LE COURS

Ce matériel couvre les notions fondamentales des nombres binaires et hexadécimaux, ainsi que leur conversion avec le système décimal. Il s’adresse aux étudiants en électronique et informatique souhaitant maîtriser rapidement et sans erreur ces conversions indispensables dans ces domaines.

Les systèmes de numération : décimal, binaire et hexadécimal

La numération décimale

La numération décimale est la plus courante. Un nombre décimal, comme 254, est composé de chiffres multipliés par des puissances de 10 :

(4 × 1) + (5 × 10) + (2 × 100) = 254

Les puissances de 10 sont sous-entendues lorsque l’on prononce un nombre.

La numération binaire

La numération binaire utilise uniquement les chiffres 0 et 1. Elle est essentielle en électronique numérique car les circuits intégrés fonctionnent avec deux niveaux électriques : présence (1) ou absence (0) de tension.

Par exemple, le nombre décimal 10 s’écrit en binaire 1010.

La numération hexadécimale

La numération hexadécimale a une base 16, utilisant les chiffres 0 à 9 puis les lettres A à F pour représenter les valeurs 10 à 15 :

• 10 = A
• 11 = B
• 12 = C
• 13 = D
• 14 = E
• 15 = F

Elle permet de représenter des nombres binaires longs en peu de chiffres, facilitant la lecture et l’écriture.

Conversion entre décimal et hexadécimal

Pour convertir un nombre décimal en hexadécimal, on peut utiliser un tableau de correspondance (tableau 2). Si le nombre décimal ne figure pas directement, on prend le nombre hexadécimal correspondant au nombre décimal immédiatement inférieur, puis on ajoute la différence.

Exemple : Convertir 450 en hexadécimal.

• Le nombre décimal immédiatement inférieur dans le tableau est 448, correspondant à 1C0 en hexadécimal.
• 450 – 448 = 2
• On remplace le dernier chiffre hexadécimal 0 par 2 : 1C2.
• Donc 450 en décimal correspond à 1C2 en hexadécimal.

Pour convertir un hexadécimal en décimal, on procède de la même façon en sens inverse.

Exemple : Convertir 1C2 en décimal.

• Le nombre hexadécimal immédiatement inférieur dans le tableau est 1C0, correspondant à 448 en décimal.
• On ajoute la différence 2 (le dernier chiffre hexadécimal) : 448 + 2 = 450.
• Donc 1C2 en hexadécimal correspond à 450 en décimal.

Autres exemples

• 2042 décimal : 2032 correspond à 7F0 hexadécimal, 2042 – 2032 = 10 = A → 7FA hexadécimal.
• 2070 décimal : 2064 correspond à 810 hexadécimal, 2070 – 2064 = 6 → 816 hexadécimal.
• 4095 décimal : 4080 correspond à FF0 hexadécimal, 4095 – 4080 = 15 = F → FFF hexadécimal.

Conversion entre décimal et binaire

Un nombre binaire ne contient que des 0 et des 1. Pour convertir un nombre décimal en binaire, on utilise un tableau de poids (tableau 3) où chaque colonne correspond à une puissance de 2 :

2048, 1024, 512, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1

La méthode consiste à soustraire successivement les poids du nombre décimal en partant du plus grand, en notant 1 si la soustraction est possible et 0 sinon.

Exemple : Convertir 2464 en binaire.

• 2464 – 2048 = 416 → 1
• 416 – 1024 impossible → 0
• 416 – 512 impossible → 0
• 416 – 256 = 160 → 1
• 160 – 128 = 32 → 1
• 32 – 64 impossible → 0
• 32 – 32 = 0 → 1
• Reste 0, on complète avec des 0

Le nombre binaire est donc : 100110100000 (séparé en groupes de quatre : 1001-1010-0000).

Ce nombre binaire correspond à 9A0 en hexadécimal.

Conversion de binaire en décimal

Pour convertir un nombre binaire en décimal, on additionne les poids correspondant aux chiffres 1.

Exemple : Convertir 0101-1001-0000 en décimal.

• Les chiffres 1 sont aux poids : 1024, 256, 128 et 16.
• On calcule : 1024 + 256 + 128 + 16 = 1424.

Ce nombre décimal correspond à 590 en hexadécimal.

Conversion entre binaire et hexadécimal

Pour convertir un nombre binaire en hexadécimal, on regroupe les chiffres binaires par groupes de quatre en partant de la droite. Si le groupe de gauche est incomplet, on complète avec des zéros.

Exemple : Convertir les nombres binaires suivants en hexadécimal :

• 0010 1100 1000 → 2 C 8
• 0100 1101 0000 → 4 D 0
• 1110 0111 0011 → E 7 3
• 1000 1010 0101 → 8 A 5

Pour la conversion inverse, on remplace chaque chiffre hexadécimal par son équivalent binaire à quatre bits (voir tableau 4).

Utilisation de la calculatrice scientifique sous Windows

La calculatrice scientifique de Windows permet de convertir facilement entre décimal, binaire et hexadécimal :

• Choisir le mode Scientifique dans le menu Visualiser.
• Saisir un nombre en décimal (cocher Dec), puis cliquer sur Hex ou Bin pour obtenir la conversion.

Exemple : Saisir 2468 en décimal donne 9A4 en hexadécimal et 1001-1010-0100 en binaire.

Glossaire des termes clés

• Numération décimale : Système de base 10 utilisant les chiffres de 0 à 9.
• Numération binaire : Système de base 2 utilisant uniquement les chiffres 0 et 1.
• Numération hexadécimale : Système de base 16 utilisant les chiffres 0 à 9 puis les lettres A à F.
• Poids : Valeur de la position d’un chiffre dans un nombre, exprimée en puissances de la base.
• Facteur Z : Coefficient utilisé dans le calcul de fréquence d’un signal en dents de scie produit par un PUT (voir Leçon 46).
• Tableau de conversion : Tableau associant les valeurs décimales, binaires et hexadécimales pour faciliter les conversions.

Points clés à retenir

• Les conversions entre décimal, binaire et hexadécimal sont essentielles en électronique et informatique.
• La numération binaire utilise uniquement 0 et 1, la base 2, tandis que l’hexadécimal utilise 16 symboles (0-9, A-F).
• Pour convertir décimal → hexadécimal, on utilise un tableau et on ajuste la différence avec le nombre inférieur connu.
• Pour convertir décimal → binaire, on soustrait successivement les puissances de 2 en notant 1 ou 0 selon la possibilité.
• Pour convertir binaire → décimal, on additionne les poids des bits à 1.
• La conversion binaire ↔ hexadécimal se fait par regroupement ou dégroupement en groupes de 4 bits.
• La calculatrice scientifique Windows facilite ces conversions sans erreur.