PSR83B - Introduction aux analyses multidimensionnelles

PSR83B - Introduction aux analyses multidimensionnelles 2007/2008 Décrire en extension chacune des classes de la partition. Classe I : I1, I2, I5, I12 Classe II : I4, I7 Classe III : I3, I13, I8, I14, I15 Classe IV : I6, I10, I9, I11 d) Comment peut-on décrire les positions des 4 classes précédentes sur le graphique de l'ACP ? Les classes correspondent approximativement aux 4 quadrants définis par les deux premières variables principales. Ainsi : La classe I correspond à CP1 < 0 et CP2 > 0 La classe II correspond à CP1 < 0 et CP2 < 0, mais ne contient pas I13. Il vaudrait mieux la décrire par : CP1 < -1, CP2 < -1 La classe III correspond à CP1 > -1, CP2 < 0 La classe IV correspond à CP1 >0 et CP2 > 0. e) On sait que la définition d'une hiérarchie de classes, avec l'indice d'agrégation correspondant, permet de définir sur les individus une distance dite ultramétrique . Evaluer à partir du graphique la distance ultramétrique séparant le sujet I15 et le sujet I6. La distance ultramétrique associée à une CAH est obtenue en considérant, pour chaque couple d'objets, la plus petite classe les contenant et en notant l'indice d'agrégation correspondant. Pour les objets I15 et I6, la classe correspondante est l'avant-dernière, avec un indice d'agrégation proche de 24 (valeur lue sur le graphique). 6.2 Exercice 2 Une entreprise veut choisir un nom pour un nouveau produit, qui doit paraître de qualité supérieure, prestigieux, luxueux, convenant à un public masculin, connaisseur, raffiné, distingué, de niveau socio-économique élevé... [1] L'entreprise hésite entre 12 marques (cf 1ère ligne du tableau ci-dessous). Pour faire un choix entre ces marques, un échantillon de clients potentiels a été interrogé. Onze attributs leur étaient proposés (cf. 1ère colonne du tableau). Pour chaque attribut, la personne interrogée devait désigner une ou plusieurs marques auxquelles l'attribut se rapportait le mieux. Les résultats obtenus sont les suivants : Col1 Orly Alezan Corsaire Directoire Ducat Fontenoy Icare Zodiaque Pavois Cocker Escale Hotesse Total Vieillot 1 2 14 38 18 10 9 5 9 4 0 1 111 Nouveau- riche 20 9 1 11 10 9 1 1 20 9 7 12 110 Sobre- élégant 9 23 1 15 7 11 6 2 7 12 3 17 113 Cocasse 1 3 15 15 6 5 12 18 4 25 2 2 108 Racé 4 33 7 8 3 6 6 4 5 15 5 3 99 Mièvre 3 9 1 7 7 5 12 9 6 9 6 13 87 Distingué 11 9 1 17 4 21 6 1 5 4 5 27 111 Vulgaire 4 4 32 2 6 0 9 7 3 10 10 7 94 Pour un homme 9 12 23 4 7 13 5 5 10 5 13 0 106 Pour une femme 9 3 9 8 4 2 6 8 1 6 23 33 112 Pour une 7 5 2 7 11 2 6 11 9 24 10 0 94 1 Dans la version d'origine de cet exercice (Benzécri, 1980), le produit dont il est question est une cigarette, mais est-il encore "politiquement correct" de bâtir un exercice sur ce thème ? F.-G. Carpentier - 2008 120 PSR83B - Introduction aux analyses multidimensionnelles 2007/2008 petite nature Col2 Col3 Col4 Col5 Col6 Col7 Col8 Col9 Col10 Col11 Col12 Col13 Col14 Total 78 112 106 132 83 84 78 71 79 123 84 115 1145 On traite ce tableau par une méthode d'analyse des données multidimensionnelles. Les principaux résultats sont rassemblés dans les tableaux et graphiques ci-dessous : Fréquences Col1 Orly Alezan Corsaire Directoire Ducat Fontenoy Icare Zodiaque Pavois Cocker Escale Hotesse Total Vieillot 0,09% 0,17% 1,22% 3,32% 1,57% 0,87% 0,79% 0,44% 0,79% 0,35% 0,00% 0,09% 9,69% Nouveau-riche 1,75% 0,79% 0,09% 0,96% 0,87% 0,79% 0,09% 0,09% 1,75% 0,79% 0,61% 1,05% 9,61% Sobre-élégant 0,79% 2,01% 0,09% 1,31% 0,61% 0,96% 0,52% 0,17% 0,61% 1,05% 0,26% 1,48% 9,87% Cocasse 0,09% 0,26% 1,31% 1,31% 0,52% 0,44% 1,05% 1,57% 0,35% 2,18% 0,17% 0,17% 9,43% Racé 0,35% 2,88% 0,61% 0,70% 0,26% 0,52% 0,52% 0,35% 0,44% 1,31% 0,44% 0,26% 8,65% Mièvre 0,26% 0,79% 0,09% 0,61% 0,61% 0,44% 1,05% 0,79% 0,52% 0,79% 0,52% 1,14% 7,60% Distingué 0,96% 0,79% 0,09% 1,48% 0,35% 1,83% 0,52% 0,09% 0,44% 0,35% 0,44% 2,36% 9,69% Vulgaire 0,35% 0,35% 2,79% 0,17% 0,52% 0,00% 0,79% 0,61% 0,26% 0,87% 0,87% 0,61% 8,21% Pour un homme 0,79% 1,05% 2,01% 0,35% 0,61% 1,14% 0,44% 0,44% 0,87% 0,44% 1,14% 0,00% 9,26% Pourune femme 0,79% 0,26% 0,79% 0,70% 0,35% 0,17% 0,52% 0,70% 0,09% 0,52% 2,01% 2,88% 9,78% Pour une petite nature 0,61% 0,44% 0,17% 0,61% 0,96% 0,17% 0,52% 0,96% 0,79% 2,10% 0,87% 0,00% 8,21% Total 6,81% 9,78% 9,26% 11,53% 7,25% 7,34% 6,81% 6,20% 6,90% 10,74% 7,34% 10,04% 100 % Fréquences lignes Col1 Orly Alezan Corsaire Directoire Ducat Fontenoy Icare Zodiaque Pavois Cocker Escale Hotesse Total Vieillot 0,90% 1,80% 12,61% 34,23% 16,22% 9,01% 8,11% 4,50% 8,11% 3,60% 0,00% 0,90% 100% Nouveau-riche 18,18% 8,18% 0,91% 10,00% 9,09% 8,18% 0,91% 0,91% 18,18% 8,18% 6,36% 10,91% 100% Sobre-élégant 7,96% 20,35% 0,88% 13,27% 6,19% 9,73% 5,31% 1,77% 6,19% 10,62% 2,65% 15,04% 100% Cocasse 0,93% 2,78% 13,89% 13,89% 5,56% 4,63% 11,11% 16,67% 3,70% 23,15% 1,85% 1,85% 100% Racé 4,04% 33,33% 7,07% 8,08% 3,03% 6,06% 6,06% 4,04% 5,05% 15,15% 5,05% 3,03% 100% Mièvre 3,45% 10,34% 1,15% 8,05% 8,05% 5,75% 13,79% 10,34% 6,90% 10,34% 6,90% 14,94% 100% Distingué 9,91% 8,11% 0,90% 15,32% 3,60% 18,92% 5,41% 0,90% 4,50% 3,60% 4,50% 24,32% 100% Vulgaire 4,26% 4,26% 34,04% 2,13% 6,38% 0,00% 9,57% 7,45% 3,19% 10,64% 10,64% 7,45% 100% Pour un homme 8,49% 11,32% 21,70% 3,77% 6,60% 12,26% 4,72% 4,72% 9,43% 4,72% 12,26% 0,00% 100% Pour une femme 8,04% 2,68% 8,04% 7,14% 3,57% 1,79% 5,36% 7,14% 0,89% 5,36% 20,54% 29,46% 100% Pour une petite nature 7,45% 5,32% 2,13% 7,45% 11,70% 2,13% 6,38% 11,70% 9,57% 25,53% 10,64% 0,00% 100% Total 6,81% 9,78% 9,26% 11,53% 7,25% 7,34% 6,81% 6,20% 6,90% 10,74% 7,34% 10,04% 100% Fréquences colonnes Col1 Orly Alezan Corsaire Directoire Ducat Fontenoy Icare Zodiaque Pavois Cocker Escale Hotesse Total Vieillot 1,28% 1,79% 13,21% 28,79% 21,69% 11,90% 11,54% 7,04% 11,39% 3,25% 0,00% 0,87% 9,69% Nouveau- riche 25,64% 8,04% 0,94% 8,33% 12,05% 10,71% 1,28% 1,41% 25,32% 7,32% 8,33% 10,43% 9,61% Sobre- élégant 11,54% 20,54% 0,94% 11,36% 8,43% 13,10% 7,69% 2,82% 8,86% 9,76% 3,57% 14,78% 9,87% Cocasse 1,28% 2,68% 14,15% 11,36% 7,23% 5,95% 15,38% 25,35% 5,06% 20,33% 2,38% 1,74% 9,43% Racé 5,13% 29,46% 6,60% 6,06% 3,61% 7,14% 7,69% 5,63% 6,33% 12,20% 5,95% 2,61% 8,65% Mièvre 3,85% 8,04% 0,94% 5,30% 8,43% 5,95% 15,38% 12,68% 7,59% 7,32% 7,14% 11,30% 7,60% Distingué 14,10% 8,04% 0,94% 12,88% 4,82% 25,00% 7,69% 1,41% 6,33% 3,25% 5,95% 23,48% 9,69% Vulgaire 5,13% 3,57% 30,19% 1,52% 7,23% 0,00% 11,54% 9,86% 3,80% 8,13% 11,90% 6,09% 8,21% Pour un homme 11,54% 10,71% 21,70% 3,03% 8,43% 15,48% 6,41% 7,04% 12,66% 4,07% 15,48% 0,00% 9,26% Pour une femme 11,54% 2,68% 8,49% 6,06% 4,82% 2,38% 7,69% 11,27% 1,27% 4,88% 27,38% 28,70% 9,78% Pour une petite nature 8,97% 4,46% 1,89% 5,30% 13,25% 2,38% 7,69% 15,49% 11,39% 19,51% 11,90% 0,00% 8,21% Total 100% 100% 100% 100% 100% 100, 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% Taux de liaison Col1 Orly Alezan Corsaire Directoire Ducat Fontenoy Icare Zodiaque Pavois Cocker Escale Hotesse Vieillot -0,868 -0,816 0,362 1,970 1,237 0,228 0,190 -0,274 0,175 -0,665 -1,000 -0,910 Nouveau-riche 1,669 -0,164 -0,902 -0,133 0,254 0,115 -0,867 -0,853 1,635 -0,238 -0,133 0,086 Sobre-élégant 0,169 1,081 -0,904 0,151 -0,145 0,327 -0,221 -0,715 -0,102 -0,011 -0,638 0,498 F.-G. Carpentier - 2008 121 PSR83B - Introduction aux analyses multidimensionnelles 2007/2008 Cocasse -0,864 -0,716 0,500 0,205 -0,234 -0,369 0,631 1,688 -0,463 1,155 -0,748 -0,816 Racé -0,407 2,408 -0,236 -0,299 -0,582 -0,174 -0,110 -0,348 -0,268 0,410 -0,312 -0,698 Mièvre -0,494 0,058 -0,876 -0,302 0,110 -0,217 1,025 0,668 0,000 -0,037 -0,060 0,488 Distingué 0,455 -0,171 -0,903 0,328 -0,503 1,579 -0,207 -0,855 -0,347 -0,665 -0,386 1,422 Vulgaire -0,375 -0,565 2,677 -0,815 -0,119 -1,000 0,405 0,201 -0,537 -0,010 0,450 -0,259 Pour un homme 0,246 0,157 1,344 -0,673 -0,089 0,672 -0,308 -0,239 0,367 -0,561 0,672 -1,000 Pour une femme 0,180 -0,726 -0,132 -0,380 -0,507 -0,757 -0,214 0,152 -0,871 -0,501 1,799 1,934 Pour une petite nature 0,093 -0,456 -0,770 -0,354 0,614 -0,710 -0,063 0,887 0,388 1,377 0,450 -1,000 Valeurs propres Nombre Valeurs Propres et Inertie de toutes les Dimensions Col3 Col4 Col5 Col6 de Dims. Inertie Totale =,60855 Chi2 = 696,79 dl = 110 p = 0,0000 Inertie Totale =,60855 Chi2 = 696,79 dl = 110 p = 0,0000 Inertie Totale =,60855 Chi2 = 696,79 dl = 110 p = 0,0000 Inertie Totale =,60855 Chi2 = 696,79 dl = 110 p = 0,0000 Inertie Totale =,60855 Chi2 = 696,79 dl = 110 p = 0,0000 ValSing. ValProp. %age Inertie %age Cumulé Chi2 1 0,4267 0,1821 29,9210 29,9210 208,4852 2 0,3646 0,1330 21,8484 51,7694 152,2368 3 0,3230 0,1043 17,1421 68,9115 119,4437 4 0,2849 0,0812 13,3400 82,2515 92,9514 5 0,2532 0,0641 10,5317 92,7832 73,3831 6 0,1456 0,0212 3,4817 96,2649 24,2602 7 0,1053 0,0111 1,8232 98,0881 12,7041 8 0,0943 0,0089 1,4610 99,5491 10,1800 9 0,0514 0,0026 0,4338 99,9829 3,0223 10 0,0102 0,0001 0,0171 100,0000 0,1192 Résultats relatifs aux lignes NomLigne Coordonnées Ligne et Contributions à l'Inertie Col3 Col4 Col5 Col6 Col7 Col8 Col9 Col10 Col11 Col12 Col13 Col14 Standardisation : Profils ligne et colonne Standardisation : Profils ligne et colonne Standardisation : Profils ligne et colonne Standardisation : Profils ligne et colonne Standardisation : Profils ligne et colonne Standardisation : Profils ligne et colonne Standardisation : Profils ligne et colonne Standardisation : Profils ligne et colonne Standardisation : Profils ligne et colonne Standardisation : Profils ligne et colonne Standardisation : Profils ligne et colonne Standardisation : Profils ligne et colonne Standardisation : Profils ligne et colonne N° Coord. Dim.1 Coord. Dim.2 Coord. Dim.3 Masse Qualité Inertie Relative Inertie Dim.1 Cos2 Dim.1 Inertie Dim.2 Cos2 Dim.2 Inertie Dim.3 Cos2 Dim.3 Vieillot 1 0,266 -0,572 0,662 0,097 0,926 0,144 0,038 0,078 0,238 0,362 0,408 0,486 Nouveau-riche 2 -0,436 -0,157 -0,007 0,096 0,380 0,089 0,100 0,337 0,018 0,043 0,000 0,000 Sobre-élégant 3 -0,409 -0,216 -0,194 0,099 0,853 0,048 0,090 0,567 0,035 0,159 0,035 0,127 Cocasse 4 0,614 -0,118 0,025 0,094 0,640 0,095 0,196 0,616 0,010 0,023 0,001 0,001 Racé 5 -0,031 -0,270 -0,704 0,086 0,805 0,101 0,000 0,001 0,047 0,103 0,411 0,701 Mièvre 6 -0,091 0,033 -0,044 0,076 0,050 0,028 0,003 0,036 0,001 0,005 0,001 0,009 Distingué 7 -0,667 0,014 0,262 0,097 0,824 0,099 0,237 0,714 0,000 0,000 0,064 0,110 Vulgaire 8 0,686 0,544 0,026 0,082 0,843 0,123 0,212 0,517 0,183 0,325 0,001 0,001 Pour un homme 9 0,249 0,131 -0,108 0,093 0,203 0,068 0,031 0,139 0,012 0,038 0,010 0,026 Pour une femme 10 -0,313 0,779 0,183 0,098 0,891 0,133 0,053 0,118 0,447 0,732 0,031 0,040 Pour une petite nature 11 0,292 -0,129 -0,218 0,082 0,281 0,072 0,039 0,160 0,010 0,031 0,037 0,089 Résultats relatifs aux colonnes Nom Col. Coordonnées Colonne et Contributions à l'Inertie Col3 Col4 Col5 Col6 Col7 Col8 Col9 Col10 Col11 Col12 Col13 Col14 Standardisation : Profils ligne et colonne Standardisation : Profils ligne et colonne Standardisation : Profils ligne et colonne Standardisation : Profils ligne et colonne Standardisation : Profils ligne et colonne Standardisation : Profils ligne et colonne Standardisation : Profils ligne et colonne Standardisation : Profils ligne et colonne Standardisation : Profils ligne et colonne Standardisation : Profils ligne et colonne Standardisation : Profils ligne et colonne Standardisation : Profils ligne et colonne Standardisation : Profils ligne et colonne N° Coord. Dim.1 Coord. Dim.2 Coord. Dim.3 Masse Qualité Inertie Relative Inertie Dim.1 Cos2 Dim.1 Inertie Dim.2 Cos2 Dim.2 Inertie Dim.3 Cos2 Dim.3 Orly 1 -0,452 0,101 -0,080 0,068 0,453 0,055 0,076 0,419 0,005 0,021 0,004 0,013 Alezan 2 -0,262 -0,267 -0,723 0,098 0,796 0,134 0,037 0,083 0,053 0,086 0,490 0,627 Corsaire 3 0,808 0,393 0,125 0,093 0,720 0,174 0,332 0,572 0,107 0,135 0,014 0,014 Directoire 4 -0,034 -0,482 0,484 0,115 0,883 0,100 0,001 0,002 0,202 0,439 0,259 0,442 Ducat 5 0,160 -0,288 0,261 0,072 0,645 0,033 0,010 0,094 0,045 0,302 0,047 0,248 Fontenoy 6 -0,395 -0,270 0,152 0,073 0,505 0,060 0,063 0,312 0,040 0,146 0,016 0,046 Icare 7 0,267 0,010 0,055 0,068 0,324 0,026 0,027 0,310 0,000 0,000 0,002 0,013 Zodiaque 8 0,537 0,114 -0,038 0,062 0,517 0,060 0,098 0,492 0,006 0,022 0,001 0,003 Pavois 9 -0,116 -0,305 -0,027 0,069 0,254 0,048 0,005 0,032 0,048 0,220 0,000 0,002 Cocker 10 0,322 -0,117 -0,339 0,107 0,526 0,078 0,061 0,235 0,011 0,031 0,118 0,260 Escale 11 -0,035 0,676 -0,080 0,073 0,767 0,073 0,001 0,002 0,252 0,754 0,005 0,011 Hotesse 12 -0,724 0,552 0,214 0,100 0,901 0,160 0,289 0,540 0,230 0,314 0,044 0,047 F.-G. Carpentier - 2008 122 PSR83B - Introduction aux analyses multidimensionnelles 2007/2008 Tracé 2D des Coordonnées Ligne & Colonne ; Dimension : 1 x 2 Table d'Entrée (Lignes x Colonnes) : 11 x 12 Standardisation : Profils ligne et colonne 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 Col1 Col2 Pou runefem me Col6 Col7 Col8 Col9 Col10 ~~Hotesse~~ Esca le ~~ulgaire~~ Cor saire Distingu é Orly Mièvre ~~Pour~~ ~~nhomme~~ Icare Zodiaq e Nouveau Sobr~~e-~~é -riche légant Pouru nepetiten Cocker Co ature casse ~~Font~~ ~~Aleza~~ ~~enoy~~ ~~Rac~~ Pavoi~~s~~ ~~é~~ Duca t ~~Direct~~ V ~~ire~~ ieillot -1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Dimension 1; Valeur Propre :,18208 (29,92 % d'Inertie) Coord.L. Coord.C. 1) Quelle est la méthode d'analyse utilisée ici ? Pourquoi utilise-t-on cette méthode ? La méthode utilisée ici est une analyse factorielle des correspondances. Cette méthode permet d'étudier des données présentées sous forme de tableau de contingence. 2) a) Dans le tableau des fréquences lignes, on lit 20,35% à l'intersection de la ligne "sobre-élégant" et de la colonne "alezan". Comment a été obtenue cette valeur ? Que signifie-t-elle ? Les fréquences lignes sont obtenues en divisant l'effectif d'une cellule par l'effectif de la ligne correspondante. Ainsi, on a ici : 20,35% = 23/113. b) Comparer qualitativement le profil de la marque "Corsaire" au profil moyen. Ce sont les profils colonnes qui doivent être utilisés ici. Alors que le profil colonne moyen est relativement uniforme (fréquences de 7,60% à 9,87%), le profil de la modalité "Corsaire" fait apparaître des fréquences très faibles (4 fréquences à moins de 1%) et des fréquences élevées, avec notamment "Vulgaire", à plus de 30%. Ce profil est donc très éloigné du profil moyen. 3) a) La première valeur indiquée dans le tableau des taux de liaison est -0,868. Indiquer le calcul qui a permis d'obtenir cette valeur. Le taux de liaison est obtenu à partir de la fréquence (0,09%) et des fréquences marginales de la ligne (9,69%) et de la colonne (6,81%) à l'aide du calcul suivant : t = [0,0009][ ] [0,0969][ ] [0,0681] = 0,863 0,0969 0,0681 b) Au vu du tableau des taux de liaison, indiquer une modalité ligne et une modalité colonne qui "s'attirent". Indiquer une modalité ligne et une modalité colonne qui "se repoussent". F.-G. Carpentier - 2008 123 PSR83B - Introduction aux analyses multidimensionnelles 2007/2008 Il existe un taux de liaison positif élevé entre "Orly" et "Nouveau-riche", ce qui montre que ces deux modalités s'attirent. Au contraire, le taux de liaison négatif entre "Orly" et "Vieillot" montre que ces modalités se repoussent. b) Quel est le taux de liaison maximum du tableau ? Comment pourrait-on exprimer d'une autre façon le résultat correspondant à ce taux de liaison. Le taux maximum (2,677) est observé pour le couple de modalités (Vulgaire, Corsaire). Il signifie que la fréquence de ce couple de modalités dépasse de 267% la fréquence attendue sous hypothèse d'indépendance des lignes et colonnes. 4) Le coefficient Phi-2 de ce tableau vaut 0,60855. Relier ce résultat aux valeurs propres d'une part, au khi-2 du tableau d'autre part. On sait que ce coefficient est égal à la somme des valeurs propres. Il est relié au khi-2 par la relation Phi2 = Khi2/N. On vérifie, sur les tableaux ci-dessus, que : 0,60855 = 696,79/1145. 5) Au vu du tableau des valeurs propres, combien de variables factorielles faudrait-il étudier dans le cadre d'une étude complète des données observées ? L'AFC fournit ici 10 valeurs propres, soit une moyenne de 10% d'inertie associée à chaque axe. D'autre part, on observe une brusque diminution de l'inertie associée à partir du 6è axe. Autrement dit, la méthode de la moyenne, aussi bien que la méthode du coude, nous conduiraient ici à étudier les 5 premiers axes. 6) a) En utilisant le tableau des résultats relatifs aux lignes, calculer la distance du point représentant la modalité "Nouveau-riche" à l'origine du repère, dans l'espace de dimension 3 défini par les 3 premiers axes factoriels. On a : d [2] = ( 0,436) [2] + ( 0,157) [2] + ( 0,007) [2] = 0,2148 d'où : d=0,4635. b) Rappeler la définition de la notion de qualité de représentation d'un point. La qualité de représentation d'un point M est le rapport [ 2] [, où H désigne la projection du point ] OM [2] M dans le sous-espace retenu pour la représentation. c) En utilisant la qualité de représentation indiquée dans le tableau, calculer la distance du point représentant la modalité "Nouveau-riche" à l'origine du repère dans l'espace de dimension 10 défini par l'ensemble des axes factoriels. La qualité de représentation de "Nouveau-riche" dans l'espace des trois premiers facteurs est 0,38. Le carré de la distance dans l'espace de dimension 10 est donc : D [2] = [0,2148] 0,38 [=][ 0,5652] [ d'où ] D=0,7518. d) Mêmes questions pour le point représentant la modalité "Sobre-élégant". On a : d ' [2] = ( 0,409) [2] + ( 0,216) [2] + ( 0,194) [2] = 0,2516 d'où : d'=0,5016. F.-G. Carpentier - 2008 124 PSR83B - Introduction aux analyses multidimensionnelles 2007/2008 La qualité de représentation de "Sobre-élégant" dans l'espace des trois premiers facteurs est 0,853. Le carré de la distance dans l'espace de dimension 10 est donc : D ' [2] = [0,2516] 0,853 [=][ 0,2950] [ d'où ] D'=0,5431. e) Dans la représentations en 3 dimensions, "Nouveau-riche" est plus près du profil moyen que "Sobre-élégant". En est-il de même dans la réalité, c'est-à-dire dans l'espace de dimension 10 ? On constate que, dans l'espace de dimension 3, "Nouveau-riche" est plus près de l'origine que "Sobre-élégant", alors que dans l'espace de dimension 10, c'est l'inverse qui se produit. Mais, la qualité de représentation de "Nouveau-riche" dans l'espace de dimension 3 est nettement moins bonne que celle de "Sobre-élégant". 7) Etude de la première variable factorielle a) On considère le nuage des attributs. Quels sont les individus dont la contribution est supérieure à la moyenne ? Pour chacun d'eux, préciser le signe de la coordonnée correspondante. Comment peuton interpréter cet axe en termes d'opposition entre attributs. Le nombre d'attributs est de 11. Le seuil envisagé correspond donc à 9,09% de contribution à l'inertie du premier axe. - + Distingué (23,7%) Vulgaire (21,2%) Nouveau-riche (10,0%) _ Cocasse (19,6%)_ On voit que cet axe oppose essentiellement les attributs antinomiques distingué / vulgaire. b) Même question pour le nuage des marques envisagées. -à-dire 8,33%. Col2 _- _ _+ _ Hôtesse (28,9%) Corsaire (33,2%) Zodiaque (19,8%) Les marques qui s'opposent ici sont d'une part "Hôtesse", fortement liée aux attributs "distingué" et "pour une femme" (cf. le tableau des taux de liaison) à des marques telles que "Corsaire" ou "Zodiaque", liées l'une à "vulgaire", l'autre à "cocasse". 8) Mener une étude analogue pour la deuxième variable. On considère la deuxième variable et le nuage des attributs : - + Vieillot (23,8%) Pour une femme (44,7%) Vulgaire (18,3%) rques envisagées : Col2 _- _ _+ _ Directoire (20,2%) Escale (25,2%) F.-G. Carpentier - 2008 125 PSR83B - Introduction aux analyses multidimensionnelles 2007/2008 Col1 Hôtesse (23%) Corsaire (10,7%) Une part importante de l'inertie de cet axe est associée à l'attribut "Pour une femme", qui est associé à des marques telles que "Escale" ou "Hôtesse". On y retrouve, dans une moindre mesure, "Corsaire", associé à "Vulgaire". A ces attributs s'oppose "Vieillot", lié à "Directoire" 9) Faire une synthèse des deux études précédentes en décrivant les résultats obtenus dans le premier plan factoriel. L'étude des deux premiers axes (et du graphique), permet déjà de cerner trois zones : - Les marques "Zodiaque", "Corsaire" liées à des attributs tels que "vulgaire" et "cocasse" ; - Une forte liaison entre "Escale" et "Pour une femme", à laquelle s'ajoutent des marques telles que "Hôtesse" ou "Orly", qui sont également liées à "distingué"; - Des marques telles que "Directoire", et dans une moindre mesure, "Pavois" ou "Ducat", liées à l'attribut "vieillot". 10) A votre avis, quelle est la marque qui a finalement été retenue par l'entreprise ? Compte tenu du cahier des charges posé au départ (produit qui doit paraître de qualité supérieure, prestigieux, luxueux, convenant à un public masculin, connaisseur, raffiné, distingué, de niveau socio-économique élevé...), aucune des marques citées dans l'analyse précédente ne convient. La zone la plus intéressante du graphique est ici celle contenant les points "distingué", "nouveau- riche", "sobre élégant", "Fontenoy", "Alezan". Mais "Alezan" n'est pas assez lié à "distingué", et c'est finalement la marque "Fontenoy" qui a été retenue. F.-G. Carpentier - 2008 126