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N.B. : dans ce chapitre seule la partie I est incluse dans l’examen.
Sollicitations Simples : Partie I. : Traction / Compression et Cisaillement
2019-2020
Dr. Ing. Yassine FERCHICHI Résistance des Matériaux 3ème année Génie Industriel
Introduction
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Mr. Yassine FERCHICHI
Les solicitations mécaniques qui s’exercent sur une pièce ou
un élément de structure peuvent être classifiées en cinq
types :
(fr)
(en)
La Traction
(tension)
La compression (compression)
Le cisaillement
(shearing)
La flexion
(flexion or bending)
et La torsion.
(torsion)
Rappels
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Y.FERCHICHI
Torseur de cohésion
(ou torseur des efforts internes) :
𝜏𝑐𝑜ℎé𝑠𝑖𝑜𝑛 =
𝑁 𝑀𝑡 𝑇𝑦 𝑀𝑓𝑦 𝑇𝑧 𝑀𝑓𝑧
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N : effort normal
Traction (si N>0) ou Compression (si N<0)
Ty et Tz : efforts
tranchants Cisaillement
Mt : moment de Torsion
Torsion
Mfy et Mfz : moments
fléchissants Flexion
Traction / Compression
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https://www.diydoctor.org.uk/projects/forces.htm
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Traction / Compression
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Soit une pièce soumise à deux forces opposées : 𝐹 et − 𝐹
Afin d’étudier le comportement mécanique d’une telle pièce on défini, en mécanique des matériaux, deux grandeurs essentielles :
La contrainte (Stress) : 𝜎 L’allongement relatif (Strain) : 𝜀
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Traction / Compression
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La contrainte (Stress) : 𝜎 =
𝐹 𝑆
(généralement en MPa : mégaPascal)
L’allongement relatif (Strain) : 𝜀 =
∆𝑙 𝑙
(sans unité)
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Loi de comportement en régime élastique
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Pour la plupart des matériaux utilisés en industrie mécanique, la contrainte et la déformation (ou l’allongement relatif) sont liés par une relation mathématique simple, valable pour les faibles déformations (en régime élastique)
Loi de Hooke : 𝜎 = 𝐸 𝜀
où E est le module de Young du matériau
On désigne par « régime » ou « comportement » élastique : le
comportement d’un matériau qui retrouve ses dimensions initiales lorsqu’on supprime l’effort appliqué. Mr. Yassine FERCHICHI 2019/2020
Young Modulus
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Le module de Young E, appelé aussi « module d’élasticité », ou module de rigidité, est une caractéristique mécanique du matériau qui constitue la pièce étudiée.
Exemples :
E(aciers) ≈ 200 GPa (200 103 MPa) E(aluminium) ≈ 70 GPa (70 103 MPa) E(PET*) ≈ 3 GPa
*le PET est le matériau des bouteilles d’eau
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Condition de Résistance
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Pour qu’une pièce mécanique résiste à la traction, il faut que la contrainte qui lui est appliquée ne dépasse pas une limite donnée, qui dépends du matériau : c’est la limite élastique (Re : pour la traction, ou Rc pour la compression)
(Re est parfois notée Re0,2% ou Sy (Yield Strength) dans les références anglophones)
Donc on peut THEORIQUEMENT écrire cette condition de résistance :
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𝜎 ≤ 𝑅𝑒
ou 𝜎 ≤ 𝑅𝑐 (Compression)
Condition de Résistance
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En pratique : On ne connait pas précisément
-
la valeur de la contrainte appliquée sur la pièce étudiée (qui dépends ; de la force F et de l’aire de la section S) Les caractéristiques mécaniques du matériau
- Il faut tenir compte des risques qui résultent d’un mauvais dimensionnement (dégâts matériels, arrêts de production, dégâts humains...)
DONC : Par précaution, on utilise une contrainte limite inférieure à la contrainte théorique
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Condition de Résistance
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DONC : Par précaution, on utilise une contrainte limite inférieur à la contrainte théorique
Ainsi, la condition de résistance devient :
𝜎 ≤
𝑅𝑒 𝑠
ou
𝜎 ≤
𝑅𝑐 𝑠
𝑠 : est appelé ; coefficient de sécurité. Il est évidemment strictement supérieur à 1.
Le rapport 𝑅𝑒 𝑠 Contrainte Admissible
nous donne une contrainte limite, appelée :
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1) Vérification de la résistance :
Condition de résistance à la traction : 𝜎 ≤
𝑅𝑒 𝑠
Publicité
avec
Or 𝜎 =
𝐹 𝑆 F = 95 kN 𝜋 4
Et 𝑆 =
(𝑑𝑒𝑥𝑡
2 − 𝑑𝑖𝑛𝑡
2 ) A.N. : S = 2827,4 mm²
Donc 𝜎 =
95000 2827,4
= 33,6 𝑀𝑃𝑎
La contrainte admissible est égale à
𝑅𝑒 𝑠
=
250 4
= 62,5 𝑀𝑃𝑎
La pièce résiste en toute sécurité.
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2) Calcul de la déformation :
Loi de Hooke : 𝜎 = 𝐸 𝜖
or 𝜖 =
D’où : ∆𝑙 =
A.N. : ∆𝑙 =
∆𝑙 𝑙 𝜎 𝐸 33,6 120 103 ∗ 2,5 = 0,7 𝑚𝑚
𝑙
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Cisaillement (Shear)
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Force applied parallel to the section of a material
𝜏𝑐𝑜ℎé𝑠𝑖𝑜𝑛 =
𝑁 𝑀𝑡 𝑇𝑦 𝑀𝑓𝑦 𝑇𝑧 𝑀𝑓𝑧
Cisaillement
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Dr. Ing. Yassine FERCHICHI
Exemple : Cisaillement subi par l’axe d’une articulation à chape
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Contrainte de cisaillement
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G est le module de Cisaillement du matériau (ou module d’élasticité transversal, ou module de Coulomb)
Condition de résistance
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𝜏 ≤
𝑅𝑔 𝑠
(ou Rpg)
Où 𝑅𝑔 est la limite
élastique du matériau en cisaillement On notera 𝜏𝑎𝑑𝑚 =
𝑅𝑔 𝑠
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Généralement pour les matériaux ductiles (métaux, polymères)
𝑅𝑔 ≈ 0,6 * 𝑅𝑒
Matériaux Fragiles : (céramiques, fontes blanches...)
𝜏𝑎𝑑𝑚 =
𝑅𝑚 𝑠
Exemple
20
3
2
Les pièces 1 et 3 sont reliées par une liaison pivot par l’intermédiaire de l’axe 2. Le diamètre de ce dernier a été estimé à 10 mm.
L’axe 2 est en acier C65 de limite élastique au cisaillement Rg = 400 MPa.
1
On ne considèrera que l’action de la force F, d’intensité 5800 N.
L’axe est-t-il bien dimensionné ?
On prendra un coefficient de sécurité s = 5.
Exemple
21
Condition de résistance :
𝜏 =
𝜏 ≤
𝑅𝑔 𝑠
Or 𝑅𝑔 𝑠
=
400 5
= 80 𝑀𝑃𝑎
3
2
𝑇 𝑆
où T est l’effort
tranchant et S l’aire de la section :
Or T = F/2 = 2900 N
Et S = 𝜋𝑟2 = 78,54 𝑚𝑚²
1
Par conséquent :
𝜏 = 36,92 𝑀𝑃𝑎
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Sollicitations Simples : Partie II. : Flexion et Torsion
2019-2020
Dr. Ing. Yassine FERCHICHI Résistance des Matériaux
Flexion Simple
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𝜏𝑐𝑜ℎé𝑠𝑖𝑜𝑛 =
𝜏𝑐𝑜ℎé𝑠𝑖𝑜𝑛 =
𝑁 𝑀𝑡 𝑇𝑦 𝑀𝑓𝑦 𝑇𝑧 𝑀𝑓𝑧
𝑁 𝑀𝑡 𝑇𝑦 𝑀𝑓𝑦 𝑇𝑧 𝑀𝑓𝑧
Flexion Simple
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Fibres supérieures comprimées => COMPRESSION
Fibres inférieures étirées => TRACTION
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𝑴𝒇
Flexion Simple
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Fibres supérieures comprimées => COMPRESSION
𝒚
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Fibres inférieures étirées => TRACTION
𝒙
→Nous avons un allongement axial (donc 𝜺) qui varie selon la position verticale y
Contrainte normale σ
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Nous allons vérifier en Travaux Pratiques, que la contrainte normale 𝝈 (qui est la cause de cet allongement 𝜺 ) est donnée par la formule :
𝝈 =
𝑴𝒇𝒛 𝑰𝑮𝒛
𝒚
Où :
𝑴𝒇𝒛 est le moment fléchissant (en N.m ou N.mm) 𝑰𝑮𝒛 est le moment d’inertie (ou moment quadratique de la
section, par rapport à l’axe (G, 𝒛) : en m4 ou mm4
Et y : la position verticale en m ou en mm (en prenant pour
origine le centre de gravité de la section considérée)
Moment quadratique (moment d’intertie)
𝑰𝑮𝒛
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C’est une grandeur qui dépend seulement de la forme et des dimensions de la section de la poutre.
L’indice ‘Gz’ signifie
que c’est par rapport à l’axe passant par G et colinéaire à 𝑧
Cas simple :
y
h = 2 mm
b = 20 mm
z
𝐼𝐺𝑧 =
𝑏ℎ3 12
= 1,33 10−11𝑚4
N.B. : la base ‘b’ est le côté parallèle à l’axe considéré
Condition de résistance
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Or la contrainte (de compression ou de traction) elle dépends de ‘y’ : qui est la distance entre le point considéré et le centre de gravité. (exemple page suivante)
On a vu qu’une poutre soumise à une flexion, sera en partie « étirée » et en partie « comprimée ».
DONC la condition de résistance est double : Il faut que la poutre
résiste à la contrainte de compression et à la contrainte de traction à la fois
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Condition de résistance ?
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Où est située la
contrainte maximale de compression et quelle est sa valeur ?
idem pour la contrainte de traction maximale
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Torsion
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Twisting or Turning force
𝜏𝑐𝑜ℎé𝑠𝑖𝑜𝑛 =
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𝑁 𝑀𝑡 𝑇𝑦 𝑀𝑓𝑦 𝑇𝑧 𝑀𝑓𝑧
Torsion d’une poutre cylindrique
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La contrainte qui résulte du moment de torsion est
une contrainte tangentielle (appelé aussi contrainte de cisaillement)
τ =
𝑴𝒕 𝑰𝟎
𝑹
est le moment d’inertie polaire (ou moment
𝑰𝟎 =
𝝅𝒅𝟒 𝟑𝟐
quadratique polaire de la section)
Et R : le rayon de la section
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Torsion d’une poutre cylindrique
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En régime élastique : 𝜏 = 𝐺 𝛾 Où :
𝛾 =
𝑅𝜃 𝐿
θ : la rotation en rad L : longueur de la poutre R : rayon de la section
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𝜃
Condition de résistance
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Comme en cisaillement, la condition de résistance en
torsion est :
𝜏 ≤
𝑅𝑔 𝑠
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Exercice 1 :
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𝜏 = 𝐺𝛾 = 𝐺
α𝑅 𝐿
Calcul de la contrainte
τ =
𝑴𝒕 𝑰𝟎
𝑹 =
𝟐𝟏𝟎 𝝅𝒅𝟒 𝟑𝟐
𝒅 𝟐
𝟐𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎
= 𝟏𝟔
𝝅𝒅𝟑 = 𝟔𝟖, 𝟒𝟒 𝑴𝑷𝒂 Unités : N, mm et MPa (N mm-2)
Calcul du module de cisaillement (G)
𝜏
𝐿 α𝑅
= 𝐺
68,44
1000 𝜋 180 Unités : MPa, mm, angle en rad
) ∗ 12,5
4,9 ∗ (
= 𝐺 = 64 𝟏𝟎𝟑 𝑴𝑷𝒂 = 64 𝑮𝑷𝒂
38
𝜏 = 𝐺𝛾 = 𝐺
α′𝑅 𝐿′
α′ = 𝜏𝑚𝑎𝑥
𝐿′ 𝐺𝑅
Publicité
= 140 ∗
1800 64000 ∗ 12,5
= 0,315 𝑟𝑎𝑑 = 18,05 𝑑𝑒𝑔𝑟é𝑠
Exercice 2
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𝜏𝑒 = 𝑅𝑔
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𝜏 ≤
𝑅𝑔 𝑠
𝑫𝟏 𝟐
𝟒
≤
240 3
𝑴𝒕 𝝅𝑫𝟏 𝟑𝟐
𝟏𝟔
𝑴𝒕 𝝅𝑫𝟏
𝟑 ≤ 80
𝟑
𝟏𝟔
𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 80𝝅
≤ 𝑫𝟏 donc 𝑫𝟏 doit être au moins égal à 29,4 mm
𝜏 = 𝐺𝛾 = 𝐺
α𝑅 𝐿
𝟏𝟔
𝑴𝒕 𝟑 𝝅𝑫𝟏
𝐿 𝐺𝑅
= 𝜶 = 𝟏𝟔
𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝝅𝟐𝟗,𝟒𝟑
300 80000∗(29,4/2)
=0,02 rad
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Section creux
𝑴𝒕
𝝅(𝐷𝑒𝑥𝑡
4 ) 4 − 𝐷𝑖𝑛𝑡 𝟑𝟐
𝑫𝟐 𝟐
≤
240 3
𝝅(𝐷2
𝑴𝒕 4 − 𝑑2 4) 𝟑𝟐
𝑫𝟐 𝟐
≤
240 3
𝝅(𝐷2
𝑴𝒕 4 − 0,6𝑫𝟐 𝟑𝟐
𝑫𝟐 𝟐
≤
240 3
4)
𝑜𝑟 𝑑2 = 0,6𝐷2
𝑴𝒕
𝝅(𝐷2
4(1 − 0,6 4)
𝟑𝟐
𝑫𝟐 𝟐
≤
240 3
𝑴𝒕
𝝅(𝐷2
3(1 − 0,6 4)
𝟏𝟔 ≤ 80
3
𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝝅( 80(1 − 0,6 4)
𝟏𝟔 ≤ 𝐷2
donc 𝑫𝟐 doit être au moins égal à 30,8 mm
𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑑2 = 18,84 𝑚𝑚
42
Calcul de la déformation angulaire pour l’arbre
creux :
𝜏 = 𝐺𝛾 = 𝐺
α𝑅 𝐿
𝑴𝒕
𝝅(𝐷2
3(1 − 0,6 4)
𝟏𝟔
𝐿 𝐺𝑅
= 𝜶 =
1920000 𝟏𝟏𝟑𝟎𝟖𝟕𝟎𝟏𝟐, 𝟐
= 𝟎, 𝟎𝟏𝟔 𝐫𝐚𝐝
On constate que les diamètres extérieurs sont très proches, ainsi que les déformations angulaires
Ex.1
Vérifier la résistance de cette poutre à la flexion
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𝜎 =
𝑀𝑓𝑧 𝐼𝐺𝑧
𝑦
Or on doit calculer deux contraintes (contrainte de
compression et contrainte de traction)
La valeur de 𝑀𝑓𝑧 sera obtenu du diagramme 17,85
𝜎𝑐𝑜𝑚𝑝 =
𝑀𝑓𝑧 𝐼𝐺𝑧
26 =
6 10−8 2610−3 = 7,735106𝑃𝑎 = 7,7 MPa
(Unités : Moment fléchissant : Nm, y en m, Igz en m4 donc 𝜎 en Pa)
17,850
𝜎𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 = Or 𝜎𝑎𝑑𝑚_𝑐𝑜𝑚𝑝 =
6 10−8 12,110−3=3,6 Mpa = 90 𝑀𝑃𝑎
=
𝑅𝑐 𝑠 𝑅𝑒 𝑠
270 3 290 3
= 96,6 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑎𝑑𝑚_𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 = La poutre résiste en toute sécurité car 𝜎 ≤ 𝜎𝑎𝑑𝑚 dans les deux cas.
=