Support de cours : Systèmes logiques

Ce cours porte sur la logique combinatoire, une branche fondamentale des systèmes logiques étudiés en électronique numérique. Il s’inscrit dans un cursus d’initiation aux machines numériques et aux circuits électroniques, en expliquant les fonctions logiques de base, leurs propriétés, ainsi que les méthodes de simplification des fonctions logiques pour optimiser les circuits.

Introduction aux fonctions logiques dans les machines numériques

Les machines numériques sont composées d’un ensemble de circuits électroniques, chacun réalisant une fonction logique précise. Par exemple, une fonction F(A, B) peut correspondre à la somme de A et B, à la comparaison de ces deux variables, ou à toute autre fonction logique. Ces fonctions sont les briques élémentaires qui permettent de construire des circuits complexes.

Fonctions logiques de base

Fonction OUI (Identité)

La fonction logique OUI, aussi appelée fonction d’égalité, transmet l’état logique de la variable d’entrée S à la sortie H sans modification. Ainsi, H = S.

Table de vérité :

S	H
0	0
1	1

Fonction NON (Négation)

La fonction NON inverse l’état logique de la variable d’entrée S. La sortie H est donc le complément logique de S, soit H = ¬S.

Table de vérité :

S	H
0	1
1	0

Fonction ET (AND)

La sortie H est à l’état logique 1 si et seulement si toutes les variables d’entrée sont à 1. Pour deux variables S1 et S2, l’équation est :

H = S1 . S2

Table de vérité :

S1	S2	H
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Fonction OU (OR)

La sortie H est à l’état logique 1 si au moins une des variables d’entrée est à 1. Pour deux variables S1 et S2, l’équation est :

H = S1 + S2

Table de vérité :

S1	S2	H
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Théorèmes de De Morgan

Les théorèmes de De Morgan sont essentiels pour la manipulation et la simplification des fonctions logiques :

• Premier théorème : Le complément d’une somme logique est égal au produit logique des termes complémentés.
• Deuxième théorème : Le complément d’un produit logique est égal à la somme logique des termes complémentés.

Autres fonctions logiques importantes

Fonction NON-OU (NOR)

La fonction NOR produit une sortie H à 1 uniquement si toutes les entrées sont à 0. Elle est donc la négation de la fonction OU.

Équation logique :

H = ¬(S1 + S2)

Fonction NON-ET (NAND)

La fonction NAND produit une sortie H à 0 uniquement si toutes les entrées sont à 1, c’est la négation de la fonction ET.

Équation logique :

H = ¬(S1 . S2)

Fonction OU Exclusif (XOR)

La fonction XOR produit une sortie H à 1 si et seulement si une seule des entrées est à 1, mais pas les deux simultanément.

Équation logique :

H = S1 ⊕ S2

Fonction ET Inclusif

Cette fonction est mentionnée mais sans détail dans le cours. Elle correspond généralement à une fonction ET avec certaines conditions spécifiques.

Représentation des fonctions logiques par schéma (logigramme)

La traduction d’une fonction logique en schéma électronique consiste à remplacer chaque opérateur logique par la porte logique correspondante. Cela permet de visualiser et de construire physiquement le circuit électronique qui réalise la fonction.

Simplification des fonctions logiques

L’objectif principal de la simplification est de réduire le nombre de termes et de variables dans une fonction logique. Cela permet de diminuer le nombre de portes logiques nécessaires, réduisant ainsi le coût et la complexité du circuit.

Deux méthodes principales sont utilisées :

• La méthode algébrique, basée sur l’application des règles de l’algèbre de Boole.
• Les méthodes graphiques, comme la table de Karnaugh.

Méthode algébrique (algèbre de Boole)

Cette méthode applique les règles suivantes pour simplifier les expressions logiques :

• Opération NON :

¬(¬A) = A
A + ¬A = 1
A . ¬A = 0

• Opération ET :

A . 1 = A
A . 0 = 0
A . A = A
A . B = B . A (commutativité)
(A . B) . C = A . (B . C) (associativité)

• Opération OU :

A + 0 = A
A + 1 = 1
A + A = A
A + B = B + A (commutativité)
(A + B) + C = A + (B + C) (associativité)

• Distributivité :

A . (B + C) = A . B + A . C
A + (B . C) = (A + B) . (A + C)

D’autres relations utiles permettent d’éliminer des variables ou de regrouper des termes :

B = B . (A + ¬A)
B . A + ¬A = (B + ¬A) . (A + ¬A) = B + ¬A

Points clés

• Les fonctions logiques de base sont OUI (identité), NON (négation), ET (AND), OU (OR).
• Les fonctions dérivées importantes sont NON-OU (NOR), NON-ET (NAND), OU exclusif (XOR).
• Les théorèmes de De Morgan permettent de transformer et simplifier les expressions logiques.
• Le schéma logique traduit une fonction en un circuit électronique avec des portes logiques.
• La simplification des fonctions logiques réduit le nombre de portes nécessaires, optimisant ainsi le coût et la complexité.
• La méthode algébrique utilise les règles de l’algèbre de Boole pour simplifier les expressions.