PARIS
Formation d’Ingénieurs en Partenariat
Section GE
Polycopié de cours
V
Mécanique
P06-1MECA0
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) Cours Magistraux
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) TD
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) ED
Enseignant : Mr DETREZ
1ère Année
2011-2012
i
Table des matières
II Cinématique
I.1
Composition des vitesses
Composition des accélérations
Trajectoire, vecteur position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1.1
Référentiel
I.1.2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1.3
I.1.4
Vecteur position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vecteur vitesse et accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vecteur vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2.1
Vecteur accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2.2
I.2.3
Dérivation vectorielle dans un repère . . . . . . . . . . . . . . .
Composition des vitesses et des accélérations . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.3.1
I.3.2
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Champ de vitesse d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Paramétrage de la position d’un solide . . . . . . . . . . . . . .
I.4.1
Angles d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.4.2
I.4.3
Champ de vitesses d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cinématique des systèmes de solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.5.1
Inventaires des liaisons mécaniques normalisées . . . . . . . . .
I.5.2
Cinématique du contact entre deux solides : Glissement,
I.5.3
roulement et pivotement
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modélisation de la cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.5.4
Cinématique graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mouvements plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.6.1
Equiprojectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.6.2
Centre instantané de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.6.3
I.6.4
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorème des 3 plans mobiles
Ce qu’il faut retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2
I.3
I.4
I.5
I.6
I.7
IIII Statique
II.1
Actions mécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.1.1
Représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.1.2
Actions volumiques
II.1.3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.1.4
Actions de contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.1.5 Moment d’action mécanique et couple . . . . . . . . . . . . . .
1
3
3
3
4
4
5
5
6
6
7
8
9
9
9
10
11
11
11
12
18
19
22
22
22
24
26
27
31
33
33
33
34
35
37
TABLE DES MATI ÈRES
iv
II.2
II.3
II.4
II.5
II.6
III.2
III.3
III.4
II.1.6
Actions de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Principe fondamentale de la statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Efforts extérieurs a un systeme matériel . . . . . . . . . . . . .
II.2.1
Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.2.2
Théorème des actions réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.2.3
II.2.4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cas particuliers
Loi du frottement
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Analyse du contact ponctuel entre deux solides . . . . . . . . .
II.3.1
II.3.2
Loi de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Utilisation du principe fondamentale de la statique . . . . . . . . . . . .
Degré d’hyperstatisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.4.1
Systèmes isostatiques et hyperstatiques . . . . . . . . . . . . .
II.4.2
II.4.3
Démarche de résolution des problèmes . . . . . . . . . . . . . .
Statique graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemple 1 : Solide soumis à trois forces . . . . . . . . . . . . .
II.5.1
Exemple 2 : Solide soumis à quatre forces . . . . . . . . . . . .
II.5.2
II.5.3
Exemple 3 : Encore un solide soumis à quatre forces . . . . . .
Ce qu’il faut retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dynamique du point matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.1.1 Equation de la dynamique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.1.2 Exemples de force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.1.3 Quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.1.4 Moment cinétique et moment dynamique . . . . . . . . . . . .
III.1.5 Théorème du moment cinétique
. . . . . . . . . . . . . . . . .
Dynamique du solide
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.2.1 Principe Fondamental de la Dynamique . . . . . . . . . . . . .
III.2.2 Torseur cinétique et torseur dynamique . . . . . . . . . . . . .
III.2.3 Centre d’inertie et opérateur d’inertie . . . . . . . . . . . . . .
III.2.4 Démarche de résolution d’un problème . . . . . . . . . . . . . .
Energétique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.3.1 Puissance et Travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.3.2 Energie cinétique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
III.3.3 Théorème de l’énergie cinétique
Ce qu’il faut retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IIIIII Dynamique
III.1
AA Quelques éléments de géométrie vectorielle
A.1
A.2
A.3
A.4
A.5
A.6
A.7
Les vecteurs
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Division vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dérivée d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Changement de base de dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
43
43
43
44
45
46
47
48
50
51
51
52
52
52
54
55
56
61
63
63
63
64
65
65
65
66
66
69
73
73
74
75
76
77
85
85
86
87
89
90
91
92
TABLE DES MATI ÈRES
BB Les Torseurs
B.1
B.2
Torseurs
Opérations sur les torseurs
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Annexes
v
95
95
97
85
Chapitre -I-
Cinématique
Table des Matières
Trajectoire, vecteur position . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1
I.2
I.3
I.4
I.5
Composition des vitesses et des accélérations . . . . . . . .
Vecteur vitesse et accélération . . . . . . . . . . . . . . . . .
Champ de vitesse d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1.1
I.1.2
I.1.3
I.1.4
I.2.1
I.2.2
I.2.3
I.3.1
I.3.2
I.4.1
Publicité
I.4.2
I.4.3
I.5.1
I.5.2
I.5.3
I.5.4
Composition des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Composition des accélérations . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vecteur vitesse
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vecteur accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dérivation vectorielle dans un repère . . . . . . . . . . . . .
L’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Référentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vecteur position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
4
4
5
5
6
6
7
8
9
9
9
Paramétrage de la position d’un solide . . . . . . . . . . . .
Angles d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Champ de vitesses d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
11
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Inventaires des liaisons mécaniques normalisées
. . . . . . . 12
Liaisons élémentaires
. . . . . . . . . . . . . . . . . 12
I.5.2.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Liaisons composées
I.5.2.2
I.5.2.3
En deux dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Cinématique du contact entre deux solides : Glissement,
roulement et pivotement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
I.5.3.1 Vitesse de glissement
I.5.3.2 Vecteurs roulement et pivotement
. . . . . . . . . . 19
Modélisation de la cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . 19
I.5.4.1 Graphe cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Cinématique des systèmes de solides . . . . . . . . . . . . .
2
CHAPITRE I. CIN ÉMATIQUE
Cinématique graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a)
b)
I.5.4.2 Graphe de structure ou graphe des liaisons . . . . . 20
I.5.4.3 Mobilité d’un système . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Fermeture géométrique . . . . . . . . . . . 20
Fermeture géométrique . . . . . . . . . . . 20
I.5.4.4 Calcul de la mobilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
I.5.4.5 Mobilité utile et mobilité interne . . . . . . . . . . . 21
I.5.4.6 Résolution d’un problème de cinématique . . . . . . 22
22
Mouvements plans
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Equiprojectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
I.6.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
I.6.2.2 Démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
I.6.2.3 Utilisation de l’équiprojectivité . . . . . . . . . . . . 23
Centre instantané de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
I.6.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
I.6.3.2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Théorème des 3 plans mobiles . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
27
Propriétés
Ce qu’il faut retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.6
I.7
I.6.1
I.6.2
I.6.3
I.6.4
I.1. TRAJECTOIRE, VECTEUR POSITION
3
La cinématique est l’étude du mouvement indépendamment des causes qui les
produisent. C’est-à-dire de la position des objets au cours du temps, mais également de
leurs vitesses et accélérations. Les notions de vitesse et d’accélération ne sont définies
que pour un point et par rapport a un repere.
I.1 Trajectoire, vecteur position
I.1.1 L’espace
La représentation du monde extérieur exige de notre part la construction de certains
cadres, qui ont leur origine dans une mise en ordre de nos sensations. Le premier de
ces cadres est l’espace. Bien que notre corps soit en perpétuel changement, nous avons
la conscience d’un minimum dans ce changement qui nous fait dire que nous sommes
immobiles. Lorsque ce minimum n’est pas atteint, nous disons qu’il y a changement
d’attitude et de position. Quant, après une série de changements d’attitude et de
position, tout se passe comme si nous étions restés immobiles, nous disons que nous
sommes revenus au même lieu. L’accord entre tous les hommes sur l’identification des
lieux constitue l’espace physique.
I.1.2 Référentiel
L’expérience nous apprend que trois renseignements sont nécessaires et suffisants
pour repérer un lieu dans l’espace. Pour indiquer a quelqu’un ou se trouve le nid d’un
oiseau, nous disons par exemple :marchez devant vous pendant cent pas, ensuite tournez
à droite et marchez pendant soixante pas, vous serez au pied de l’arbre sur la plus haute
branche duquel se trouve le nid. Il en découle que la position du nid n’est définie que
par rapport à une origine, ici le point de départ et également par trois directions.
La position d’un point n’est définie que relativement a un repere à savoir une origine
O et trois axes. Par exemple, imaginons une bille roulant dans un train. On peut définir
la position de la bille par rapport au train, par rapport à la Terre, éventuellement
par rapport au Soleil, etc. Les mouvements de la bille sont différent par rapport à
ces différents repères. Notre premier souci, en cinématique, sera de mettre en place
un repere de référence ou toutes les quantités telles que les positions, les vitesses et
accélérations seront calculées par rapport a ce repere.
Le repère utilisé en mécanique doit pouvoir modéliser l’espace donc il doit être de
dimension de trois. Nous choisirons une base (−→e1 , −→e2 , −→e3 ) orthonormée et directe pour
pouvoir définir le produit vectoriel. Nous prendrons également un point de référence
O pour construire le repère de référence (O, −→e1 , −→e2 , −→e3 ). Le paramétrage d’un point M
peut se faire de plusieurs façons (Figure I.1) :
– coordonnées cartésiennes M (x, y, z)
– coordonnées cylindriques M (r, θ, z)
– coordonnées sphériques M (ρ, θ, φ)
La position du point M variant d’un instant à l’autre,
il convient de définir
une mesure scalaire appelée temps, caractérisant la simultanéité des événements des
événements dans différents reperes. L’unité du systeme internationale de la mesure de
temps est la “seconde”.
4
CHAPITRE I. CIN ÉMATIQUE
Figure I.1 – Les différents systèmes de coordonnées (Pommier and Berthaud, 2010)
La position de M est une fonction de trois variables d’espace (x, y, z) ou (r, θ, z)
ou (ρ, θ, φ). Chacune de ces variables est une fonction du temps t. L’espace à quatre
dimensions (x, y, z, t) est appelé référentiel R. Par abus de langage nous noterons de
la même façon le repere associé a ce référentiel.
Un point M est dit au repos par rapport à un référentiel R si ces coordonnées
dans le repere associé a R sont indépendantes du temps
x (t) = x0
y (t) = y0
z (t) = z0
∀t
∀t
∀t
Remarque I.1 L’origine d’un repère R
R et ses coordonnées sont nulles O (x = 0, y = 0, z = 0).
0,
(cid:16)
−→
i ,
−→
j ,
−→
k
(cid:17)
est par définition au repos dans
I.1.3 Trajectoire
On appelle trajectoire de M le lieu des positions successives occupées par un point
M dans le repère R lorsque le temps varie.
Remarque I.2 On remarque alors que les variables d’espaces sont elles-mêmes des
fonctions du temps si on suit un point M dans son mouvement x = f (t) ; y = g (t) ; z =
h (t), ce sont les équations paramétriques du mouvement.
I.1.4 Vecteur position
On appelle vecteur position de M , le vecteur qui lie le point M à l’origine O du
repère R. En fonction du type de coordonnées utilisées, le vecteur position peut s’écrire :
I.2. VECTEUR VITESSE ET ACC ÉL ÉRATION
5
Figure I.2 – Trajectoire du point M dans le référentiel R (Chevalier, 2004)
Coordonnées cartésiennes
−−→
OM = x−→x + y−→y + z−→z
Coordonnées cylindrique
−−→
OM = r−→er + z−→z
Coordonnées sphériques
−−→
OM = ρ−→er
−−→
AM
Remarque I.3 Si on choisit un autre point fixe A dans le repère R le vecteur
est également un vecteur position caractéristique du mouvement du point M dans R et
pourtant le vecteur
Le vecteur position n’étant pas directement caractéristique du mouvement de M , nous
considérons plutôt la vitesse, c’est-à-dire variation de position du point M au cours du
temps, qui est unique pour un repère donné.
−−→
AM et différent du vecteur
−−→
OM .
I.2 Vecteur vitesse et accélération
I.2.1 Vecteur vitesse
La variation de position de M dans R entre deux instants infinitésimalement proches
est caractérisée par la vitesse. On note celle-ci
−→
V (M/R) et son expression est
−→
V (M/R) =
d
−−→
OM
dt
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)R
6
CHAPITRE I. CIN ÉMATIQUE
l’expression de ces coordonnées cartésiennes sont
−→
V (M/R) =
˙x (t)
˙y (t)
˙z (t)
−→
Le vecteur
V (M/R) est appelé vecteur vitesse du point M par rapport au repère
R. Notons que la dimension physique d’une vitesse est une longueur L sur un temps
T . Dans le systeme internalitonal d’unités, la vitesse s’exprime en metres par seconde
[m.s−1].
Propriété I.1 Le vecteur vitesse
−→
V (M/R) est tangent à la trajectoire de M dans R.
Remarque I.4 Calculer une vitesse par rapport a un repere R ne signifie pas qu’il
faille exprimer cette vitesse dans la base liée a ce repere.
I.2.2 Vecteur accélération
La variation de la vitesse d’un point M , au cours du temps, est caractérisée par
un vecteur :
−→a (M/R) =
d
−→
V (M/R)
dt
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)R
=
d2−−→
OM
dt2
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)R
Ce vecteur est appelé vecteur accélération du point M dans le repère R. La dimension
physique d’une accélération est une longueur L sur le carré d’un temps T 2. Dans le
systeme international d’unités, l’accélération s’exprime en metres par seconde au carré
[m.s−2].
I.2.3 Dérivation vectorielle dans un repère
La formule de la base mobile est à la base de toutes relations cinématiques.
Elle permet de déterminer la dérivée d’un vecteur par rapport à un référentiel R2
connaissant la dérivée du même vecteur par rapport à un autre référentiel R1.
−→
d
U
dt
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)R2
=
−→
d
U
dt
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)R1
−→
Ω (R1/R2) ∧
−→
U
Publicité
+
−→
Ω (R1/R2) est le vecteur taux de rotation de R1 par rapport à R2. Pour utiliser la
formule de la base mobile, il faut auparavant déterminer le taux de rotation. Pour
le vecteur taux de rotation est
chaque rotation d’angle αi (en radian) autour de
donnée par
−→
ki
−→
Ω (R1/R2) =
(cid:88)
−→
ki
˙αi
i
I.3. COMPOSITION DES VITESSES ET DES ACC ÉL ÉRATIONS
7
La dimension physique du vecteur taux de rotation est un angle [rad] sur temps T [s].
Dans le système international d’unités, le taux de rotation s’exprime en seconde moins
1 [rad.s−1] = [s−1]
Remarque I.5 Lorsque
mobile devient :
−→
U (t) est un vecteur −→u fixe dans R1 la formule de la base
d−→u
dt
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)R2
−→
Ω (R1/R2) ∧ −→u
=
Ce cas particulier est tres important dans la pratique car nous le retrouverons tres
souvent. En effet, cette formule s’utilise pour passer de la dérivée dans R2 à la dérivée
dans R1 où −→u est fixe.
I.3 Composition des vitesses et des accélérations
Les vecteurs vitesse et accélération ont été calculés en dérivant le vecteur position
−−→
OM . Ce vecteur ayant été défini dans un repère R, la vitesse et l’accélérations ainsi
obtenues sont des grandeurs qui dépendent de ce repère R. On les note :
−→
V (M/R)
−→a (M/R)
Ce qui veut dire qu’un même point M , dans plusieurs référentiels mobiles les uns par
rapport aux autres, possede une vitesse par rapport a chacun des référentiels (Figure
I.3). Les relations de mouvement permettent de calculer les grandeurs caractéristiques
du mouvement d’un point par rapport a un repere R1 (01, −→x1, −→y1 , −→z1 ), connaissant
ces grandeurs par rapport au repère R2 (02, −→x2, −→y2 , −→z2 ). Il faut bien sûr connaˆıtre le
mouvement de R2 par rapport à R1.
Figure I.3 – Composition des vitesses (Chevalier, 2004)
Pour déterminer les relations de composition de mouvement, il suffit d’exprimer le
vecteur position sous la forme :
−−−→
O0M =
−−−→
O0O1 +
−−−→
O1M
8
CHAPITRE I. CIN ÉMATIQUE
O1 et O2 sont les origines respectives de R1 et R2.
Il faut ensuite dériver par rapport au repère R1. On utilise la formule de la base mobile
pour faire apparaˆıtre des dérivées par rapport à R2.
I.3.1 Composition des vitesses
Soient R1 et R2 deux reperes en mouvement l’un par rapport a l’autre. La vitesse
du point M par rapport à R1 est par définition :
−→
V (M/R1) =
=
=
d
d
d
−−−→
(cid:12)
(cid:12)
O1M
(cid:12)
(cid:12)
dt
(cid:12)R1
−−−→
O1O2 +
dt
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)R1
−−−→
O1O2
dt
−−−→
O2M
d
+
−→
V (02/R1) +
=
d
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)R1
−−−→
O2M
dt
−−−→
O2M
dt
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)R1
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)R1
Le second terme se transforme à l’aide de la formule de la base mobile
d
−−−→
O2M
dt
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)R1
=
=
d
−−−→
O2M
dt
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)R2
−→
Ω (R2/R1) ∧
−−−→
O2M
+
−→
V (M/R2) +
−→
Ω (R2/R1) ∧
−−−→
O2M
donc
Posons
donc
−→
V (M/R1) =
−→
V (02/R1) +
−→
V (M/R2) +
−→
Ω (R2/R1) ∧
−−−→
O2M
−→
V (M, R2/R1) =
−→
V (M/R1) −
−→
V (M/R2)
−→
V (M, R2/R1) =
−→
V (02/R1) +
−→
Ω (R2/R1) ∧
−−−→
O2M
Dans le mouvement de R2 par rapport R1, on définit
La vitesse absolue
La vitesse relative
La vitesse d’entraˆınement
−→
V (M/R1)
−→
V (M/R2)
−→
V (M, R2/R1) =
−→
V (M ∈ R2/R1)
La vitesse d’entraˆınement dans le mouvement R2 par rapport R1 correspond à la vitesse
du point M , considéré comme fixe dans le repère R2, dans son mouvement par rapport
à R1. Elle a pour expression
−→
V (M, R2/R1) =
−→
V (02/R1) +
−→
Ω (R2/R1) ∧
−−−→
O2M
I.4. CHAMP DE VITESSE D’UN SOLIDE
9
avec O2 l’origine de R2. Dans la pratique, une telle relation permet de déterminer
la vitesse d’un point dont le mouvement est complexe en considérant une suite de
référentiels Ri successifs, chacun en mouvement “simple” les uns par rapport aux autres.
Si les Ri sont (n + 1) référentiels successifs permettant de passer de R0 à Rn on
peut écrire une relation de “Chasles” :
−→
Ω (Rn/R0) =
−→
V (M, Rn/R0) =
−→
Ω (Rn/Rn−1) + · · · +
−→
V (M, Rn/Rn−1) + · · · +
−→
Ω (R1/R0)
−→
V (M, R1/R0)
I.3.2 Composition des accélérations
Soient R1 et R2 deux reperes en mouvement l’un par rapport a l’autre. Il est aisé
de montrer comme précédemment que les accélérations d’un point M par rapport à R1
ou par rapport à R2 sont liées par la relation
−→a (M/R1) = −→a (M/R2) + −→a Coriolis (M, R2/R1) + −→a (M, R2/R1)
Par définition, nous avons
L’accélération absolue −→a (M/R1)
L’accélération relative −→a (M/R2)
L’accélération d’entraˆınement −→a (M, R2/R1)
−→a (M, R2/R1) = −→a (O2/R2) +
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)R1
−→
Ω (R2/R1)
dt
∧
d
−−−→
O2M
−→
Ω (R2/R1) ∧
(cid:16)−→
Ω (R2/R1) ∧
(cid:17)
−−−→
O2M
+
L’accélération de Coriolis −→a Coriolis (M, R2/R1)
−→a Coriolis (M, R2/R1) = 2
−→
Ω (R2/R1) ∧
−→
V (M/R2)
Remarque I.6 Nous verrons que l’utilisation de cette relation n’est pas très courante.
En effet, en “dynamique”, seules certaines projections de l’accélération suffisent.
Nous pouvons tout de même retenir, que la vitesse d’entraˆınement correspondent à
la vitesse du point M considéré comme fixe dans le repère d’entraˆınement. Cette
remarque permet souvent de se ramener à une succession de cas simple pour les calculs
cinématiques d’un mouvement plus complexe.
I.4 Champ de vitesse d’un solide
I.4.1 Paramétrage de la position d’un solide
Un solide indéformable est un ensemble de points dont les distances restent
invariantes au cours du temps. On peut privilégier un point OS et définir une base
orthonormée liée au solide. On fabrique ainsi un repère RS lié au solide S. La position
de ce repere par rapport a un autre repere R est définie par 6 parametres ou degrés de
liberté (ddl ) au plus :
10
CHAPITRE I. CIN ÉMATIQUE
– 3 translations pour la position du point 0S ;
– 3 rotations pour l’orientation de la base RS).
Si ce solide est en liaison avec R le nombre de ddl est inférieur à 6.
I.4.2 Angles d’Euler
Lorsque le solide est astreint à un certain mouvement par des liaisons, la cinématique
du système fixe généralement sans ambigu¨ıté le choix du paramétrage. Dans les cas
moins nets, on utilise souvent les angles d’Euler (ψ, θ, ϕ) qui minimisent les calculs et
les projections.
On souhaite passer d’une base orthonormée B (−→x , −→y , −→z ) à une base B(cid:48) (cid:16)−→
i ,
−→
Publicité
j ,
−→
k
(cid:17)
liée à un solide, par exemple (Figure I.4). Il faut donc choisir 3 rotations (Figure I.5).
Figure I.4 – Angles d’Euler (Chevalier, 2004)
L’intersection du plan (−→x , −→y ) qui est orthogonal à −→z et du plan
(cid:16)−→
i ,
−→
j
(cid:17)
qui
−→
k s’appelle la ligne des nœuds, le vecteur directeur de cette droite
est orthogonal à
−→
s’appelle le vecteur nodal −→u . On passe de −→z à
k par une rotation θ autour du
vecteur nodal −→u . C’est la nutation. Le passage d’une base à l’autre peut alors se faire
par 3 rotations planes : la précession ψ autour de −→z , la nutation θ autour de −→u et la
rotation propre φ autour de
−→
k .
Le vecteur rotation instantanée a comme expression :
−→
−→
Ω (B(cid:48)/B) = ˙ψ−→z + ˙θ−→u + ˙φ
k
Remarque I.7 Vous avez sûrement constaté que les figures de calculs traduisant les
rotations planes sont systématiquement faites dans le cas où l’angle de rotation est
compris entre 0 et π
2 . Ce n’est pas un hasard, mais une indispensable précaution à
prendre pour obtenir les résultats des produits scalaires et vectoriels sans erreur de
signe. Il est fortement conseillé, dans un problème, de commencer par dessiner
les “figures de calculs”, qui vous feront gagner beaucoup de temps lors de la mise en
équation du problème.
I.5. CIN ÉMATIQUE DES SYST ÈMES DE SOLIDES
11
#»
y
#»
v
#»
z
#»
k
#»
w
#»
j
#»
u
#»
x
ψ
#»
z
#»
w
#»
v
θ
#»
u
φ
#»
k
#»
i
#»
u
Figure I.5 – Figures de calculs
I.4.3 Champ de vitesses d’un solide
La base de la cinématique du solide est la notion de conservation des distances entre
deux points. La formule de la base mobile appliquée entre un repère S lié au solide et
le repère R de référence permet de montrer que la vitesse d’un point P du solide et la
vitesse d’un point M appartenant au même solide sont reliées par la relation
−→
V (P, S/R) =
−→
V (M, S/R)+
−→
Ω (S/R)∧
−−→
M P
avec
−→
Ω (S/R) le vecteur taux de rotation de S par rapport à R.
Le couple formé par l’union du vecteur taux de rotation et du champ de vecteurs
vitesses, constitue ce que l’on nomme un “torseur cinématique”
(cid:40)
(cid:41)
VS/R
=
(cid:40) −→
Ω (S/R)
−→
V (M, S/R)
(cid:41)
M
−→
Ω (S/R) et
Les vecteurs
cinématique du solide au point M . Le premier terme,
torseur et le second,
−→
V (M, S/R), est le moment du torseur.
−→
V (M, S/R) sont les éléments de réduction du torseur
−→
Ω (S/R), est la résultante du
I.5 Cinématique des systèmes de solides
I.5.1 Définitions
Lorsque la mécanique du solide est appliquée à des mécanismes, les mouvements
relatifs entre solides sont limités par l’existence de liaisons entre les différentes pièces
du mécanisme. Ainsi, un système de solides est constitué de deux sous-ensembles :
– l’ensemble des solides indéformables ;
– l’ensemble des liaisons entre solides.
Le système de solides pourra donc être représenté par des graphes, dont l’analyse
permet de définir le nombre d’inconnues cinématiques du système. Il existe deux types
de graphe :
Graphe cinématique : les liaisons constituent les sommets, les solides constituent
les arcs.
12
CHAPITRE I. CIN ÉMATIQUE
Graphe de structure : les solides constituent les sommets, les liaisons constituent
les arcs.
Par ailleurs, cette représentation permet d’aider au choix des sous-systemes a isoler,
des théoremes généraux a appliquer et des projections pertinentes à effectuer.
Degrés de liberté d’une liaison (ddl )
Dans le repere local associé a la liaison entre deux solides, les mouvements relatifs
des deux solides sont limités à trois translations et trois rotations au maximum. Parmi
ces 6 mouvements élémentaires, le nombre de mouvements élémentaires indépendants
autorisés par la liaison définit les degrés de liberté (ddl ) de cette liaison.
I.5.2 Inventaires des liaisons mécaniques normalisées
On appelle liaisons élémentaires les liaisons obtenues à partir des surfaces
géométriques élémentaires : plan, sphère, cylindre. Ces surfaces seront supposées
géométriquement parfaites. De plus, les liaisons seront supposées sans jeux. Le choix
d’une liaison est principalement gouverné par le nombre de degrés de liberté à
supprimer. Les liaisons élémentaires offrent un premier choix mais ne couvrent que 6
possibilités. L’imagination peut conduire vers d’autres solutions obtenues en combinant
les liaisons élémentaires. L’association de liaisons élémentaires conduit aux liaisons
composées.
I.5.2.1 Liaisons élémentaires
L’association deux à deux des surfaces élémentaires permet d’introduire les liaisons
parfaites :
− Plan
⇒ Liaison appui-plan
Plan
Cylindre − Cylindre ⇒ Liaison pivot-glissant
Sphère
Cylindre − Plan
− Plan
Sphère
− Cylindre ⇒ Liaison linéaire-annulaire
Sphère
⇒ Liaison linéaire rectiligne
⇒ Liaison appui-ponctuel
− Sphère ⇒ Liaison rotule
Liason pivot-glissant (2 ddl ) L’assemblage de 2 cylindres concentriques donne la
liaison pivot-glissant. Celle-ci est schématisée de la façon suivante
−→z
−→z
−→y
−→x
A
A
La liaison pivot glissant est une liaison à deux degrés de liberté : un degré de
I.5. CIN ÉMATIQUE DES SYST ÈMES DE SOLIDES
13
rotation et un degré de translation. Pour définir cette liaison il est nécessaire
de préciser la direction (ici −→x ) de la liaison ainsi que la position d’un point
quelconque de l’axe de rotation (ici le point A). Le torseur cinématique qui
caractérise la liaison pivot-glissant est de la forme suivante :
(cid:40)
(cid:41)
(cid:40)
V2/1
=
A
(ωx, 0, 0)
(Vx, 0, 0)
(cid:41)
(−→x ,−,−)
Liaison rotule (3 ddl ) L’assemblage de 2 sphères concentriques donne la liaison
rotule. Celle-ci est schématisée de la façon suivante
−→z
A
−→y
La liaison rotule a trois degrés de liberté en rotation, aucun en translation. Seule
la position du centre de la rotule est nécessaire à sa définition géométrique. Le
torseur cinématique associé est de la forme suivante :
(cid:40)
(cid:41)
(cid:40)
V2/1
=
A
(ωx, ωy, ωz)
(0, 0, 0)
(cid:41)
(−,−,−)
Liaison appui-plan (3 ddl ) L’assemblage de 2 plans donne la liaison appui-plan.
Celle-ci est schématisée de la façon suivante
−→z
A
−→y
La liaison appui-plan à trois degrés de libertés, elle permet les translations dans
le plan de contact suivant −→x et −→y , ainsi qu’une rotation autour de la normale au
−→
plan
k . La caractérisation géométrique de cette liaison, est faite par un point du
plan de contact (ici A) et la normale à ce plan (ici −→z ). Le torseur cinématique
associé est de la forme :
(cid:40)
(cid:41)
(cid:40)
V2/1
=
A
(0, 0, ωz)
(Vx, Vy, 0)
(cid:41)
(−,−,−→z )
14
CHAPITRE I. CIN ÉMATIQUE
−→z
−→z
−→y
−→x
A
A
Liaison linéaire annulaire (4 ddl ) L’assemblage d’un sphère dans un cylindres
donne la liaison linéaire annulaire. Celle-ci est schématisée de la façon suivante
La liaison linéaire annulaire est une liaison à 4 degrés de liberté : trois degrés de
rotation et un degré de translation. Pour définir cette liaison il est nécessaire de
préciser la direction de translation (ici −→x ) de la liaison ainsi que la position d’un
point quelconque de l’axe du cylindre (ici le point A). Le torseur cinématique qui
caractérise la liaison linéaire annulaire est de la forme suivante :
(cid:40)
(cid:41)
(cid:40)
V2/1
=
A
(ωx, ωy, ωz)
(Vx, 0, 0)
(cid:41)
(−→x ,−,−)
Liaison linéaire rectiligne (4 ddl ) L’assemblage d’un cylindres sur un plan donne
la liaison linéaire rectiligne. Celle-ci est schématisée de la façon suivante
−→z
−→z
−→y
−→x
A
A
La liaison linéaire rectiligne est une liaison à 4 degrés de liberté : deux degrés
de rotation et deux degré de translation. C’est la liaison qui nécessite le plus
d’informations géométrique pour être définie. Il est nécessaire de préciser le plan
par sa normale (ici −→z ) ainsi que la ligne de contact (ici −→x ) et un point de cette
ligne (ici A). Le torseur cinématique qui caractérise la linéaire rectiligne est de la
forme suivante :
(cid:40)
(cid:41)
(cid:40)
(cid:41)
V2/1
=
P
(ωx, 0, ωz)
(Vx, Vy, 0)
(−→x ,−→y ,−→z )
La base (−→x , −→y , −→z ) est liée au solide contenant la ligne de contact, ici le solide
supérieur.
I.5. CIN ÉMATIQUE DES SYST ÈMES DE SOLIDES
15
Liaison appui-ponctuel (5 ddl ) L’assemblage d’une sphère sur un plan donne la
liaison appui-ponctuel. Celle-ci est schématisée de la façon suivante
−→z
A
−→y
...