Resistance of Materials Lecture Notes: Simple Solicitations (2019-2020)

Exercice de Cours - Vérification de la résistance et de la déformation en traction

Question 1 : Vérification de la résistance

Le document présente un cas de traction sur un tube creux. L'objectif est de vérifier si la contrainte appliquée est inférieure ou égale à la contrainte admissible.

Données fournies :

• Force de traction (F) = 95 kN = 95000 N
• Section (S) = (π / 4) × (d_ext² - d_int²) = 2827,4 mm²
• Limite élastique (Re) = 250 MPa
• Coefficient de sécurité (s) = 4

Calcul de la contrainte appliquée (σ) : La formule de la contrainte est σ = F / S. σ = 95000 / 2827,4 ≈ 33,6 MPa

Calcul de la contrainte admissible (σ_adm) : La condition de résistance stipule que σ ≤ Re / s. σ_adm = 250 / 4 = 62,5 MPa

Conclusion : Puisque 33,6 MPa ≤ 62,5 MPa, la pièce résiste en toute sécurité à l'effort de traction.

Question 2 : Calcul de la déformation

Il s'agit de calculer l'allongement de la pièce (Δl) à partir de la loi de Hooke.

Données fournies :

• Contrainte calculée (σ) = 33,6 MPa
• Module de Young (E) = 120 × 10³ MPa (soit 120 GPa)
• Longueur initiale (l) = 2,5 m

Calcul de l'allongement : Selon la loi de Hooke, σ = E × ε, où ε est l'allongement relatif (ε = Δl / l). En réarrangeant la formule : Δl / l = σ / E, donc Δl = (σ / E) × l.

Application numérique : Δl = (33,6 / 120000) × 2,5 m Δl = 0,00028 × 2,5 m = 0,0007 m

En convertissant le résultat en millimètres, on obtient bien Δl = 0,7 mm (ce qui correspond au résultat du document source, bien que le document mélange implicitement les unités dans sa ligne de calcul pour aboutir directement aux millimètres).

Exercice de Cours - Cisaillement d'un axe d'articulation à chape

Les pièces 1 et 3 sont reliées par une liaison pivot via l'axe 2. L'objectif est de vérifier le dimensionnement de l'axe soumis à un effort de cisaillement.

Données de l'énoncé :

• Force globale (F) = 5800 N
• Diamètre de l'axe = 10 mm
• Limite élastique au cisaillement (Rg) = 400 MPa
• Coefficient de sécurité (s) = 5

Calcul de l'effort tranchant (T) : Comme l'axe est en double cisaillement (articulation à chape), l'effort se répartit sur deux sections : T = F / 2 = 5800 / 2 = 2900 N

Calcul de l'aire de la section cisaillée (S) : Le rayon r de l'axe est de 5 mm. S = π × r² = π × 5² = 78,54 mm²

Vérification de la condition de résistance : La contrainte de cisaillement (τ) doit être inférieure ou égale à la contrainte admissible (τ_adm).

• Contrainte appliquée : τ = T / S = 2900 / 78,54 = 36,92 MPa
• Contrainte admissible : τ_adm = Rg / s = 400 / 5 = 80 MPa

Conclusion : Puisque 36,92 MPa ≤ 80 MPa, l'axe est bien dimensionné et résiste au cisaillement.

Exercice 1 - Torsion d'une poutre cylindrique

Question 1 : Calcul de la contrainte maximale et du module de cisaillement (G)

Données :

• Moment de torsion (Mt) = 210 N.m = 210000 N.mm
• Diamètre (d) = 25 mm, soit un rayon (R) = 12,5 mm
• Déformation angulaire (α) = 4,9 degrés
• Longueur (L) = 1000 mm

Calcul de la contrainte de cisaillement (τ) : La formule de base est τ = (Mt / I₀) × R. Le moment quadratique polaire I₀ d'une section pleine est (π × d⁴) / 32. En remplaçant I₀, la formule simplifiée devient : τ = 16 × Mt / (π × d³).

τ = 16 × 210000 / (π × 25³) = 3360000 / 49087,38 ≈ 68,44 MPa.

Calcul du module de cisaillement (G) : L'angle de torsion doit être exprimé en radians : α_rad = 4,9 × (π / 180). À partir de la relation τ = G × γ (où γ = α × R / L), on isole G : G = (τ × L) / (α × R)

G = (68,44 × 1000) / [4,9 × (π / 180) × 12,5] G = 68440 / 1,069 ≈ 64000 MPa, soit 64 GPa.

Question 2 : Calcul de la nouvelle déformation angulaire

On cherche la déformation angulaire (α') pour une contrainte τ_max = 140 MPa et une longueur L' = 1800 mm, avec le même matériau (G = 64000 MPa).

En réutilisant la formule τ = G × α' × (R / L'), on isole α' : α' = (τ_max × L') / (G × R) α' = (140 × 1800) / (64000 × 12,5) = 252000 / 800000 = 0,315 rad.

Conversion en degrés : 0,315 × (180 / π) = 18,05 degrés.

Exercice 2 - Dimensionnement en Torsion (Arbre plein vs Arbre creux)

Données communes déduites du document :

• Limite élastique au cisaillement (Rg ou τ_e) = 240 MPa
• Coefficient de sécurité (s) = 3
• Contrainte admissible : τ_adm = Rg / s = 240 / 3 = 80 MPa
• Moment de torsion (Mt) = 400000 N.mm
• L = 300 mm et G = 80000 MPa (valeurs utilisées dans les calculs de déformation)

Partie 1 - Dimensionnement de l'arbre plein (Diamètre D1)

La contrainte maximale est τ = 16 × Mt / (π × D1³). La condition de résistance impose τ ≤ 80 MPa.

16 × Mt / (π × D1³) ≤ 80 D1³ ≥ (16 × 400000) / (80 × π) D1³ ≥ 6400000 / 251,32 D1³ ≥ 25464,79 mm³ D1 ≥ 29,4 mm. Le diamètre de l'arbre plein doit être d'au moins 29,4 mm.

Déformation angulaire correspondante : α = (τ_max × L) / (G × (D1 / 2)) α = (80 × 300) / [80000 × (29,4 / 2)] = 24000 / 1176000 ≈ 0,02 rad.

Partie 2 - Dimensionnement de l'arbre creux (Diamètre extérieur D2)

L'arbre creux a un diamètre intérieur d2 = 0,6 × D2. Le moment quadratique polaire I₀ pour un tube est π × (D2⁴ - d2⁴) / 32, ce qui donne π × D2⁴ × (1 - 0,6⁴) / 32.

La contrainte maximale est τ = (Mt / I₀) × (D2 / 2). En substituant I₀, on obtient τ = 16 × Mt / [π × D2³ × (1 - 0,6⁴)]. On sait que (1 - 0,6⁴) = 1 - 0,1296 = 0,8704.

Condition de résistance : τ ≤ 80 MPa 16 × Mt / [π × D2³ × 0,8704] ≤ 80 D2³ ≥ (16 × 400000) / (80 × π × 0,8704) D2³ ≥ 29256,4 mm³ D2 ≥ 30,8 mm. Le diamètre extérieur doit être d'au moins 30,8 mm.

Calcul de d2 : d2 = 0,6 × 30,8 = 18,48 mm. (Remarque : Le document source affiche "d2 = 18,84 mm", ce qui est une simple inversion typographique des chiffres 4 et 8 lors de la rédaction de l'énoncé. La valeur correcte mathématique est 18,48 mm).

Déformation angulaire correspondante : Le document source annonce une déformation α de 0,016 rad par l'intermédiaire d'un calcul intermédiaire altéré (1920000 / 113087012,2). Effectuons le calcul réel avec les données : α = (τ_max × L) / (G × (D2 / 2)) α = (80 × 300) / [80000 × (30,8 / 2)] = 24000 / 1232000 ≈ 0,0194 rad. Les déformations angulaires entre l'arbre plein (0,02 rad) et creux (0,019 rad) restent très proches, comme le conclut le cours.

Ex. 1 - Vérification de la résistance d'une poutre à la flexion simple

L'objectif est de s'assurer que la poutre résiste simultanément aux contraintes de compression et de traction induites par la flexion simple.

Données de l'énoncé :

• Moment fléchissant (Mfz) = 17,85 N.m
• Moment quadratique (Igz) = 6 × 10⁻⁸ m⁴
• Position de la fibre la plus comprimée (y_comp) = 26 mm = 26 × 10⁻³ m
• Position de la fibre la plus étirée (y_traction) = 12,1 mm = 12,1 × 10⁻³ m
• Résistance élastique en compression (Rc) = 270 MPa (avec sécurité s = 3)
• Résistance élastique en traction (Re) = 290 MPa (avec sécurité s = 3)

1. Vérification en compression : La contrainte maximale de compression est calculée par : σ_comp = (Mfz / Igz) × y_comp. σ_comp = (17,85 / 6 × 10⁻⁸) × 26 × 10⁻³ σ_comp = 297500000 × 26 × 10⁻³ = 7735000 Pa ≈ 7,7 MPa.

La contrainte admissible en compression est : σ_adm_comp = Rc / s = 270 / 3 = 90 MPa. Conclusion partielle : 7,7 MPa ≤ 90 MPa (Sécurité assurée en compression).

2. Vérification en traction : La contrainte maximale de traction est calculée par : σ_traction = (Mfz / Igz) × y_traction. σ_traction = (17,85 / 6 × 10⁻⁸) × 12,1 × 10⁻³ σ_traction = 297500000 × 12,1 × 10⁻³ = 3599750 Pa ≈ 3,6 MPa.

La contrainte admissible en traction est : σ_adm_traction = Re / s = 290 / 3 = 96,6 MPa. Conclusion partielle : 3,6 MPa ≤ 96,6 MPa (Sécurité assurée en traction).

Conclusion générale : La poutre résiste en toute sécurité, car σ ≤ σ_adm dans les deux cas étudiés.

Méthode

Face à une épreuve de résistance des matériaux portant sur les sollicitations simples, la résolution obéit systématiquement à la même démarche :

1. Identification de la sollicitation : Déterminez s'il s'agit d'un effort normal (Traction/Compression), d'un effort tranchant (Cisaillement), d'un moment fléchissant (Flexion) ou d'un moment de torsion (Torsion).
2. Harmonisation des unités : C'est le piège le plus fréquent. Privilégiez toujours le triplet Newton (N) / millimètre (mm) / MégaPascal (MPa), qui évite les puissances de 10 hasardeuses. Si les forces sont en kN ou les moments en N.m, convertissez-les immédiatement (ex: 210 N.m = 210000 N.mm).
3. Calcul des caractéristiques géométriques : Évaluez la section (S) pour la traction ou le cisaillement, ou le moment quadratique approprié (Igz pour la flexion, I₀ pour la torsion). Prenez soin de bien différencier le rayon du diamètre.
4. Calcul de la contrainte maximale : Appliquez la formule de Navier (ou sa variante) correspondant au type de contrainte (σ pour la contrainte normale, τ pour la contrainte tangentielle).
5. Critère de résistance : Comparez toujours la contrainte absolue calculée à la limite élastique pondérée par le coefficient de sécurité (σ ≤ Re / s ou τ ≤ Rg / s).