Dérivée vectorielle

Ce cours traite de la dérivée vectorielle, un concept fondamental en sciences industrielles et mécanique. Il s’adresse aux étudiants souhaitant comprendre le calcul des dérivées de vecteurs dans des repères en mouvement, notamment dans le cadre des rotations. Le cours développe la notion de vecteur rotation, la dérivée des vecteurs unitaires, ainsi que la dérivation de fonctions vectorielles quelconques.

Dérivée vectorielle

Considérons deux repères affines orthonormés directs : R0 = (x0, y0, z0) et R1 = (x1, y1, z1), où R1 est en mouvement par rapport à R0. L’objectif est de déterminer les dérivées temporelles des vecteurs unitaires de R1 exprimées dans R0 :

• dérivée de →x1 par rapport à t dans R0 : (d→x1/dt)R0
• dérivée de →y1 par rapport à t dans R0 : (d→y1/dt)R0
• dérivée de →z1 par rapport à t dans R0 : (d→z1/dt)R0

Ces vecteurs unitaires respectent les conditions d’orthonormalité :

• →x1 · →x1 = 1, →y1 · →y1 = 1, →z1 · →z1 = 1
• →x1 · →y1 = 0, →y1 · →z1 = 0, →z1 · →x1 = 0

En dérivant ces relations, on obtient des égalités liant les dérivées des vecteurs unitaires. Par exemple :

(d→x1/dt)R0 · →x1 + →x1 · (d→x1/dt)R0 = 0 ⇒ (d→x1/dt)R0 est orthogonal à →x1

De même pour →y1 et →z1.

Naissance du vecteur rotation

On montre que les dérivées des vecteurs unitaires peuvent s’exprimer à l’aide d’un vecteur unique appelé vecteur rotation, noté →Ω0/1RR, tel que :

(d→x1/dt)R0 = →Ω0/1RR ∧ →x1

(d→y1/dt)R0 = →Ω0/1RR ∧ →y1

(d→z1/dt)R0 = →Ω0/1RR ∧ →z1

où "∧" désigne le produit vectoriel.

Le vecteur rotation est ainsi défini par :

→Ω0/1RR = p →x1 + q →y1 + r →z1

avec p, q, r ∈ ℝ déterminés par les dérivées des vecteurs unitaires.

Unicité du vecteur rotation

Le vecteur rotation →Ω0/1RR est unique. En effet, si deux vecteurs rotation différents produisaient les mêmes dérivées des vecteurs unitaires, cela conduirait à une contradiction avec l’orthonormalité du repère. Ainsi, →Ω0/1RR est bien défini et unique.

Calcul du vecteur rotation pour une rotation autour d’un axe

Considérons une rotation autour de l’axe (A, →z0), avec un angle θ(t) variable dans le temps. Le point M est défini par :

→AM = r →x1 = r (cos θ →x0 + sin θ →y0)

où r est une constante.

La vitesse de M dans R0 est :

→V = (d→AM/dt)R0 = r (− sin θ θ̇ →x0 + cos θ θ̇ →y0) = θ̇ r (− sin θ →x0 + cos θ →y0)

En projetant dans R1, on obtient :

→V = θ̇ r →y1

On identifie alors :

→Ω0/1RR = θ̇ →z0

Ce résultat montre que le vecteur rotation est colinéaire à l’axe de rotation et que sa norme est la vitesse angulaire θ̇.

Dérivée vectorielle d’un vecteur unitaire

Pour un vecteur unitaire →u1 appartenant au repère R1 en mouvement par rapport à R0, sa dérivée dans R0 s’écrit :

(d→u1/dt)R0 = →Ω0/1RR ∧ →u1

où →Ω0/1RR est le vecteur rotation défini précédemment.

Exemple

Si →x1 est un vecteur unitaire de R1, alors :

(d→x1/dt)R0 = →Ω0/1RR ∧ →x1

De même pour →y1 et →z1.

Dérivation d’une fonction vectorielle quelconque

Soit une fonction vectorielle :

→U(t) = α(t) →x1 + β(t) →y1 + γ(t) →z1

avec α(t), β(t), γ(t) des fonctions scalaires dérivables.

La dérivée de →U(t) dans R0 est donnée par :

(d→U/dt)R0 = (dα/dt) →x1 + (dβ/dt) →y1 + (dγ/dt) →z1 + α (d→x1/dt)R0 + β (d→y1/dt)R0 + γ (d→z1/dt)R0

En utilisant la relation sur la dérivée des vecteurs unitaires, on obtient :

(d→U/dt)R0 = (dα/dt) →x1 + (dβ/dt) →y1 + (dγ/dt) →z1 + →Ω0/1RR ∧ (α →x1 + β →y1 + γ →z1)

Soit :

(d→U/dt)R0 = (d→U/dt)R1 + →Ω0/1RR ∧ →U

où (d→U/dt)R1 est la dérivée dans le repère mobile R1.

Remarque

Si le vecteur rotation →Ω0/1RR est lui-même variable dans le temps, sa dérivée dans R0 et dans R1 sont égales :

(d→Ω0/1RR/dt)R0 = (d→Ω0/1RR/dt)R1

Glossaire des termes clés

• Repère affine orthonormé direct : un système de coordonnées constitué de trois vecteurs unitaires orthogonaux et orientés selon la règle de la main droite.
• Vecteur unitaire : vecteur de norme égale à 1.
• Vecteur rotation (→Ω0/1RR) : vecteur caractérisant la rotation d’un repère mobile R1 par rapport à un repère fixe R0, défini par les dérivées des vecteurs unitaires.
• Produit vectoriel (∧) : opération entre deux vecteurs donnant un vecteur orthogonal aux deux premiers.
• Dérivée vectorielle : taux de variation d’un vecteur par rapport au temps, exprimé dans un repère donné.
• Fonction vectorielle : fonction dont la valeur est un vecteur dépendant d’un paramètre (ici le temps).

Points clés à retenir

• La dérivée des vecteurs unitaires d’un repère mobile s’exprime à l’aide d’un vecteur rotation unique.
• Le vecteur rotation est colinéaire à l’axe de rotation et sa norme correspond à la vitesse angulaire.
• La dérivée d’une fonction vectorielle dans un repère fixe est la somme de la dérivée dans le repère mobile et du produit vectoriel du vecteur rotation par la fonction vectorielle.
• Les relations de dérivation respectent les propriétés d’orthonormalité des vecteurs unitaires.
• La notion de vecteur rotation est essentielle pour analyser les mouvements de rotation en mécanique.