'espace projeté en 3 dimensions, "Nouveau-riche" (0,4635) semble plus proche de l'origine (le profil moyen) que "Sobre-élégant" (0,5016). Cependant, dans la réalité de l'espace de dimension 10, c'est l'inverse : "Sobre-élégant" (0,5431) est plus proche du centre que "Nouveau-riche" (0,7518). Cette illusion visuelle est due à la mauvaise qualité de représentation de "Nouveau-riche" dans le sous-espace 3D (0,380) : une grande partie de son éloignement par rapport au profil moyen s'exprime sur les axes 4 à 10, invisibles ici.

Question 7 - Étude de la première variable factorielle (Axe 1)

L'axe 1 explique 29,9% de l'inertie. On cherche les éléments qui contribuent le plus à le définir. Le seuil de contribution moyenne dépend du nombre de modalités : pour p modalités, le seuil est de 1/p.

Sous-question a - Nuage des attributs

Il y a 11 attributs, la contribution moyenne est donc 1 ÷ 11 ≈ 9,09%. En regardant la colonne "Inertie Dim.1", les attributs dépassant 9,09% (0,0909) sont :

• Du côté négatif de l'axe : "Distingué" (23,7% de l'inertie de l'axe 1).
• Du côté positif de l'axe : "Vulgaire" (21,2%), "Cocasse" (19,6%), et "Nouveau-riche" (10,0%). Cet axe décrit donc un gradient de distinction sociale, opposant les concepts de noblesse ("Distingué") au clinquant et trivial ("Vulgaire", "Cocasse").

Sous-question b - Nuage des marques

Il y a 12 marques, la contribution moyenne est de 1 ÷ 12 ≈ 8,33%. En regardant "Inertie Dim.1" pour les colonnes :

• Du côté négatif : "Hôtesse" (28,9%).
• Du côté positif : "Corsaire" (33,2%) et "Zodiaque" (19,8%). Cet axe oppose catégoriquement la marque "Hôtesse" (qui projette du côté "Distingué") aux marques "Corsaire" et "Zodiaque" (projetant du côté "Vulgaire" / "Cocasse").

Question 8 - Étude de la deuxième variable factorielle (Axe 2)

Nuage des attributs

Seuil : 9,09%. On regarde "Inertie Dim.2" :

• Côté négatif (Coord. Dim.2 < 0) : "Vieillot" (23,8%).
• Côté positif (Coord. Dim.2 > 0) : "Pour une femme" (44,7%) et "Vulgaire" (18,3%).

Nuage des marques

Seuil : 8,33%. On regarde "Inertie Dim.2" :

• Côté négatif : "Directoire" (20,2%).
• Côté positif : "Escale" (25,2%), "Hôtesse" (23,0%) et "Corsaire" (10,7%).

L'axe 2 représente essentiellement un axe de genre ou de rajeunissement : il oppose un univers féminin ("Pour une femme", marques "Escale", "Hôtesse") à un registre daté/ancien ("Vieillot", marque "Directoire").

Question 9 - Synthèse du premier plan factoriel

Le croisement des axes 1 et 2 révèle trois regroupements principaux de marques et d'attributs qui s'attirent mutuellement :

1. Le quadrant supérieur droit (Axe 1 +, Axe 2 +) : Les marques "Corsaire" et "Zodiaque", fortement associées aux attributs "Vulgaire" et "Cocasse".
2. La partie haute/centrale gauche (Axe 1 -, Axe 2 +) : Les marques "Escale", "Hôtesse" et "Orly", associées aux concepts "Pour une femme" et, dans une moindre mesure, "Distingué".
3. Le bas de l'axe 2 (Axe 2 -) : La marque "Directoire" (et plus faiblement "Pavois" ou "Ducat"), tiraillée par le registre "Vieillot".

Question 10 - Choix de la marque

Le cahier des charges de l'entreprise cible des adjectifs bien précis : qualité supérieure, prestigieux, masculin, connaisseur, distingué.

Sur notre plan factoriel, ce cahier des charges correspond à un profil masculin, éloigné de l'aspect féminin (Axe 2 positif), éloigné de la vulgarité (Axe 1 positif), et éloigné du "vieillot" (Axe 2 négatif extrême). Le cadran le plus cohérent est situé au centre-gauche du graphique, autour des attributs "Distingué", "Sobre-élégant" et "Nouveau-riche". Dans cet espace, les marques les plus proches de ces concepts sont "Fontenoy" et "Alezan". Cependant, "Alezan" est plus éloigné du vecteur "Distingué" sur le graphique que ne l'est "Fontenoy". La marque "Fontenoy" constitue donc le compromis le plus approprié pour répondre aux critères du produit.

Méthode

Face à une épreuve d'Analyse des Données Multidimensionnelles telle que l'AFC :

1. Vérifiez le type de tableau : Une AFC s'applique sur des tableaux de contingence croisant des dénombrements. L'inertie totale, le Khi² et le tableau des taux de liaison valident l'existence d'une dépendance entre les variables lignes et colonnes, condition indispensable avant d'aller plus loin.
2. Identifiez les axes utiles : Pensez au critère de Kaiser (moyenne de l'inertie = 1/dimension minimale) ou à la méthode du coude ("Scree plot") pour déterminer le nombre pertinent d'axes à interpréter. Les petites valeurs propres sont souvent du "bruit" résiduel.
3. Méfiez-vous des projections (Cos²) : La qualité de représentation prévient les biais de lecture. Un point situé près du centre du graphique factoriel n'a pas nécessairement un profil moyen (comme illustré par la Question 6 avec la modalité "Nouveau-riche") : ce point peut simplement se projeter très mal sur les premiers axes. Vérifiez toujours la colonne Cos² ou Qualité avant de conclure géométriquement.
4. Décodez les axes via les contributions absolues : L'interprétation d'un axe s'effectue en opposant les variables/individus qui contribuent le plus à l'inertie de l'axe, du côté positif versus le côté négatif. On ne nomme un axe qu'après avoir qualifié les extrêmes de ces contributions.