Formation d’Ingénieurs en Partenariat - Section GE: Mécanique (Polycopy Course)

Ce cours de mécanique, destiné aux étudiants de première année en formation d’ingénieurs, aborde les notions fondamentales de la cinématique. Il s’inscrit dans la partie générale de la formation et traite de l’étude des mouvements des solides et des points, indépendamment des causes qui les produisent. Le cours présente les concepts de trajectoire, vecteur position, vitesse, accélération, ainsi que la cinématique des systèmes de solides et les liaisons mécaniques normalisées.

Trajectoire et vecteur position

La cinématique étudie le mouvement des objets sans s’intéresser aux forces qui les provoquent. Elle concerne la position, la vitesse et l’accélération des points dans l’espace et dans le temps, ces grandeurs étant définies par rapport à un repère.

L’espace est le cadre fondamental dans lequel se situent les objets. Bien que notre corps soit en mouvement permanent, nous percevons un minimum de changement qui nous permet de dire que nous sommes immobiles. Cet accord collectif sur l’identification des lieux constitue l’espace physique.

Pour repérer la position d’un point dans l’espace, il faut un repère constitué d’une origine O et de trois axes orthonormés et directs (−→e1, −→e2, −→e3). La position d’un point M peut être exprimée en coordonnées cartésiennes (x, y, z), cylindriques (r, θ, z) ou sphériques (ρ, θ, φ). Ces coordonnées dépendent du temps t, ce qui définit un référentiel à quatre dimensions (x, y, z, t).

Un point est dit au repos dans un référentiel si ses coordonnées sont constantes dans le temps :

x(t) = x0
y(t) = y0
z(t) = z0

La trajectoire d’un point M est l’ensemble des positions successives qu’il occupe dans un référentiel donné lorsque le temps varie. Les équations paramétriques du mouvement sont alors x = f(t), y = g(t), z = h(t).

Le vecteur position −−→OM relie l’origine O du repère au point M. Selon le système de coordonnées, il s’écrit :

• Coordonnées cartésiennes : −−→OM = x−→x + y−→y + z−→z
• Coordonnées cylindriques : −−→OM = r−→er + z−→z
• Coordonnées sphériques : −−→OM = ρ−→er

Le vecteur position dépend du choix du point de référence et n’est pas directement caractéristique du mouvement. C’est la variation de ce vecteur dans le temps qui définit la vitesse.

Vecteur vitesse et vecteur accélération

La vitesse d’un point M par rapport à un référentiel R est la dérivée temporelle du vecteur position :

−→V(M/R) = d(−−→OM)/dt

En coordonnées cartésiennes, cela s’écrit :

−→V(M/R) = (dx/dt, dy/dt, dz/dt)

Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire du point dans le référentiel. Son unité dans le système international est le mètre par seconde [m.s⁻¹].

L’accélération est la dérivée temporelle de la vitesse :

−→a(M/R) = d(−→V(M/R))/dt = d²(−−→OM)/dt²

Elle s’exprime en mètres par seconde au carré [m.s⁻²].

La dérivation vectorielle dans un repère mobile est régie par la formule de la base mobile, qui permet de relier la dérivée d’un vecteur dans deux référentiels en mouvement relatif :

d(−→U)/dt|R2 = d(−→U)/dt|R1 + −→Ω(R1/R2) ∧ −→U

où −→Ω(R1/R2) est le vecteur taux de rotation de R1 par rapport à R2, exprimé en radians par seconde [rad.s⁻¹]. Cette formule est essentielle pour passer d’un référentiel à un autre en cinématique.

Composition des vitesses et des accélérations

Un même point M peut avoir des vitesses différentes selon le référentiel choisi. Soient deux référentiels R1 et R2 en mouvement relatif, la vitesse de M par rapport à R1 s’exprime comme :

−→V(M/R1) = −→V(O2/R1) + −→V(M/R2) + −→Ω(R2/R1) ∧ −−−→O2M

où :

• −→V(M/R1) est la vitesse absolue de M dans R1,
• −→V(M/R2) est la vitesse relative de M dans R2,
• −→V(O2/R1) est la vitesse de l’origine O2 de R2 dans R1,
• −→Ω(R2/R1) est le vecteur taux de rotation de R2 par rapport à R1,
• −−−→O2M est le vecteur position de M dans R2.

La vitesse d’entraînement correspond à la vitesse du point M considéré comme fixe dans R2, vue depuis R1 :

−→V(M, R2/R1) = −→V(O2/R1) + −→Ω(R2/R1) ∧ −−−→O2M

Cette relation permet d’analyser des mouvements complexes en décomposant en mouvements simples entre référentiels successifs.

Pour les accélérations, la relation est :

−→a(M/R1) = −→a(M/R2) + −→a Coriolis(M, R2/R1) + −→a(M, R2/R1)

avec :

• −→a(M/R1) : accélération absolue,
• −→a(M/R2) : accélération relative,
• −→a(M, R2/R1) : accélération d’entraînement,
• −→a Coriolis(M, R2/R1) = 2 −→Ω(R2/R1) ∧ −→V(M/R2) : accélération de Coriolis.

Cette relation est moins fréquemment utilisée en pratique, mais elle est fondamentale pour comprendre les effets dus aux référentiels en rotation.

Champ de vitesse d’un solide

Un solide indéformable est un ensemble de points dont les distances mutuelles restent constantes dans le temps. On définit un repère RS lié au solide, avec un point de référence OS et une base orthonormée.

La position de RS par rapport à un autre repère R est caractérisée par six degrés de liberté : trois translations pour OS et trois rotations pour l’orientation de la base RS. Si le solide est lié à R par une liaison, le nombre de degrés de liberté est inférieur à six.

Les angles d’Euler (ψ, θ, φ) sont souvent utilisés pour décrire l’orientation d’un solide. Ils correspondent à trois rotations planes successives : la précession ψ autour de l’axe z, la nutation θ autour d’un vecteur nodal u, et la rotation propre φ autour de l’axe k lié au solide. Le vecteur rotation instantanée s’écrit :

−→Ω(B'/B) = ψ̇ −→z + θ̇ −→u + φ̇ −→k

La vitesse d’un point P du solide par rapport à R est reliée à celle d’un point M du même solide par :

−→V(P, S/R) = −→V(M, S/R) + −→Ω(S/R) ∧ −−→MP

Le couple formé par le vecteur taux de rotation −→Ω(S/R) et le champ de vitesses constitue le torseur cinématique du solide :

{V}_S/R = {−→Ω(S/R); −→V(M, S/R)}_M

Le vecteur −→Ω(S/R) est la résultante du torseur, et −→V(M, S/R) est son moment au point M.

Cinématique des systèmes de solides

Un système de solides est constitué d’un ensemble de solides indéformables reliés par des liaisons mécaniques. Ces liaisons limitent les mouvements relatifs entre les solides. Le système peut être représenté par des graphes :

• Graphe cinématique : les liaisons sont les sommets, les solides les arcs,
• Graphe de structure : les solides sont les sommets, les liaisons les arcs.

Ces représentations aident à déterminer le nombre d’inconnues cinématiques et à choisir les sous-systèmes à isoler pour l’analyse.

Les degrés de liberté (ddl) d’une liaison correspondent au nombre de mouvements élémentaires indépendants autorisés entre deux solides. Au maximum, il y a 6 ddl : 3 translations et 3 rotations.

Inventaire des liaisons mécaniques normalisées

Les liaisons élémentaires sont obtenues à partir de surfaces géométriques parfaites : plan, sphère, cylindre. Elles sont supposées sans jeu. Le choix d’une liaison dépend du nombre de ddl à supprimer. Il existe six liaisons élémentaires principales :

• Liaison appui-plan : 3 ddl (2 translations dans le plan, 1 rotation autour de la normale au plan). Le torseur cinématique est :

{V}_2/1 = { (0, 0, ω_z); (V_x, V_y, 0) }_A

• Liaison pivot-glissant : 2 ddl (1 rotation autour de l’axe, 1 translation selon l’axe). Le torseur est :

{V}_2/1 = { (ω_x, 0, 0); (V_x, 0, 0) }_A

• Liaison rotule : 3 ddl en rotation, aucune en translation. Le torseur est :

{V}_2/1 = { (ω_x, ω_y, ω_z); (0, 0, 0) }_A

• Liaison linéaire-annulaire : 4 ddl (3 rotations, 1 translation). Le torseur est :

{V}_2/1 = { (ω_x, ω_y, ω_z); (V_x, 0, 0) }_A

• Liaison linéaire rectiligne : 4 ddl (2 rotations, 2 translations). Le torseur est :

{V}_2/1 = { (ω_x, 0, ω_z); (V_x, V_y, 0) }_P

• Liaison appui-ponctuel : 5 ddl (3 rotations, 2 translations). Le torseur est :

{V}_2/1 = { (ω_x, ω_y, ω_z); (V_x, V_y, 0) }_A

Liaisons composées

• Liaison rotule à doigt : 2 ddl en rotation, 0 en translation. C’est une rotule avec un degré de liberté en rotation supprimé :

{V}_2/1 = { (ω_x, 0, ω_z); (0, 0, 0) }_A

• Liaison glissière : 1 ddl en translation. Le torseur est :

{V}_2/1 = { (0, 0, 0); (V_x, 0, 0) }

• Liaison pivot : 1 ddl en rotation. Le torseur est :

{V}_2/1 = { (ω_x, 0, 0); (0, 0, 0) }_A

• Liaison hélicoïdale : 1 ddl combinant rotation et translation liées par le pas p de l’hélice.

Points clés

• La cinématique étudie le mouvement des points et solides indépendamment des forces.
• La position d’un point est définie par rapport à un repère (origine et trois axes orthonormés).
• La vitesse est la dérivée temporelle du vecteur position, l’accélération la dérivée de la vitesse.
• La formule de la base mobile permet de relier les dérivées dans différents référentiels en mouvement relatif.
• La composition des vitesses et accélérations tient compte des mouvements relatifs et des rotations des référentiels.
• Un solide indéformable a six degrés de liberté (3 translations, 3 rotations) dans l’espace.
• Les angles d’Euler (ψ, θ, φ) sont utilisés pour décrire l’orientation d’un solide.
• Le torseur cinématique regroupe le vecteur rotation et le champ des vitesses d’un solide.
• Les systèmes de solides sont modélisés par des graphes représentant les solides et leurs liaisons.
• Les liaisons mécaniques normalisées limitent les degrés de liberté entre solides et sont caractérisées par des torseurs cinématiques spécifiques.