Processus Stochastiques & Applications Financières

On appelle processus stochastique toute famille de v.a. X = {Xt, t ∈ T } définie sur (Ω, F, P ) à valeurs dans (E, B) où

T est un sous-ensemble de R.

Preliminary

Remarque 1.1.

– La définition précédente est très générale :

– Des processus multidimensionnels, tel que E = Rn.

T et E sont quelconques.

On distingue 4 catégories de processus en fonction de T et E.

– Si T = N , le processus Xt sera dit à temps discret.

– Si T = R+ (ou un intervalle ), Xt sera dit à temps continu.

– Si E est discret, la tribu B sera l’ensemble des parties P(E).

– Si E est continu, la tribu B est la tribu Borélienne sur l’ensemble E.

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1

DRAFT

Version

∀t, X(t, ω) = Y (t, ω)

t −→ X (t, ω)

∀ω ∈ Ω0,

Définition 1.2.

1. On appelle trajectoires du processus X = (Xt, t ∈ T ) les applications :

2. Deux processus X et Y sont dites indistinguables s’ils ont en commun "presque toutes leurs trajectoires" c’est à dire :

ou ω ∈ Ω, un état de la nature fixe quelconque.

s’il existe Ω0 ∈ F , vérifiant P (cid:0)Ω0(cid:1) = 1 tel que :

– Se limiter aux trajectoires continues (si T = R+).

– Des discontinuités dans les trajectoires des processus

les cours ou les rendements subissent de faibles variations dans des intervalles de temps très courts.

Processus de saut (jump processes)

ou des processus mixtes : continues sur certains intervalles de temps, mais présentent des discontinuités en certains

points.

Preliminary

Définition 1.3. Soit X = {Xt, t ∈ T } un processus défini sur un éspace (Ω, F, P ) à valeurs dans (E, B) :

1. {Xt, t ∈ T } est à accroissements indépendants si :

∀ (t1, ..., tn) ∈ T n avec t1 < ... < tn, on a les variables (cid:0)Xtj − Xtj−1

(cid:1) sont indépendantes.

2. {Xt, t ∈ T } est à accroissements stationnaires si :

∀t ∈ T et ∀h > 0, la loi de X (t+h − Xt) dépend uniquement de h.

Exemple 1.1. Soit un processus à temps discrets (T = N) défini par :

X0 = 0

Xt = Xt−1 + Yt

1. Harrison M. & Kreps D., 1979, "Martingales and Arbitrage in Multiperiod Securities Markets", Journal of Political Economy, Vol. XCIX, p.

225-262.

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2

0.00.20.40.60.81.0-20-1001020tempsWTrajectoire du mouvement brownien standardavec les Yt sont i.i.d

Par exemple,

– Le processus Yt est à accroissements indépendantes puisque :

qui sont indépendantes par hypothèse.

– De plus les accroissements sont stationnaires car :

les Yt suivent la même loi (est donc indépendante de t).

1



−1





Yt =

1

2

1

2

avec une probabilité

avec une probabilité

Xt+1 − Xt = Yt+1,

DRAFT

Version

(cid:1) < ∞, alors :

t

t

∀t, X = {Xt, t ∈ T }

Définition 1.5. Un processus X = {Xt, t ∈ T } est stationnaire au sens large si :

– les variables Xt vérifient E (cid:0)X 2

– et si les quantités Cov (Xt, Xt+h) ne dépendent que de h.

(cid:1) < ∞

Remarque 1.3.

– Si X = {Xt, t ∈ T } est strictement stationnaire et si E (cid:0)X 2

Définition 1.4. Un processus X = {Xt, t ∈ T } est strictement stationnaire si :

∀h > 0, ∀n ∈ N et (t1, ..., tn) ∈ T n, les vecteurs {Xt1 , ..., Xtn } et {Xt1+h, ..., Xtn+h} suivent la même loi de

probabilité.

Remarque 1.2. La stricte stationnarité est une propriété très forte puisqu’elle implique en particulier que les v.a. Xt suivent

toutes la même loi.

est stationnaire au sens large.

Preliminary

– Les définitions et les propriétés précédentes caractérisent les relations entre les v.a. Xt et Xs, ∀t 6= s.

– Celles-ci peuvent être étudiées plus précisément en introduisant la notion de probabilité de transition.

Définition 1.6. Soit X = {Xt, t ∈ T } un processus stochastique défini sur (Ω, F, P ) à valeurs dans (E, B) où T = R+ ou

N.

On appelle probabilité de transition du processus l’application :

P (., ., ., .)

: E × T × T × B −→ [0, 1]

P (x, s, t, A) = P [Xt ∈ A|Xs = x] pour tout t > s

– Cette application définit la probabilité que le processus se situe dans l’ensemble A (qui est un élément de la tribu B) à

l’instant t, connaissant le point de départ x à l’instant s.

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Définition 1.7. Les probabilités de transition sont dites homogènes si les quantités P (x, t, s, A) dépendent de t et s unique-

ment de la différence t − s. On notera dans ce cas, P (x, t − s, A) au lieu P (x, s, t, A)

– Ces probabilités de transition prennent toute leur importance dans l’analyse des processus markoviens.

Définition 1.8. Un processus (Xt, t ∈ T ) est markovien s’il vérifie,

(cid:1)

P (cid:0)Xtn ∈ Bn|Xtn−1 ∈ Bn−1, ..., Xt1 ∈ B1

= P (cid:0)Xtn ∈ Bn|Xtn−1 ∈ Bn−1

(cid:1)

avec (t1 ≤ ... ≤ tn) et B1, ..., Bn sont des éléments de B.

L’interprétation de cette définition est la suivante :

– la connaissance du passé n’apporte aucune information sur son évolution future, seule la valeur présente importe.

– En d’autres termes, la prévision des états futurs du processus peut être faite à partir de l’état présent, indépendamment

du trajectoire suivie pour aboutir à cet état.

– Cette caractéristique des processus markoviens est parfois traduite par "l’absence de mémoire de ces processus".

– En particulier, on pour tout (n − 1)uplet (x1, ..., xn−1) l’égalité :

P (cid:0)Xtn ∈ Bn|Xtn−1 = xn−1, ..., Xt1 = x1

(cid:1) = P (xn−1, tn−1, tn, Bn)

– On distingue le plus souvent les processus markoviens selon que T et E sont discrets ou continus.

– En particulier, si T = N et N dénombrable, on parlera de chaîne de Markov à temps discret.

Définition 1.9. Un processus de Markov X est dit homogène si les probabilités de transition P (x, s, t, B) sont homogènes.

Définition 1.10.

1. On appelle processus de diffusion tout processus markovien à trajectoires continues.

2. On appelle processus de diffusion d’Itô, tout processus de diffusion X = {Xt, t ∈ T } tel qu’il existe deux fonctions µ

et σ dépendant de l’état du processus et du temps définies par :

DRAFT

Version

E [Xt+h − Xt|Xt = x]

h

V [Xt+h − Xt|Xt = x]

h

σ2 (x, t) = lim

h−→0

µ (x, t) = lim

h−→0

Remarque 1.4.

– µ et σ sont appelés paramètres infinitésimaux du processus Xt.

– µ est l’éspérance instantannée de variation du processus par unité de temps,

il s’agit donc d’un paramètre de tendance (drift)

– σ est l’écart type instantané par unité de temps

c’est un paramètre de dispersion qualifié le plus souvent de coefficient de diffusion.

2 Filtration

Définition 2.2. Un processus {Xt, t ∈ T } est adapté à une filtration {Ft, t ∈ T } si :

Définition 2.1. Soit (Ω, F, P ) un espace probabilisé.

On appelle filtration une suite {Ft, t ∈ T } de sous- tribus telles que :

Preliminary

Ft ⊆ Fs ⊂ F si s > t

Pour tout t, Xt est Ft−mesurable.

Pour tout t, Ft = ∩

s>t

Fs.

Définition 2.3. Une filtration {Ft} est dite continue à droite si :

Définition 2.4. On appelle espace de probabilité filtré tout quadruplet

(Ω, F, P, {Ft, t ∈ T })

Remarque 2.1.

– D’un point de vue intuitive, la probabilité d’occurrence d’un évènement aléatoire changera au fil du

temps selon la quantité d’information accumulée.

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– Cependant, au lieu de changer la mesure de probabilité P avec le temps, on retient P constante et on modélise l’impact

de l’information en conditionnant par rapport à l’information Ft.

Remarque 2.2.

– Une tribu définie l’ensemble des évènements qui peuvent être mesurés, qui dans un contexte probabi-

liste est équivalente aux évènements qui peuvent être distingués ou "les questions qui peuvent être répondues au temps

t".

– Toutefois, une filtration est alors utilisée pour représenter le changement dans l’ensemble des évènements qui peut être

mesuré, à travers un gain ou une perte d’information.

Remarque 2.3.

– Un exemple typique est en mathématique financière, où la filtration représente l’information disponible

à chaque instant t, et devient de plus en plus précise (l’ensemble des évènements mesurables reste le même ou croissante)

si l’information présente devient disponible.

Remarque 2.4.

– La notion de filtration intervient naturellement dans les modèles inter-temporels.

– Supposer que la suite Ft est croissante correspond au fait que les agents économiques "n’oublient" pas l’information

passée et par conséquent affinent l’ensemble des évènements auxquels ils ont capables d’affecter une probabilité d’oc-

currence et dont ils peuvent dire à un instant t s’ils sont réalisés ou non.

Remarque 2.5.

– Lorsque Ft est la tribu engendrée par les variables Xs,s ≤ t, on dit parfois que la filtration {Ft, t ∈ T }

est l’histoire du processus X ou la filtration naturelle de X.

Exemple 2.1. On considère,

– Trajectoires des mouvements à la hausse et à la baisse du prix d’un titre durant une période de temps donnée.

–

– L’information sur le vrai résultat est représentée par des sous-ensembles de Ω.

Avant l’obtention de toute observation

,

– Le vrai trajectoire ne peut pas être partie de l’ensemble vide ∅,

– Et ça sera une partie de l’espace fondamental Ω.

Ainsi, avant que toute observation est obtenue, l’information sur le vrai résultat du trajectoire du prix est représentée par :

Ω = {hhh, hhb, hbh, hbb, bhh, bhb, bbh, bbb} .

DRAFT

Version

H = {hhh, hhb, hbh, hbb}

B = {bhh, bhb, bbh, bbb}

F0 = {∅, Ω}

F1 = {∅, H, B, Ω}

Après avoir obtenu la première observation,

– Le vrai trajectoire ne sera pas contenu dans l’ensemble vide ∅, et sera contenu dans Ω.

– Le vrai trajectoire sera, soit de

ou

Alors, après avoir la première observation, l’information sur le vrai résultat est représentée par :

Preliminary

Après avoir obtenu la deuxième observation

– Le vrai trajectoire ne sera pas contenu dans l’ensemble vide, ∅, et sera contenu dans l’ensemble fondamental Ω

– Le vrai trajectoire sera l’un des ensembles

HH = {hhh, hhb} , HB = {hbh, hbb}

BH = {bhh, bhb} BB = {bbh, bbb}

– Le vrai trajectoire sera l’un de l’union de ces ensembles.

Alors, après avoir la deuxième observation, l’information sur le vrai résultat est représentée par :

F2 = {∅, Ω, HH, HB, BB, HH ∪ HB, ...}

=⇒ Ainsi, ces ensembles de sous-ensembles de Ω, qui révèlent de façon croissante plus d’information sur le vrai

résultat.

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Définition 2.5. Un processus stochastique X = {Xt : t ∈ T } est adapté à la filtration Ft = {Ft : t ∈ T } si :

∀t ∈ T, Xt est Ft − mesurable

Définition 2.6. La filtration F = {Ft : t ∈ T } est dite engendrée par le processus stochastique X = {Xt : t ∈ T } si :

∀t ∈ T, Ft = σ {Xs : s ∈ T, s ≤ t}

Exemple 2.2.

– Soient Ω = {ω1, ω2, ω3, ω4} et T = {0, 1, 2, 3}.

– Le processus stochastique X = {Xt : t ∈ {0, 1, 2, 3}} représente l’évolution du prix d’une action

– Xt = le prix de l’action à la fermeture de la bourse au tième jour

– t = 0 représente aujourd’hui.

ω X0(ω) X1(ω) X2(ω) X3(ω)

ω1

ω2

ω3

ω4

0.5

0.5

1

2

0.5

0.5

2

2

1

1

1

2

1

1

1

1

Question

Réponse

– F0 = σ {X0} = {∅, Ω} ,

– F1 = σ {X0, X1} = σ {{ω1, ω2} , {ω3, ω4}} ,

– F2 = σ {X0, X1, X2} = σ {{ω1, ω2} , {ω3} , {ω4}} ,

– F3 = σ {X0, X1, X2, X3} = σ {{ω1, ω2} , {ω3} , {ω4}} .

Notons que toute tribu F contenant la sous-tribu Ft rend X0, X1, X2 et X3 Ft−mesurables.

Interprétation

– Ω représente les états de la nature.

– Xt(ωi) : le prix de l’action au temps t si le iième état du monde qui s’est réalisé.

Quelle est la filtration engendrée par ce processus stochastique ?

DRAFT

Version

Preliminary

Au temps 0, aujourd’hui

s’est réalisé.

– On connait de façon certaine le prix de l’action et on n’est pas en mesure de distinguer lequel des états de la nature qui

– C’est pourquoi la sous-tribu F0 est la tribu triviale car elle ne contient aucune information.

Au temps t = 1, on sait un peu plus

– En effet, si on observe que le prix de l’action est 0, 50 alors :

– On sait que l’état du monde qui s’est réalisé est ω1 ou ω2 mais certainement pas ω3 ou ω4.

– Par conséquent, on peut en déduire que le prix du titre pour les deux périodes suivantes (t = 2 et t = 3) sera

respectivement de 1 et 0, 50 dinars.

– Par contre, si on observe que le prix du titre est 2 dinars alors :

– On sait que l’état du monde qui s’est réalisé est ou bien ω3 ou bien ω4.

– On peut en déduire que le prix du titre ne redescendra pas sous la barre du un dinar.

parce qu’après avoir observé le processus au temps t = 1, on est en mesure de décider si c’est l’évènement {ω1, ω2}

qui s’est réalisé ou bien si c’est l’évènement {ω3, ω4} qui s’est produit, F1 = {{ω1, ω2} , {ω3, ω4}}

Au temps t = 2, si nous observons un prix égal à 1 dinar

– L’erreur fréquemment commise est de conclure que la sous-tribu associée à cet instant est σ {{ω1, ω2, ω3} , {ω4}}

puisqu’en observant X2, on est en mesure de distinguer entre les évènements {ω1, ω2, ω3} et {ω4}.

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– Cela serait vrai si on vient de commencer l’observation du processus, ce qui n’est pas le cas.

On doit tenir compte de l’information obtenue depuis le temps t = 0.

Or les trajectoires (X0(ω), X1(ω), X2(ω)) nous permettent de distinguer entre les trois évènements : {ω1, ω2}, {ω3}

et {ω4}.

En effet, après avoir observé les prix jusqu’au temps 2, on sait avec certitude quel est l’état du monde ω qui s’est réalisé

sauf si on a observé la trajectoire (1, 0.5, 1) où nous serons alors incapables de distinguer entre les états du monde ω1

et ω2.

Exemple 2.3.

– Soit Ω = {ω1, ω2, ω3}, F = 2Ω.

– Considérons le processus stochastique X = {Xt : t ∈ {0, 1, 2}} définie par :

ω

ω1

ω2

ω3

X0(ω) X1(ω) X2(ω)

1

0

1

1

1.1

1

7

1.1

0.5

Cherchons la filtration Ft générée pour t = 0, 1, 2 ?

– F0 = σ (X0) = σ {{ω2} , {ω1, ω3}}

– F1 = σ (X0, X1) = σ {{ω2} , {ω1, ω3}}

– F2 = σ (X0, X1, X2) = F.

– On conclu alors que {Ft, t = 0, 1, 2} est une filtration générée par X = {Xt : t ∈ {0, 1, 2}} puisqu’on a :

3 Temps d’arrêt

– L’utilité des temps d’arrêt est sentie lorsqu’ on essaye de de tarifer les produits dérivés de type américain.

– Ils ont comme principal rôle de déterminer le moment où le détenteur d’une option exercera son droit.

Définition 3.1. Soit (cid:0)Ω, F, P, (cid:8)Ft, t ∈ R+(cid:9)(cid:1) un espace filtré.

On appelle temps d’arrêt toute (Ω, F)−variable aléatoire τ à valeurs réelles telle que :

F0 ⊆ F1 ⊆ F2 ⊆ F

DRAFT

Version

∀t ≥ 0 : {ω ∈ Ω : τ (ω) ≤ t} ∈ Ft

⇔ ∀t ≥ 0 {ω ∈ Ω : τ (ω) = t} ∈ Ft

Remarque 3.1.

– Pour donner un contenu intuitif à ce concept, considérons le cas particulier où (cid:8)Ft, t ∈ R+(cid:9) est la filtration naturelle

– La notion du temps d’arrêt est importante dans la théorie des martingales.

d’un processus X.

On peut savoir si l’évènement {τ = t} est réalisé dès que l’on connait la trajectoire du processus jusqu’à l’instant T .

– L’illustration la plus classique de ce concept concerne les jeux de hasard.

– Si x1, ..., xt désignent les résultats successifs d’un jeu.

– L’évènement {τ = t} représente la décision d’arrêter le jeu à l’instant t.

– Celle-ci est prise par un joueur en fonction de toute l’information connue à cet instant.

Exemple 3.1. Soit un investisseur qui passe un ordre en bourse, valable jusqu’à la prochaine liquidation, sous la forme

suivante :

"Achat de 500 actions si le prix passe en dessous de 850".

Preliminary

– L’instant d’exécution de l’ordre est un temps d’arrêt car :

{τ = t} = Inf {t|Xt ≤ 850}

où Xt désigne le cours du titre à l’instant t.

– Cette date de passage de l’ordre est la plus petite telle que le prix de l’action soit inférieur à 850.

– Elle est donc déterminée par les valeurs Xs pour s ≤ t.

– A l’inverse, l’ordre suivant :

"Achat de 500 actions au cours le plus bas entre maintenant et la liquidation"

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– Cet ordre ne permet pas de définir la date d’exécution comme un temps d’arrêt.

– En effet, pour exécuter cet ordre, il est nécessaire de connaitre dès maintenant, la trajectoire du cours jusqu’à la liquida-

tion, ce qui relève de la voyance.

Exemple 3.2 (Reprenons l’exemple entrepris antérieurement).

– Soit X un processus qui représente le cours d’une ac-

tion.

ω X0(ω) X1(ω) X2(ω) X3(ω)

ω1

ω2

ω3

ω4

0.5

0.5

2

2

0.5

0.5

1

2

1

1

1

2

1

1

1

1

– On a déterminé que la filtration contenant l’information révélée par le processus à chaque instant est :

– F0 = σ {X0} = {∅, Ω} ,

– F1 = σ {X0, X1} = σ {{ω1, ω2} , {ω3, ω4}} ,

– F2 = σ {X0, X1, X2} = σ {{ω1, ω2} , {ω3} , {ω4}} ,

– F3 = σ {X0, X1, X2, X3} = σ {{ω1, ω2} , {ω3} , {ω4}} .

– Nous ne vendons pas nos actions aujourd’hui (t = 0) mais nous les vendrons aussitôt que le prix sera supérieur ou égal

à 1.

– Le temps aléatoire représentant cette situation est :

– Cette variable aléatoire est bien un temps d’arrêt puisque :

– {ω ∈ Ω : τ (ω) = 0} = ∅ ∈ F0

– {ω ∈ Ω : τ (ω) = 1} = {ω3, ω4} ∈ F1

– {ω ∈ Ω : τ (ω) = 2} = {ω1, ω2} ∈ F2

– {ω ∈ Ω : τ (ω) = 3} = {∅} ∈ F3

– Considérons maintenant le temps aléatoire τ ∗ modélisant la situation suivante :

On achète des actions aussitôt que nous serons en mesure de réaliser un profit plus tard.

– Cette variable aléatoire prend les valeurs :

τ ∗(ω1) = 0

– τ ∗ n’est pas un temps d’arrêt puisque :

τ ∗(ω4) = 1

τ (ω1) = 2

τ (ω3) = 1

τ (ω2) = 2

τ (ω4) = 1

DRAFT

Version

{ω ∈ Ω : τ ∗(ω) = 0} = {ω1, ω2} /∈ F0

τ ∗(ω2) = 0

τ ∗(ω3) = 1

τ1 ∨ τ2 ≡ max {τ1, τ2}

– Intuitivement, le moment τ où l’on prend une décision est un temps d’arrêt si la décision est prise sur la base de

l’information disponible à cet instant.

Théorème 3.1. Soit (Ω, F), un espace probabilisable tel que Card(Ω) < ∞ et muni de la filtration F = {Ft : t ∈ {0, 1, ...}}.

Si les variables aléatoires τ1 et τ2 sont des temps d’arrêt par rapport à la filtration F, alors :

τ1 ∧ τ2 ≡ min {τ1, τ2}

Preliminary

sont aussi des temps d’arrêt.

Définition 3.2.

– Soit (Ω, F), un espace probabilisable tel que Card(Ω) < ∞ et muni de la filtration F = {Ft : t ∈ {0, 1, ...}}.

– Soit X = {Xt : t ∈ T } un processus stochastique adapté à cette filtration.

– Soit B ⊆ R un sous-ensemble des nombres réels.

– On définit le temps du premier contact du processus stochastique X avec l’ensemble B par :

– Si le trajectoire t −→ Xt(ω) n’atteigne jamais l’ensemble B alors on définit

τB(ω) = min {t ∈ {0, 1, ...} : Xt(ω) ∈ B}

Théorème 3.2. La variable aléatoire τB est un temps d’arrêt.

τB(ω) = ∞

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4 Exemples de processus stochastiques

4.1 Le processus de Poisson

Définition 4.1. Un processus X défini sur un espace de probabilité (Ω, F, P ) est appelé processus de poisson de paramètre α

si les variables Xt sont à valeurs entières et vérifient les propriétés suivantes :

1. X0 = 0

2. X est à accroissements indépendants

3. Pour tout (s, t) telque s ≤ t, la variable Xt − Xs suit une loi de Poisson de paramètre α (t − s) c’est à dire :

P [Xt − Xs = k] =

[α (t − s)]k

k!

. exp {−α (t − s)}

pour k entier positif ou nul.

– Le processus de Poisson est appelé processus de saut car ses trajectoires sont évidemment discontinues.

– Il est utilisé pour modéliser la survenance d’évènements qualifiés "rares" au cours du temps.

– Lorsqu’on analyse un processus de cours de titres financiers, on peut envisager des discontinuités pour ces cours.

Exemple 4.1.

– On pourra écrire le processus de cours Zt de la façon suivante :

où Y est un processus à trajectoires continues et X1, X2 deux processus de Poisson.

– Si une variation brusque du marché survient dans l’intervalle [t, t + dt], la composante continue sera modifiée de la

quantité a(t) (en plus ou en moins) représentant l’amplitude du saut dans les prix.

4.2 Le Processus de Wiener : Mouvement Brownien

Définition 4.2. Soit X un processus stochastique défini sur un espace (Ω, F, P ).

X est un processus de Wiener standard si :

1. X0 = 0

2. X est à accroissements indépendants

Zt = a (t) [X1,t − X2,t] + Yt

DRAFT

Version

Xt − Xs ∼ N (0, t − s)

Définition 4.3. Soit T = N , X = {Xt, t ∈ T } un processus et {Ft, t ∈ T } une filtration.

On dira que X est prévisible si pour tout t ≥ 1, Xt est Ft−1−mesurable.

Remarque 4.1.

– Lorsqu’un processus X est prévisible, sa valeur à l’instant t est connue, ou déterminée, par les évène-

ments de la tribu Ft−1.

– Cette notion caractérise, dans la modélisation financière, les stratégies d’investissements. En effet, la quantité de titres

détenue à un instant t (avant d’ajuster le portefeuille détenu) résulte des investissements réalisés en période t − 1.

– La caractérisation d’un processus prévisible en temps continu (T = R+) est moins "naturelle", en effet l’interprétation

précédente implique que Xt est connu dès que l’on connait Fs pour s < t.

3. Pour tout couple (s, t) tel que s ≤ t, la variable Xt − Xs suit une loi Normale centrée de variance t − s.

Preliminary

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