Processus Stochastiques & Applications Financières

Ce matériel couvre les notions fondamentales des processus stochastiques et leurs applications en finance. Il s’adresse principalement aux étudiants en mathématiques financières ou en probabilités appliquées, souhaitant comprendre les caractéristiques générales des processus, les filtrations, les temps d’arrêt, ainsi que des exemples clés comme le processus de Poisson et le mouvement brownien.

Caractéristiques générales des processus stochastiques

Un processus stochastique est une famille de variables aléatoires {Xt, t ∈ T} définie sur un espace de probabilité (Ω, F, P) à valeurs dans un espace probabilisable (E, B), où T est un sous-ensemble de R.

Selon la nature de T et E, on distingue :

• Processus à temps discret si T = N
• Processus à temps continu si T = R+ ou un intervalle
• Processus à valeurs discrètes si E est discret (B = ensemble des parties de E)
• Processus à valeurs continues si E est continu (B = tribu borélienne sur E)

Les trajectoires du processus sont les applications t → Xt(ω) pour un ω fixé. Deux processus sont dites indistinguables s’ils coïncident presque sûrement sur toutes leurs trajectoires.

On distingue aussi :

• Les processus à accroissements indépendants : pour t1 < ... < tn, les variables Xtj − Xtj−1 sont indépendantes.
• Les processus à accroissements stationnaires : la loi de Xt+h − Xt dépend uniquement de h.

Exemple : Soit un processus à temps discret défini par :

X0 = 0
Xt = Xt−1 + Yt

où les Yt sont i.i.d. (indépendantes et identiquement distribuées). Ce processus a des accroissements indépendants et stationnaires.

Un processus est strictement stationnaire si, pour tout décalage h, les vecteurs (Xt1, ..., Xtn) et (Xt1+h, ..., Xtn+h) ont la même loi. La stationnarité au sens large requiert que les moments d’ordre 2 existent et que la covariance Cov(Xt, Xt+h) ne dépende que de h.

La probabilité de transition P(x, s, t, A) = P[Xt ∈ A | Xs = x] donne la probabilité que le processus soit dans l’ensemble A à l’instant t, sachant qu’il était en x à l’instant s. Si cette probabilité dépend uniquement de la différence t − s, elle est dite homogène.

Un processus est markovien si la connaissance du passé ne donne aucune information supplémentaire sur le futur, au-delà de l’état présent :

P(Xtn ∈ Bn | Xtn−1 ∈ Bn−1, ..., Xt1 ∈ B1) = P(Xtn ∈ Bn | Xtn−1 ∈ Bn−1)

Un processus de diffusion est un processus markovien à trajectoires continues. Un processus de diffusion d’Itô est caractérisé par deux fonctions µ(x, t) et σ(x, t) définies par :

µ(x, t) = lim h→0 E[Xt+h − Xt | Xt = x] / h
σ²(x, t) = lim h→0 Var[Xt+h − Xt | Xt = x] / h

où µ est appelé drift (tendance instantanée) et σ le coefficient de diffusion (dispersion instantanée).

Filtration

Une filtration {Ft, t ∈ T} est une suite croissante de sous-tribus de F, telle que Ft ⊆ Fs pour s > t. Elle représente l’information disponible jusqu’au temps t.

Un processus {Xt, t ∈ T} est adapté à la filtration {Ft} si, pour tout t, Xt est Ft-mesurable, c’est-à-dire que la valeur de Xt est connue au temps t selon l’information Ft.

La filtration est dite continue à droite si Ft = ∩s>t Fs.

La filtration naturelle d’un processus X est la filtration engendrée par X, définie par :

Ft = σ({Xs : s ≤ t})

Elle correspond à l’ensemble des événements mesurables à partir des observations du processus jusqu’au temps t.

Exemple : Considérons Ω = {ω1, ω2, ω3, ω4} et un processus stochastique X = {X0, X1, X2, X3} représentant le prix d’une action aux instants 0 à 3 :

ω	X0(ω)	X1(ω)	X2(ω)	X3(ω)
ω1	0.5	0.5	1	1
ω2	0.5	0.5	1	1
ω3	1	2	1	1
ω4	2	2	2	1

Les filtrations associées sont :

• F0 = σ(X0) = {∅, Ω}
• F1 = σ(X0, X1) = σ({{ω1, ω2}, {ω3, ω4}})
• F2 = σ(X0, X1, X2) = σ({{ω1, ω2}, {ω3}, {ω4}})
• F3 = σ(X0, X1, X2, X3) = σ({{ω1, ω2}, {ω3}, {ω4}})

Cette filtration reflète la connaissance progressive de l’état du monde à mesure que les prix sont observés.

Temps d’arrêt

Un temps d’arrêt τ est une variable aléatoire à valeurs réelles telle que, pour tout t ≥ 0, l’événement {τ ≤ t} appartient à la filtration Ft. Autrement dit, la décision d’arrêter à l’instant t dépend uniquement de l’information disponible jusqu’à t.

Exemple : Un investisseur passe un ordre d’achat "acheter 500 actions si le prix passe en dessous de 850". Le temps d’exécution τ est alors :

τ = inf {t | Xt ≤ 850}

Ce τ est un temps d’arrêt car la décision dépend uniquement des valeurs du processus jusqu’à t.

En revanche, un ordre "acheter au cours le plus bas entre maintenant et la liquidation" ne définit pas un temps d’arrêt, car il nécessite de connaître la trajectoire future entière, ce qui est impossible.

Exemple supplémentaire : Soit un processus X représentant le cours d’une action avec la filtration associée. On vend les actions dès que le prix atteint ou dépasse 1. Le temps d’arrêt τ est défini par :

τ(ω) = min {t | Xt(ω) ≥ 1}

On vérifie que {τ = t} ∈ Ft pour tout t, donc τ est un temps d’arrêt.

Le théorème important est que la réunion (max) ou l’intersection (min) de temps d’arrêt est aussi un temps d’arrêt.

Exemples de processus stochastiques

Le processus de Poisson

Un processus de Poisson X de paramètre α est un processus à valeurs entières vérifiant :

• X0 = 0
• Accroissements indépendants
• Pour s ≤ t, Xt − Xs suit une loi de Poisson de paramètre α(t − s), c’est-à-dire :

P[Xt − Xs = k] = (α (t − s))^k / k! × exp(−α (t − s)), k ∈ N

Le processus de Poisson est un processus de saut avec trajectoires discontinues, utilisé pour modéliser des événements rares dans le temps, par exemple des sauts brusques dans les cours financiers.

Exemple : Le processus de cours Zt peut s’écrire :

Zt = a(t) [X1,t − X2,t] + Yt

où Yt est un processus à trajectoires continues, et X1, X2 sont des processus de Poisson. La composante a(t) représente l’amplitude des sauts dans les prix.

Le processus de Wiener (Mouvement Brownien)

Un processus X est un mouvement brownien standard si :

• X0 = 0
• Accroissements indépendants
• Pour s ≤ t, Xt − Xs suit une loi normale centrée de variance t − s :

Xt − Xs ∼ N(0, t − s)

Ce processus est fondamental en finance pour modéliser les rendements des actifs.

Processus prévisible

Soit un processus X à temps discret et une filtration {Ft}. Le processus est prévisible si, pour tout t ≥ 1, Xt est Ft−1-mesurable. Cela signifie que la valeur de Xt est connue à l’instant t − 1.

Dans la modélisation financière, cela correspond aux stratégies d’investissement où la quantité de titres détenue à l’instant t est décidée en fonction de l’information disponible à t − 1.

Glossaire des termes clés

• Processus stochastique : Famille de variables aléatoires indexées par le temps.
• Trajectoire : Réalisation d’un processus pour un ω fixé, fonction t → Xt(ω).
• Accroissements indépendants : Les accroissements Xtj − Xtj−1 sont indépendants pour t1 < ... < tn.
• Accroissements stationnaires : La loi de Xt+h − Xt dépend uniquement de h.
• Stationnarité stricte : La loi conjointe des variables ne change pas par translation temporelle.
• Probabilité de transition : P(x, s, t, A) = P[Xt ∈ A | Xs = x], probabilité conditionnelle d’état futur.
• Processus markovien : Processus sans mémoire, où l’avenir dépend uniquement de l’état présent.
• Processus de diffusion : Processus markovien à trajectoires continues.
• Filtration : Suite croissante de sous-tribus représentant l’information disponible au fil du temps.
• Processus adapté : Processus dont la valeur à t est mesurable par rapport à l’information Ft.
• Temps d’arrêt : Variable aléatoire indiquant un instant d’arrêt basé uniquement sur l’information disponible jusqu’à cet instant.
• Processus de Poisson : Processus à accroissements indépendants et stationnaires, avec accroissements suivant une loi de Poisson.
• Mouvement brownien (processus de Wiener) : Processus à accroissements indépendants, normaux centrés avec variance proportionnelle au temps écoulé.
• Processus prévisible : Processus dont la valeur à t est connue à l’instant t − 1.

Points clés à retenir

• Les processus stochastiques modélisent des phénomènes aléatoires évoluant dans le temps, avec des classifications selon le temps (discret/continu) et l’espace d’état (discret/continu).
• Les processus markoviens sont caractérisés par l’absence de mémoire, ce qui simplifie leur analyse.
• La filtration représente l’information accumulée au fil du temps et est essentielle pour définir les processus adaptés et les temps d’arrêt.
• Les temps d’arrêt modélisent des instants de décision basés uniquement sur l’information disponible, cruciaux en finance pour les options américaines.
• Le processus de Poisson modélise des événements rares et discontinus, tandis que le mouvement brownien modélise des fluctuations continues et normales.
• La notion de processus prévisible est importante pour la modélisation des stratégies d’investissement en temps discret.