Formation d’Ingénieurs en Partenariat - Section GE: Mécanique (Polycopy Course)

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85

85

86

87

89

90

91

92

TABLE DES MATI `ERES

BB Les Torseurs

B.1

B.2

Torseurs

Op´erations sur les torseurs

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Annexes

v

95

95

97

85

Chapitre -I-

Cin´ematique

Table des Mati`eres

Trajectoire, vecteur position . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I.1

I.2

I.3

I.4

I.5

Composition des vitesses et des acc´el´erations . . . . . . . .

Vecteur vitesse et acc´el´eration . . . . . . . . . . . . . . . . .

Champ de vitesse d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I.1.1

I.1.2

I.1.3

I.1.4

I.2.1

I.2.2

I.2.3

I.3.1

I.3.2

I.4.1

I.4.2

I.4.3

I.5.1

I.5.2

I.5.3

I.5.4

Composition des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Composition des acc´el´erations . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vecteur vitesse

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vecteur acc´el´eration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D´erivation vectorielle dans un rep`ere . . . . . . . . . . . . .

L’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R´ef´erentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vecteur position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

3

3

4

4

5

5

6

6

7

8

9

9

9

Param´etrage de la position d’un solide . . . . . . . . . . . .

Angles d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Champ de vitesses d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

11

D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Inventaires des liaisons m´ecaniques normalis´ees

. . . . . . . 12

Liaisons ´el´ementaires

. . . . . . . . . . . . . . . . . 12

I.5.2.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Liaisons compos´ees

I.5.2.2

I.5.2.3

En deux dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Cin´ematique du contact entre deux solides : Glissement,

roulement et pivotement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

. . . . . . . . . . . . . . . . . 18

I.5.3.1 Vitesse de glissement

I.5.3.2 Vecteurs roulement et pivotement

. . . . . . . . . . 19

Mod´elisation de la cin´ematique . . . . . . . . . . . . . . . . 19

I.5.4.1 Graphe cin´ematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Cin´ematique des syst`emes de solides . . . . . . . . . . . . .

2

CHAPITRE I. CIN ´EMATIQUE

Cin´ematique graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a)

b)

I.5.4.2 Graphe de structure ou graphe des liaisons . . . . . 20

I.5.4.3 Mobilit´e d’un syst`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Fermeture g´eom´etrique . . . . . . . . . . . 20

Fermeture g´eom´etrique . . . . . . . . . . . 20

I.5.4.4 Calcul de la mobilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

I.5.4.5 Mobilit´e utile et mobilit´e interne . . . . . . . . . . . 21

I.5.4.6 R´esolution d’un probl`eme de cin´ematique . . . . . . 22

22

Mouvements plans

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Equiprojectivit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

I.6.2.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

I.6.2.2 D´emonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

I.6.2.3 Utilisation de l’´equiprojectivit´e . . . . . . . . . . . . 23

Centre instantan´e de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

I.6.3.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

I.6.3.2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Th´eor`eme des 3 plans mobiles . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

27

Propri´et´es

Ce qu’il faut retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I.6

I.7

I.6.1

I.6.2

I.6.3

I.6.4

I.1. TRAJECTOIRE, VECTEUR POSITION

3

La cin´ematique est l’´etude du mouvement ind´ependamment des causes qui les

produisent. C’est-`a-dire de la position des objets au cours du temps, mais ´egalement de

leurs vitesses et acc´el´erations. Les notions de vitesse et d’acc´el´eration ne sont d´efinies

que pour un point et par rapport a un repere.

I.1 Trajectoire, vecteur position

I.1.1 L’espace

La repr´esentation du monde ext´erieur exige de notre part la construction de certains

cadres, qui ont leur origine dans une mise en ordre de nos sensations. Le premier de

ces cadres est l’espace. Bien que notre corps soit en perp´etuel changement, nous avons

la conscience d’un minimum dans ce changement qui nous fait dire que nous sommes

immobiles. Lorsque ce minimum n’est pas atteint, nous disons qu’il y a changement

d’attitude et de position. Quant, apr`es une s´erie de changements d’attitude et de

position, tout se passe comme si nous ´etions rest´es immobiles, nous disons que nous

sommes revenus au mˆeme lieu. L’accord entre tous les hommes sur l’identification des

lieux constitue l’espace physique.

I.1.2 R´ef´erentiel

L’exp´erience nous apprend que trois renseignements sont n´ecessaires et suffisants

pour rep´erer un lieu dans l’espace. Pour indiquer a quelqu’un ou se trouve le nid d’un

oiseau, nous disons par exemple :marchez devant vous pendant cent pas, ensuite tournez

`a droite et marchez pendant soixante pas, vous serez au pied de l’arbre sur la plus haute

branche duquel se trouve le nid. Il en d´ecoule que la position du nid n’est d´efinie que

par rapport `a une origine, ici le point de d´epart et ´egalement par trois directions.

La position d’un point n’est d´efinie que relativement a un repere `a savoir une origine

O et trois axes. Par exemple, imaginons une bille roulant dans un train. On peut d´efinir

la position de la bille par rapport au train, par rapport `a la Terre, ´eventuellement

par rapport au Soleil, etc. Les mouvements de la bille sont diff´erent par rapport `a

ces diff´erents rep`eres. Notre premier souci, en cin´ematique, sera de mettre en place

un repere de r´ef´erence ou toutes les quantit´es telles que les positions, les vitesses et

acc´el´erations seront calcul´ees par rapport a ce repere.

Le rep`ere utilis´e en m´ecanique doit pouvoir mod´eliser l’espace donc il doit ˆetre de

dimension de trois. Nous choisirons une base (−→e1 , −→e2 , −→e3 ) orthonorm´ee et directe pour

pouvoir d´efinir le produit vectoriel. Nous prendrons ´egalement un point de r´ef´erence

O pour construire le rep`ere de r´ef´erence (O, −→e1 , −→e2 , −→e3 ). Le param´etrage d’un point M

peut se faire de plusieurs fa¸cons (Figure I.1) :

– coordonn´ees cart´esiennes M (x, y, z)

– coordonn´ees cylindriques M (r, θ, z)

– coordonn´ees sph´eriques M (ρ, θ, φ)

La position du point M variant d’un instant `a l’autre,

il convient de d´efinir

une mesure scalaire appel´ee temps, caract´erisant la simultan´eit´e des ´ev´enements des

´ev´enements dans diff´erents reperes. L’unit´e du systeme internationale de la mesure de

temps est la “seconde”.

4

CHAPITRE I. CIN ´EMATIQUE

Figure I.1 – Les diff´erents syst`emes de coordonn´ees (Pommier and Berthaud, 2010)

La position de M est une fonction de trois variables d’espace (x, y, z) ou (r, θ, z)

ou (ρ, θ, φ). Chacune de ces variables est une fonction du temps t. L’espace `a quatre

dimensions (x, y, z, t) est appel´e r´ef´erentiel R. Par abus de langage nous noterons de

la mˆeme fa¸con le repere associ´e a ce r´ef´erentiel.

Un point M est dit au repos par rapport `a un r´ef´erentiel R si ces coordonn´ees

dans le repere associ´e a R sont ind´ependantes du temps

x (t) = x0

y (t) = y0

z (t) = z0

∀t

∀t

∀t

Remarque I.1 L’origine d’un rep`ere R

R et ses coordonn´ees sont nulles O (x = 0, y = 0, z = 0).

0,

(cid:16)

−→

i ,

−→

j ,

−→

k

(cid:17)

est par d´efinition au repos dans

I.1.3 Trajectoire

On appelle trajectoire de M le lieu des positions successives occup´ees par un point

M dans le rep`ere R lorsque le temps varie.

Remarque I.2 On remarque alors que les variables d’espaces sont elles-mˆemes des

fonctions du temps si on suit un point M dans son mouvement x = f (t) ; y = g (t) ; z =

h (t), ce sont les ´equations param´etriques du mouvement.

I.1.4 Vecteur position

On appelle vecteur position de M , le vecteur qui lie le point M `a l’origine O du

rep`ere R. En fonction du type de coordonn´ees utilis´ees, le vecteur position peut s’´ecrire :

I.2. VECTEUR VITESSE ET ACC ´EL ´ERATION

5

Figure I.2 – Trajectoire du point M dans le r´ef´erentiel R (Chevalier, 2004)

Coordonn´ees cart´esiennes

−−→

OM = x−→x + y−→y + z−→z

Coordonn´ees cylindrique

−−→

OM = r−→er + z−→z

Coordonn´ees sph´eriques

−−→

OM = ρ−→er

−−→

AM

Remarque I.3 Si on choisit un autre point fixe A dans le rep`ere R le vecteur

est ´egalement un vecteur position caract´eristique du mouvement du point M dans R et

pourtant le vecteur

Le vecteur position n’´etant pas directement caract´eristique du mouvement de M , nous

consid´erons plutˆot la vitesse, c’est-`a-dire variation de position du point M au cours du

temps, qui est unique pour un rep`ere donn´e.

−−→

AM et diff´erent du vecteur

−−→

OM .

I.2 Vecteur vitesse et acc´el´eration

I.2.1 Vecteur vitesse

La variation de position de M dans R entre deux instants infinit´esimalement proches

est caract´eris´ee par la vitesse. On note celle-ci

−→

V (M/R) et son expression est

−→

V (M/R) =

d

−−→

OM

dt

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)R

6

CHAPITRE I. CIN ´EMATIQUE

l’expression de ces coordonn´ees cart´esiennes sont

−→

V (M/R) =







˙x (t)

˙y (t)

˙z (t)







−→

Le vecteur

V (M/R) est appel´e vecteur vitesse du point M par rapport au rep`ere

R. Notons que la dimension physique d’une vitesse est une longueur L sur un temps

T . Dans le systeme internalitonal d’unit´es, la vitesse s’exprime en metres par seconde

[m.s−1].

Propri´et´e I.1 Le vecteur vitesse

−→

V (M/R) est tangent `a la trajectoire de M dans R.

Remarque I.4 Calculer une vitesse par rapport a un repere R ne signifie pas qu’il

faille exprimer cette vitesse dans la base li´ee a ce repere.

I.2.2 Vecteur acc´el´eration

La variation de la vitesse d’un point M , au cours du temps, est caract´eris´ee par

un vecteur :

−→a (M/R) =

d

−→

V (M/R)

dt

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)R

=

d2−−→

OM

dt2

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)R

Ce vecteur est appel´e vecteur acc´el´eration du point M dans le rep`ere R. La dimension

physique d’une acc´el´eration est une longueur L sur le carr´e d’un temps T 2. Dans le

systeme international d’unit´es, l’acc´el´eration s’exprime en metres par seconde au carr´e

[m.s−2].

I.2.3 D´erivation vectorielle dans un rep`ere

La formule de la base mobile est `a la base de toutes relations cin´ematiques.

Elle permet de d´eterminer la d´eriv´ee d’un vecteur par rapport `a un r´ef´erentiel R2

connaissant la d´eriv´ee du mˆeme vecteur par rapport `a un autre r´ef´erentiel R1.

−→

d

U

dt

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)R2

=

−→

d

U

dt

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)R1

−→

Ω (R1/R2) ∧

−→

U

+

−→

Ω (R1/R2) est le vecteur taux de rotation de R1 par rapport `a R2. Pour utiliser la

formule de la base mobile, il faut auparavant d´eterminer le taux de rotation. Pour

le vecteur taux de rotation est

chaque rotation d’angle αi (en radian) autour de

donn´ee par

−→

ki

−→

Ω (R1/R2) =

(cid:88)

−→

ki

˙αi

i

I.3. COMPOSITION DES VITESSES ET DES ACC ´EL ´ERATIONS

7

La dimension physique du vecteur taux de rotation est un angle [rad] sur temps T [s].

Dans le syst`eme international d’unit´es, le taux de rotation s’exprime en seconde moins

1 [rad.s−1] = [s−1]

Remarque I.5 Lorsque

mobile devient :

−→

U (t) est un vecteur −→u fixe dans R1 la formule de la base

d−→u

dt

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)R2

−→

Ω (R1/R2) ∧ −→u

=

Ce cas particulier est tres important dans la pratique car nous le retrouverons tres

souvent. En effet, cette formule s’utilise pour passer de la d´eriv´ee dans R2 `a la d´eriv´ee

dans R1 o`u −→u est fixe.

I.3 Composition des vitesses et des acc´el´erations

Les vecteurs vitesse et acc´el´eration ont ´et´e calcul´es en d´erivant le vecteur position

−−→

OM . Ce vecteur ayant ´et´e d´efini dans un rep`ere R, la vitesse et l’acc´el´erations ainsi

obtenues sont des grandeurs qui d´ependent de ce rep`ere R. On les note :

−→

V (M/R)

−→a (M/R)

Ce qui veut dire qu’un mˆeme point M , dans plusieurs r´ef´erentiels mobiles les uns par

rapport aux autres, possede une vitesse par rapport a chacun des r´ef´erentiels (Figure

I.3). Les relations de mouvement permettent de calculer les grandeurs caract´eristiques

du mouvement d’un point par rapport a un repere R1 (01, −→x1, −→y1 , −→z1 ), connaissant

ces grandeurs par rapport au rep`ere R2 (02, −→x2, −→y2 , −→z2 ). Il faut bien sˆur connaˆıtre le

mouvement de R2 par rapport `a R1.

Figure I.3 – Composition des vitesses (Chevalier, 2004)

Pour d´eterminer les relations de composition de mouvement, il suffit d’exprimer le

vecteur position sous la forme :

−−−→

O0M =

−−−→

O0O1 +

−−−→

O1M

8

CHAPITRE I. CIN ´EMATIQUE

O1 et O2 sont les origines respectives de R1 et R2.

Il faut ensuite d´eriver par rapport au rep`ere R1. On utilise la formule de la base mobile

pour faire apparaˆıtre des d´eriv´ees par rapport `a R2.

I.3.1 Composition des vitesses

Soient R1 et R2 deux reperes en mouvement l’un par rapport a l’autre. La vitesse

du point M par rapport `a R1 est par d´efinition :

−→

V (M/R1) =

=

=

d

d

d

−−−→

(cid:12)

(cid:12)

O1M

(cid:12)

(cid:12)

dt

(cid:12)R1

−−−→

O1O2 +

dt

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)R1

−−−→

O1O2

dt

−−−→

O2M

d

+

−→

V (02/R1) +

=

d

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)R1

−−−→

O2M

dt

−−−→

O2M

dt

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)R1

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)R1

Le second terme se transforme `a l’aide de la formule de la base mobile

d

−−−→

O2M

dt

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)R1

=

=

d

−−−→

O2M

dt

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)R2

−→

Ω (R2/R1) ∧

−−−→

O2M

+

−→

V (M/R2) +

−→

Ω (R2/R1) ∧

−−−→

O2M

donc

Posons

donc

−→

V (M/R1) =

−→

V (02/R1) +

−→

V (M/R2) +

−→

Ω (R2/R1) ∧

−−−→

O2M

−→

V (M, R2/R1) =

−→

V (M/R1) −

−→

V (M/R2)

−→

V (M, R2/R1) =

−→

V (02/R1) +

−→

Ω (R2/R1) ∧

−−−→

O2M

Dans le mouvement de R2 par rapport R1, on d´efinit

La vitesse absolue

La vitesse relative

La vitesse d’entraˆınement

−→

V (M/R1)

−→

V (M/R2)

−→

V (M, R2/R1) =

−→

V (M ∈ R2/R1)

La vitesse d’entraˆınement dans le mouvement R2 par rapport R1 correspond `a la vitesse

du point M , consid´er´e comme fixe dans le rep`ere R2, dans son mouvement par rapport

`a R1. Elle a pour expression

−→

V (M, R2/R1) =

−→

V (02/R1) +

−→

Ω (R2/R1) ∧

−−−→

O2M

I.4. CHAMP DE VITESSE D’UN SOLIDE

9

avec O2 l’origine de R2. Dans la pratique, une telle relation permet de d´eterminer

la vitesse d’un point dont le mouvement est complexe en consid´erant une suite de

r´ef´erentiels Ri successifs, chacun en mouvement “simple” les uns par rapport aux autres.

Si les Ri sont (n + 1) r´ef´erentiels successifs permettant de passer de R0 `a Rn on

peut ´ecrire une relation de “Chasles” :

−→

Ω (Rn/R0) =

−→

V (M, Rn/R0) =

−→

Ω (Rn/Rn−1) + · · · +

−→

V (M, Rn/Rn−1) + · · · +

−→

Ω (R1/R0)

−→

V (M, R1/R0)

I.3.2 Composition des acc´el´erations

Soient R1 et R2 deux reperes en mouvement l’un par rapport a l’autre. Il est ais´e

de montrer comme pr´ec´edemment que les acc´el´erations d’un point M par rapport `a R1

ou par rapport `a R2 sont li´ees par la relation

−→a (M/R1) = −→a (M/R2) + −→a Coriolis (M, R2/R1) + −→a (M, R2/R1)

Par d´efinition, nous avons

L’acc´el´eration absolue −→a (M/R1)

L’acc´el´eration relative −→a (M/R2)

L’acc´el´eration d’entraˆınement −→a (M, R2/R1)

−→a (M, R2/R1) = −→a (O2/R2) +

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)R1

−→

Ω (R2/R1)

dt

∧

d

−−−→

O2M

−→

Ω (R2/R1) ∧

(cid:16)−→

Ω (R2/R1) ∧

(cid:17)

−−−→

O2M

+

L’acc´el´eration de Coriolis −→a Coriolis (M, R2/R1)

−→a Coriolis (M, R2/R1) = 2

−→

Ω (R2/R1) ∧

−→

V (M/R2)

Remarque I.6 Nous verrons que l’utilisation de cette relation n’est pas tr`es courante.

En effet, en “dynamique”, seules certaines projections de l’acc´el´eration suffisent.

Nous pouvons tout de mˆeme retenir, que la vitesse d’entraˆınement correspondent `a

la vitesse du point M consid´er´e comme fixe dans le rep`ere d’entraˆınement. Cette

remarque permet souvent de se ramener `a une succession de cas simple pour les calculs

cin´ematiques d’un mouvement plus complexe.

I.4 Champ de vitesse d’un solide

I.4.1 Param´etrage de la position d’un solide

Un solide ind´eformable est un ensemble de points dont les distances restent

invariantes au cours du temps. On peut privil´egier un point OS et d´efinir une base

orthonorm´ee li´ee au solide. On fabrique ainsi un rep`ere RS li´e au solide S. La position

de ce repere par rapport a un autre repere R est d´efinie par 6 parametres ou degr´es de

libert´e (ddl ) au plus :

10

CHAPITRE I. CIN ´EMATIQUE

– 3 translations pour la position du point 0S ;

– 3 rotations pour l’orientation de la base RS).

Si ce solide est en liaison avec R le nombre de ddl est inf´erieur `a 6.

I.4.2 Angles d’Euler

Lorsque le solide est astreint `a un certain mouvement par des liaisons, la cin´ematique

du syst`eme fixe g´en´eralement sans ambigu¨ıt´e le choix du param´etrage. Dans les cas

moins nets, on utilise souvent les angles d’Euler (ψ, θ, ϕ) qui minimisent les calculs et

les projections.

On souhaite passer d’une base orthonorm´ee B (−→x , −→y , −→z ) `a une base B(cid:48) (cid:16)−→

i ,

−→

j ,

−→

k

(cid:17)

li´ee `a un solide, par exemple (Figure I.4). Il faut donc choisir 3 rotations (Figure I.5).

Figure I.4 – Angles d’Euler (Chevalier, 2004)

L’intersection du plan (−→x , −→y ) qui est orthogonal `a −→z et du plan

(cid:16)−→

i ,

−→

j

(cid:17)

qui

−→

k s’appelle la ligne des nœuds, le vecteur directeur de cette droite

est orthogonal `a

−→

s’appelle le vecteur nodal −→u . On passe de −→z `a

k par une rotation θ autour du

vecteur nodal −→u . C’est la nutation. Le passage d’une base `a l’autre peut alors se faire

par 3 rotations planes : la pr´ecession ψ autour de −→z , la nutation θ autour de −→u et la

rotation propre φ autour de

−→

k .

Le vecteur rotation instantan´ee a comme expression :

−→

−→

Ω (B(cid:48)/B) = ˙ψ−→z + ˙θ−→u + ˙φ

k

Remarque I.7 Vous avez sˆurement constat´e que les figures de calculs traduisant les

rotations planes sont syst´ematiquement faites dans le cas o`u l’angle de rotation est

compris entre 0 et π

2 . Ce n’est pas un hasard, mais une indispensable pr´ecaution `a

prendre pour obtenir les r´esultats des produits scalaires et vectoriels sans erreur de

signe. Il est fortement conseill´e, dans un probl`eme, de commencer par dessiner

les “figures de calculs”, qui vous feront gagner beaucoup de temps lors de la mise en

´equation du probl`eme.

I.5. CIN ´EMATIQUE DES SYST `EMES DE SOLIDES

11

#»

y

#»

v

#»

z

#»

k

#»

w

#»

j

#»

u

#»

x

ψ

#»

z

#»

w

#»

v

θ

#»

u

φ

#»

k

#»

i

#»

u

Figure I.5 – Figures de calculs

I.4.3 Champ de vitesses d’un solide

La base de la cin´ematique du solide est la notion de conservation des distances entre

deux points. La formule de la base mobile appliqu´ee entre un rep`ere S li´e au solide et

le rep`ere R de r´ef´erence permet de montrer que la vitesse d’un point P du solide et la

vitesse d’un point M appartenant au mˆeme solide sont reli´ees par la relation

−→

V (P, S/R) =

−→

V (M, S/R)+

−→

Ω (S/R)∧

−−→

M P

avec

−→

Ω (S/R) le vecteur taux de rotation de S par rapport `a R.

Le couple form´e par l’union du vecteur taux de rotation et du champ de vecteurs

vitesses, constitue ce que l’on nomme un “torseur cin´ematique”

(cid:40)

(cid:41)

VS/R

=

(cid:40) −→

Ω (S/R)

−→

V (M, S/R)

(cid:41)

M

−→

Ω (S/R) et

Les vecteurs

cin´ematique du solide au point M . Le premier terme,

torseur et le second,

−→

V (M, S/R), est le moment du torseur.

−→

V (M, S/R) sont les ´el´ements de r´eduction du torseur

−→

Ω (S/R), est la r´esultante du

I.5 Cin´ematique des syst`emes de solides

I.5.1 D´efinitions

Lorsque la m´ecanique du solide est appliqu´ee `a des m´ecanismes, les mouvements

relatifs entre solides sont limit´es par l’existence de liaisons entre les diff´erentes pi`eces

du m´ecanisme. Ainsi, un syst`eme de solides est constitu´e de deux sous-ensembles :

– l’ensemble des solides ind´eformables ;

– l’ensemble des liaisons entre solides.

Le syst`eme de solides pourra donc ˆetre repr´esent´e par des graphes, dont l’analyse

permet de d´efinir le nombre d’inconnues cin´ematiques du syst`eme. Il existe deux types

de graphe :

Graphe cin´ematique : les liaisons constituent les sommets, les solides constituent

les arcs.

12

CHAPITRE I. CIN ´EMATIQUE

Graphe de structure : les solides constituent les sommets, les liaisons constituent

les arcs.

Par ailleurs, cette repr´esentation permet d’aider au choix des sous-systemes a isoler,

des th´eoremes g´en´eraux a appliquer et des projections pertinentes `a effectuer.

Degr´es de libert´e d’une liaison (ddl )

Dans le repere local associ´e a la liaison entre deux solides, les mouvements relatifs

des deux solides sont limit´es `a trois translations et trois rotations au maximum. Parmi

ces 6 mouvements ´el´ementaires, le nombre de mouvements ´el´ementaires ind´ependants

autoris´es par la liaison d´efinit les degr´es de libert´e (ddl ) de cette liaison.

I.5.2 Inventaires des liaisons m´ecaniques normalis´ees

On appelle liaisons ´el´ementaires les liaisons obtenues `a partir des surfaces

g´eom´etriques ´el´ementaires : plan, sph`ere, cylindre. Ces surfaces seront suppos´ees

g´eom´etriquement parfaites. De plus, les liaisons seront suppos´ees sans jeux. Le choix

d’une liaison est principalement gouvern´e par le nombre de degr´es de libert´e `a

supprimer. Les liaisons ´el´ementaires offrent un premier choix mais ne couvrent que 6

possibilit´es. L’imagination peut conduire vers d’autres solutions obtenues en combinant

les liaisons ´el´ementaires. L’association de liaisons ´el´ementaires conduit aux liaisons

compos´ees.

I.5.2.1 Liaisons ´el´ementaires

L’association deux `a deux des surfaces ´el´ementaires permet d’introduire les liaisons

parfaites :

− Plan

⇒ Liaison appui-plan

Plan

Cylindre − Cylindre ⇒ Liaison pivot-glissant

Sph`ere

Cylindre − Plan

− Plan

Sph`ere

− Cylindre ⇒ Liaison lin´eaire-annulaire

Sph`ere

⇒ Liaison lin´eaire rectiligne

⇒ Liaison appui-ponctuel

− Sph`ere ⇒ Liaison rotule

Liason pivot-glissant (2 ddl ) L’assemblage de 2 cylindres concentriques donne la

liaison pivot-glissant. Celle-ci est sch´ematis´ee de la fa¸con suivante

−→z

−→z

−→y

−→x

A

A

La liaison pivot glissant est une liaison `a deux degr´es de libert´e : un degr´e de

I.5. CIN ´EMATIQUE DES SYST `EMES DE SOLIDES

13

rotation et un degr´e de translation. Pour d´efinir cette liaison il est n´ecessaire

de pr´eciser la direction (ici −→x ) de la liaison ainsi que la position d’un point

quelconque de l’axe de rotation (ici le point A). Le torseur cin´ematique qui

caract´erise la liaison pivot-glissant est de la forme suivante :

(cid:40)

(cid:41)

(cid:40)

V2/1

=

A

(ωx, 0, 0)

(Vx, 0, 0)

(cid:41)

(−→x ,−,−)

Liaison rotule (3 ddl ) L’assemblage de 2 sph`eres concentriques donne la liaison

rotule. Celle-ci est sch´ematis´ee de la fa¸con suivante

−→z

A

−→y

La liaison rotule a trois degr´es de libert´e en rotation, aucun en translation. Seule

la position du centre de la rotule est n´ecessaire `a sa d´efinition g´eom´etrique. Le

torseur cin´ematique associ´e est de la forme suivante :

(cid:40)

(cid:41)

(cid:40)

V2/1

=

A

(ωx, ωy, ωz)

(0, 0, 0)

(cid:41)

(−,−,−)

Liaison appui-plan (3 ddl ) L’assemblage de 2 plans donne la liaison appui-plan.

Celle-ci est sch´ematis´ee de la fa¸con suivante

−→z

A

−→y

La liaison appui-plan `a trois degr´es de libert´es, elle permet les translations dans

le plan de contact suivant −→x et −→y , ainsi qu’une rotation autour de la normale au

−→

plan

k . La caract´erisation g´eom´etrique de cette liaison, est faite par un point du

plan de contact (ici A) et la normale `a ce plan (ici −→z ). Le torseur cin´ematique

associ´e est de la forme :

(cid:40)

(cid:41)

(cid:40)

V2/1

=

A

(0, 0, ωz)

(Vx, Vy, 0)

(cid:41)

(−,−,−→z )

14

CHAPITRE I. CIN ´EMATIQUE

−→z

−→z

−→y

−→x

A

A

Liaison lin´eaire annulaire (4 ddl ) L’assemblage d’un sph`ere dans un cylindres

donne la liaison lin´eaire annulaire. Celle-ci est sch´ematis´ee de la fa¸con suivante

La liaison lin´eaire annulaire est une liaison `a 4 degr´es de libert´e : trois degr´es de

rotation et un degr´e de translation. Pour d´efinir cette liaison il est n´ecessaire de

pr´eciser la direction de translation (ici −→x ) de la liaison ainsi que la position d’un

point quelconque de l’axe du cylindre (ici le point A). Le torseur cin´ematique qui

caract´erise la liaison lin´eaire annulaire est de la forme suivante :

(cid:40)

(cid:41)

(cid:40)

V2/1

=

A

(ωx, ωy, ωz)

(Vx, 0, 0)

(cid:41)

(−→x ,−,−)

Liaison lin´eaire rectiligne (4 ddl ) L’assemblage d’un cylindres sur un plan donne

la liaison lin´eaire rectiligne. Celle-ci est sch´ematis´ee de la fa¸con suivante

−→z

−→z

−→y

−→x

A

A

La liaison lin´eaire rectiligne est une liaison `a 4 degr´es de libert´e : deux degr´es

de rotation et deux degr´e de translation. C’est la liaison qui n´ecessite le plus

d’informations g´eom´etrique pour ˆetre d´efinie. Il est n´ecessaire de pr´eciser le plan

par sa normale (ici −→z ) ainsi que la ligne de contact (ici −→x ) et un point de cette

ligne (ici A). Le torseur cin´ematique qui caract´erise la lin´eaire rectiligne est de la

forme suivante :

(cid:40)

(cid:41)

(cid:40)

(cid:41)

V2/1

=

P

(ωx, 0, ωz)

(Vx, Vy, 0)

(−→x ,−→y ,−→z )

La base (−→x , −→y , −→z ) est li´ee au solide contenant la ligne de contact, ici le solide

sup´erieur.

I.5. CIN ´EMATIQUE DES SYST `EMES DE SOLIDES

15

Liaison appui-ponctuel (5 ddl ) L’assemblage d’une sph`ere sur un plan donne la

liaison appui-ponctuel. Celle-ci est sch´ematis´ee de la fa¸con suivante

−→z

A

−→y

...