Sciences Industrielles
Cours
Dérivée vectorielle
DERIVEE VECTORIELLE
SOMMAIRE
1. DERIVEE VECTORIELLE......................................................................................................... 1
1.1. NAISSANCE DU VECTEUR ROTATION ....................................................................................... 1
Le problème..................................................................................................................... 1
Résolution :...................................................................................................................... 1
1.1.1.
1.1.2.
1.1.3.
Unicité de
→
Ω
0/1 RR
........................................................................................................... 3
→
Ω
10zr
1.1.4.
. ....................................... 3
1.2. DERIVEE VECTORIELLE D’UN VECTEUR UNITAIRE .................................................................. 6
pour une rotation autour d’un axe
Calcul de
(A,
0/1 RR
)
→
1.3. DERIVATION D’UNE FONCTION VECTORIELLE QUELCONQUE
)(tU ........................................ 6
1.4. LES SAVOIRS INDISPENSABLES SUR LA DERIVEE VECTORIELLE.............................................. 7
Dérivée d’un vecteur unitaire.......................................................................................... 7
Dérivée d’une fonction vectorielle .................................................................................. 7
1.4.1.
1.4.2.
1.4.3.
10zr
(A,
Valeur du vecteur rotation
→
Ω
0/1 RR
dans un mouvement en rotation autour de l’axe
)
. 7
1. DERIVEE VECTORIELLE.
z0
z1
O1
y1
O0
Soient :
•
0
,
)
ℜ
r
r
zy
,
0
0
r
xO
(
,
0
0
orthonormée directe
rrr
ℜ
zyxO
(
,
1
1
1
1
orthonormée directe
un repère affine de base
,
r
zyxR
,
0
0
0
un repère affine de base
rrr
zyxR
,
,
1
1
1
et
r
r
(
(
)
)
)
,
,
1
1
0
• R1 est en mouvement par rapport à R0.
1.1. Naissance du vecteur rotation
x0
x1
y0
1.1.1. Le problème
repère
ℜ
r
xO
,
(
0
0
,
r
r
zy
,
0
0
0
)
.
L’objectif ici, est de déterminer les dérivées des
par rapport au temps t, dans le
vecteurs
rrr
zyx
1
1
1
,
,
Ces dérivée seront notées :
→
xd
1
dt
R
0
,
→
yd
1
dt
R
0
et
→
zd
1
dt
R
0
.
,
(
Les données :
1.1.2. Résolution :
rrr
)
zyx
,
1
1
1
r
x
1
rr
yx
.
1
1
En utilisant la condition 1, on obtient par dérivation dans
est une base orthonormée directe. D’où :
r
=
=
y
1
rr
zy
.
1
1
la condition 2 :
la condition 1 :
r
x
1
=
,0
,1
rr
zx
.
1
1
r
y
1
=
,1
=
r
z
1
r
z
1
,0
•
•
=
=
=
=
0
2
2
2
1
ℜ
0
r
xO
(
,
0
0
,
r
r
zy
,
0
0
)
:
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→
xd
1
dt
→
yd
1
dt
→
zd
1
dt
R
0
R
0
R
0
→
x.
1
=
0
→
y.
1
=
0
⇒
→
z.
1
=
0
→
xd
1
dt
→
yd
1
dt
→
zd
1
dt
R
0
R
0
R
0
=
→
yr
1
+
→
zs
1
=
→
zp
1
+
→
xt
1
=
→
xq
1
+
→
yu
1
utsrqpoù
,
,,
,
,
sont
des
réels
ℜ
r
xO
(
,
0
0
,
r
r
zy
,
0
0
0
)
:
0
⇒
0
0
t
=+
r
=+
u
p
=+
qs
0
0
0
s’écrivent donc :
=
.
R
0
R
0
+
→
y
1
→
x.
1
→
xd
1
dt
→
yd
1
dt
En utilisant la condition 2, on obtient par dérivation dans
→
yd
1
dt
R
0
→
xd
1
dt
→
zd
1
dt
les dérivées
→
yd
1
dt
→
xd
1
dt
→
zd
1
dt
→
zd
1
dt
→
x.
1
→
z
1
→
y
1
→
z
1
et
+
+
R
0
Publicité
R
0
R
0
,
.
.
.
=
=
R
0
R
0
R
0
→
xd
1
dt
→
yd
1
dt
→
zd
1
dt
R
0
R
0
R
0
=
→
yr
1
−
→
zq
1
=
→
zp
1
−
→
xr
1
=
→
xq
1
−
→
yp
1
On peut donc mettre ce résultat sous la forme :
→
xd
1
dt
=
R
0
R
1
→
yd
1
dt
=
R
0
R
1
→
zd
1
dt
=
R
0
R
1
r
R
1
1
p
q
r
p
q
r
p
q
1
∧
→
−=
ry
0
1
→
zq
1
→
Ω=
RR
0/1
∧
→
x
1
R
1
0
0
∧
=
1
→→
−
xrzp
1
1
→
Ω=
RR
0/1
∧
→
y
1
→
Ω
RR
0/1
où
=
→→→
zryqxp
1
+
1
+
1
R
1
0
0
∧
=
0
→
→
−
ypxq
1
1
→
Ω=
RR
0/1
∧
→
z
1
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Le vecteur
→
Ω
0/1 RR
est appelé vecteur rotation dans le mouvement de
1 / ℜℜ
0
.
1.1.3. Unicité de
→
Ω
0/1 RR
En supposant
Ω
→
0/11
RR
→
xd
1
dt
→
yd
1
dt
→
zd
1
dt
Ω
→
0/12
RR
et
différents du vecteur nul.
→
Ω=
1
RR
0/1
→
Ω=
1
RR
0/1
→
Ω=
1
RR
0/1
∧
→
x
1
∧
→
y
1
∧
→
z
1
R
0
R
0
R
0
Ω=
→
2
RR
0/1
Ω=
→
2
RR
0/1
Ω=
→
2
RR
0/1
∧
→
x
1
∧
→
y
1
⇒
∧
→
z
1
→
Ω
1
RR
0/1
→
Ω
1
RR
0/1
→
Ω
1
RR
0/1
Ω−
→
2
RR
0/1
Ω−
→
2
RR
0/1
Ω−
→
2
RR
0/1
→
x
1
→
y
1
→
z
1
∧
∧
∧
=
=
=
r
0
r
0
r
0
0/1
0/1
RR
→
Ω
1
→
Ω
1
RR
rrr
zyx
1
1
1
→
Ω
1
RR
0/1
(
,
,
Ω−
→
2
RR
0/1
Ω−
→
2
RR
0/1
Ω−
→
2
RR
0/1
→
x
1
→
y
1
→
z
1
∧
∧
∧
=
=
r
0
r
0
=
r
0
⇒
→
Ω
1
RR
0/1
Ω−
→
Ω
1
RR
0/1
Ω−
→
Ω
1
RR
0/1
Ω−
→
x
1
λ
.
→
y
1
β
.
→
z
1
γ
.
0/1
RR
0/1
RR
→
2
→
2
=
=
=
rr
r
zetyx
,
11
1
→
2
RR
0/1
Impossible puisque
)
est une base orthonormée directe.
ne peuvent être colinéaires.
Conclusion :
→
Ω
1
RR
0/1
Ω−
→
2
Publicité
RR
0/1
r=
0
→
Ω
1
RR
0/1
≠
et
r
0
Ω
et
→
2
RR
0/1
≠
r
0
d’où l’unicité du vecteur rotation
dans le mouvement de
1 / ℜℜ
0
,
→
Ω
1
RR
0/1
→
Ω=
2
RR
0/1
→
Ω=
.
RR
0/1
1.1.4. Calcul de
→
Ω
0/1 RR
pour une rotation autour d’un axe
(A,
10zr
)
.
, deux repères en mouvement l’un par rapport à l’autre.
Ce mouvement est défini comme suit :
10zr
)
Soit une rotation autour de l’axe
et un point
(A,
→
M défini tel que
dans le temps) et un angle θ défini par
AM r=
1.xr
(où r est une constante
10 xx rr
),
(
.
Les données : soient
rrr
,
zyxR
,
)
0
0
0
(0
et
rrr
,(1
),
zyxR
111
y0
y1
N
A
z1
z0
M
θθθθ
x1
x0
→
AM s’écrit sous deux formes
r
1.
→
AM
=
r
.
xr
1
=
0
projection dans R1
R
1
0
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=
dr
dt
(
) 0=
(
R
0
dr
dt
d
→
AMd
dt
•
•
•
•
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→
AM
2.
=
r
=
.
rxr
1
.
cos
r
θ
.
x
0
+
r
sin.
r
θ
.
y
0
=
.
cos
θ
r
sin.
r
θ
R
0
0
projection dans R0
Recherchons maintenant la vitesse de M lié à R1 par rapport à R0, notée
→
0/1 RRMV
∈
.
Par définition,
V
∈
RRM
0/1
→
=
→
AMd
dt
R
0
où A est fixe dans R0 et M fixe dans R1.
1- En prenant
→
AM
=
r
.
cos
r
θ +
x
.
0
r
sin.
θ
.
r
y
0
=
, on obtient :
→
AMd
dt
=
→
V
∈
RRM
0/1
.(
rd
cos
θ
.
sin.
θ
.
r
r
y
0
)
r
+
x
0
dt
R
0
→
V
∈
RRM
0/1
=
rd
.(
R
0
r
θ
x
cos
.
)
0
dt
+
rd
(
+
R
0
)
cos
r
θ
x
.
0
d
+
θ
.)
(cos
dt
r
xr
.
0
+
r
xd
0
dt
r
.
R
0
cos
θ
+
.
)
(
dr
dt
puisque r est indépendant du temps t.
r
θ
y
.
)
0
sin.
dt
R
0
sin
r
θ
y
.
0
d
+
θ
.)
(sin
dt
r
yr
.
0
+
r
yd
0
dt
sin
θ
.
r
.
R
0
θ
.)
(cos
dt
−=
θθ
d
sin.
dt
(dérivée de la composition de fonctions
scalaires :
d
θ
.)
(sin
dt
]
=
[
xgfd
)(
o
dx
θθ
d
.
cos
dt
=
df
dx
(
xg
)
.)(
dg
dx
x
)(
. On note souvent
θθ
d
&=
dt
.
xdr
0
dt
=
0
R
0
temps) dans le repère R0.
puisque 0xr est indépendant du temps en norme (
=xr
10
) et fixe (indépendant du
d’où l’expression de la vitesse
→
0/1 RRMV
∈
projetée dans le repère R0
→
V
∈
RRM
0/1
=
→
AMd
dt
R
0
−=
θθ
&
r
.
sin.
.
r
x
0
+
θθ
&
.
.
.
cos
r
[
(
−
θ
&
r
.
sin
)
θ
.
=
(
+
cos
)
θ
.
r
x
0
]
r
y
0
r
y
0
On peut remarquer de plus que
r
x
1
(
sin
)
θ
.
r
y
0
et
r
y
1
(
−=
sin
)
r
θ +
x
.
0
(
cos
)
θ
.
r
y
0
d’où l’expression de la vitesse
projetée dans le repère R1
(
=
cos
)
r
θ +
x
.
0
→
0/1 RRMV
∈
→
V
∈
RRM
0/1
=
→
AMd
dt
R
0
r&θ=
.
r
. y
1
Résultat 1
2- en prenant à présent
→
AM r=
1.xr
, on obtient :
=
RRM
→
0/1
V
∈
→
AMd
dt
=
r
xdr
.
1
dt
0
R
R
0
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→
V
∈
RRM
0/1
=
r
xdr
.
1
dt
=
R
0
r
r
xd
1
dt
R
0
et
r
xd
1
dt
Ω=
R
0
→
RR
0/1
Dérivée vectorielle
∧
→
x
1
où
→
Ω
RR
0/1
ωωω
=
y
z
x
→
+
y
1
→
+
x
1
→
z
1
→
V
∈
RRM
0/1
=
r
→
xd
1
dt
ω
x
ω
y
ω
z
=
r
R
0
R
1
1
∧
=
0
ω
r
.
z
→
−
ry
1
ω
y
→
z
1
Résultat 2
R
1
0
en identifiant les résultats 1 et 2, on obtient :
=
ωθω &
y
et
z
=
0
On recommence maintenant avec le point N, les résultats donnent :
→
d’où
V
∈
RRM
0/1
→
AN
r=
1.yR
=
→
ANd
dt
R
0
r&θ−=
.
. xR
1
Résultat 3
→
AN
−=
r
sin.
r
θ +
.
x
0
r
.
cos
θ
.
r
y
0
=
R
→
yd
1
dt
ω
x
ω
y
ω
z
0
=
1
∧
R
1
0
=
R
R
0
R
1
→
→
ω
+
zRxR
.
z
1
ω
x
10
Résultat 4
→
V
∈
RRM
0/1
en identifiant les résultats 3 et 4, on obtient :
=
ωθω &
x
et
z
=
0
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Conclusion :
y1
y0
x1
x0
θθθθ
A
z1
z0
Dérivée vectorielle
Dans un mouvement en rotation autour de l’axe
rrr
zyxR
,
,
)
0
0
0
rrr
zyxR
),
,(1
111
repère
(0
l’angle θ est défini par
, le vecteur rotation
par rapport au repère
10 xx rr
(
),
du
(A,
10zr
)
, tel que
→
Ω
RR
0/1
→
θ&
=
z
10
.
1.2. Dérivée vectorielle d’un vecteur unitaire
,
,
)
r
r
zy
,
0
0
Soient :
ℜ
1
un repère affine de base orthonormée directe
r
ℜ
(
xO
,
0
0
0
rrr
un repère affine de base orthonormée directe
zyxO
(
,
1
1
1
ℜ
1
0
rrr
,
)
,
zyxR
1
1
1
r
r
r
ℜ
est en mouvement par rapport à
xO
zy
,
(
,
,
0
0
0
0
rrr
zyx
,
,
d’après le paragraphe 1.1, les dérivées vectorielles des vecteurs unitaires
par rapport au temps
111
rrr
zyxO
,
(
1
1
1
r
zyxR
,
0
0
et
(
(
)
)
)
)
,
,
,
,
0
1
0
1
1
r
r
dans le repère
ℜ
0
r
xO
,
(
0
0
,
r
r
zy
,
0
0
)
sont :
→
xd
dt
1
→
yd
dt
1
→
zd
dt
1
R
0
R
0
R
0
→
Ω=
R
/1
R
0
→
Ω=
R
/1
R
0
→
Ω=
R
/1
R
0
∧
→
x
1
∧
→
y
1
∧
→
z
1
1.3. Dérivation d’une fonction vectorielle quelconque
• Soient :
ℜ
1
r
ℜ
xO
,
(
0
0
0
rrr
un repère affine de base orthonormée directe
,
,
zyxO
(
1
1
1
rrr
ℜ
ℜ
zyxO
(
,
1
1
1
1
est en mouvement par rapport à
r
r
zy
,
0
0
)
,
)
)
,
,
,
1
1
0
un repère affine de base orthonormée directe
0
rrr
,
,
)
(
zyxR
1
1
1
1
r
r
r
xO
zy
(
,
,
0
0
0
0
,
)
→
)(tU .
r
r
zyxR
,
0
0
(
r
,
0
)
et
• Soit la fonction vectorielle :
→
tU
)(
α
=
→
+
xt
)(
1
β
→
+
yt
)(
1
→
γ
)(
zt
1
scalaires dérivables. On se propose ici de rechercher
des fonctions
t
)(
γ
)(et
t
avec
→
tUd
)(
dt
βα
),(
t
.
R
0
d
→
+
xt
)(
1
α
→
tUd
)(
dt
R
0
Publicité
=
β
→
+
yt
)(
1
→
γ
zt
)(
1
dt
→
tUd
)(
dt
0
R
=
α
td
)(
dt
→
+
x
.
1
β
td
)(
dt
→
+
y
1
.
γ
td
)(
dt
→
α
+
z
.
1
t
)(
→
xd
1
dt
+
R
0
R
0
t
)(
→
yd
1
dt
β
R
0
+
γ
t
)(
→
zd
1
dt
R
0
→
tUd
)(
dt
=
R
0
α
β
→
td
td
)(
)(
+
x
.
1
dt
dt
1
2
4444
→
tUd
)(
dt
→
+
y
1
γ
td
)(
dt
→
.
z
.
1
3
4444
R
1
+
α
t
)(
→
Ω
RR
0/1
∧
→
x
1
+
β
t
)(
→
Ω
RR
0/1
∧
→
y
1
+
γ
)(
t
→
Ω
RR
0/1
∧
→
z
1
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Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que
la consultation individuelle et privée sont interdites.
Jacques AÏACHE – Jean-Marc CHÉREAU
EduKlub S.A.
Sciences Industrielles
Cours
Dérivée vectorielle
→
tUd
)(
dt
R
0
→
tUd
)(
dt
=
→
tUd
)(
dt
R
0
Ω+
→
RR
0/1
∧
α
→
xt
)(
1
Ω+
→
RR
0/1
→
→
yt
)(
1
∧
β
Ω+
→
RR
0/1
∧
→
γ
)(
zt
1
→
tUd
)(
dt
R
1
→
Ω+
RR
0/1
∧
α
→
+
xt
)(
1
β
→
+
yt
)(
1
→
γ
)(
zt
1
R
1
=
→
tUd
)(
dt
R
0
=
→
tUd
)(
dt
R
1
→
Ω+
RR
0/1
∧
→
tU
)(
Remarque : si
→
tU
)(
Ω=
→
alors :
RR
0/1
→
Ω
d
RR
0/1
dt
R
0
→
Ω
d
=
RR
0/1
dt
R
1
1.4. Les savoirs indispensables sur la dérivée Vectorielle
1.4.1. Dérivée d’un vecteur unitaire
→
xd
dt
1
→
yd
dt
1
→
zd
dt
1
R
0
R
0
R
0
→
Ω=
R
/1
R
0
→
Ω=
R
/1
R
0
→
Ω=
R
/1
R
0
∧
→
x
1
∧
→
y
1
∧
→
z
1
1.4.2. Dérivée d’une fonction vectorielle
→
tUd
)(
dt
→
tUd
)(
dt
=
R
0
R
1
→
Ω+
RR
0/1
∧
→
tU
)(
1.4.3. Valeur du vecteur rotation
10zr
de l’axe
(A,
.
)
→
Ω
0/1 RR
dans un mouvement en rotation autour
Dans un mouvement en rotation autour de l’axe
rrr
,
,
)
zyxR
0
0
0
rrr
),
,(1
zyxR
111
repère
(0
l’angle θ est défini par
, le vecteur rotation
par rapport au repère
10 xx rr
(
),
du
(A,
10zr
)
, tel que
→
Ω
RR
0/1
→
θ&
=
z
10
.
y1
y0
x1
x0
θθθθ
A
z1
z0
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