Cours de Mathématiques Appliquées pour l’Ingénierie, l’Industrie et l’Innovation

Ce cours couvre les notions fondamentales du traitement du signal, de la transformée de Fourier et de la création d’images numériques. Il s’adresse aux étudiants de Licence 3 en Mathématiques Appliquées pour l’Ingénierie, l’Industrie et l’Innovation, souhaitant comprendre les bases mathématiques du traitement et de la représentation des images numériques.

Rappels sur les sommes et suites périodiques

Le cours commence par rappeler quelques propriétés importantes sur les sommes et les suites périodiques. Pour une suite (aₑ) indexée par un ensemble E, la somme ∑ₑ∈E aₑ ne dépend pas de la manière dont on décrit E. Par exemple, si E est partitionné en deux sous-ensembles E₁ et E₂, alors :

∑ₑ∈E aₑ = ∑ₑ∈E₁ aₑ + ∑ₑ∈E₂ aₑ.

Une somme finie importante est la somme géométrique : pour a ≠ 1 et N ∈ ℕ,

∑ₖ=1ᴺ aᵏ = a (aᴺ - 1) / (a - 1).

En particulier, si a est une racine N-ième de l’unité différente de 1 (c’est-à-dire aᴺ = 1), alors

∑ₖ=1ᴺ aᵏ = 0.

Une suite (vₙ) est périodique de période N si pour tout n ∈ ℤ, vₙ = vₙ₊ᴺ. La somme d’une période est indépendante du point de départ :

Pour tout k ∈ ℤ,

∑ₙ=k⁽ᵏ⁺ᴺ⁻¹⁾ vₙ = ∑ₙ=0⁽ᴺ⁻¹⁾ vₙ.

Cette propriété s’étend naturellement aux suites périodiques en dimension 2. Par exemple, une suite (vₘ,ₙ) périodique de période (M, N) satisfait :

Pour tout (k₁, k₂) ∈ ℤ²,

∑ₘ=k₁⁽ᵏ₁⁺ᴹ⁻¹⁾ ∑ₙ=k₂⁽ᵏ₂⁺ᴺ⁻¹⁾ vₘ,ₙ = ∑ₘ=0⁽ᴹ⁻¹⁾ ∑ₙ=0⁽ᴺ⁻¹⁾ vₘ,ₙ.

La création de l’image numérique

Définition d’une image numérique

Une image numérique est définie sur une grille à deux dimensions, de taille M × N, où M et N sont des entiers strictement positifs. Chaque élément de cette grille est un pixel, auquel on associe une couleur. Pour simplifier, le cours se concentre sur les images en niveaux de gris, où chaque pixel est codé par un entier entre 0 (noir) et 255 (blanc).

Mathématiquement, une image numérique est une fonction :

(m, n) ∈ {1, …, M} × {1, …, N} → uₘ,ₙ ∈ {0, 1, …, 255}.

Dans la suite, on supposera que les images sont carrées, donc M = N.

La convolution

La convolution est une opération fondamentale qui modélise le "moyennage" effectué par un appareil de mesure sur un voisinage d’un pixel. Elle est définie aussi bien pour des fonctions analogiques que pour des suites finies.

Convolution de fonctions analogiques

Soient h et v deux fonctions intégrables sur ℝ² (appartenant à L¹(ℝ²)). La convolution h ∗ v est définie par :

h ∗ v(x, y) = ∫∫ h(x - x′, y - y′) v(x′, y′) dx′ dy′.

Par exemple, si h est la fonction constante égale à 1 sur le carré [−1/2, 1/2]² et nulle ailleurs, alors h ∗ v(x, y) correspond à la moyenne de v sur ce carré centré en (x, y).

Le noyau h est appelé noyau de convolution. Pour que la convolution soit un véritable moyennage, on impose généralement :

∫∫ h(x, y) dx dy = 1.

La convolution est un opérateur linéaire et est invariante par translation, c’est-à-dire que pour tout décalage (k, l) :

τ(k,l)(v)(x, y) = v(x - k, y - l),

on a :

h ∗ (τ(k,l)v) = τ(k,l)(h ∗ v).

Convolution de suites finies

Pour deux suites finies h et v de taille N × N, la convolution périodisée est définie par :

(h ∗ v)ₘ,ₙ = ∑ₘ′=1ᴺ ∑ₙ′=1ᴺ hₘ₋ₘ′,ₙ₋ₙ′ vₘ′,ₙ′,

où les indices sont pris modulo N (périodisation). Cette opération correspond à un moyennage pondéré de v autour du pixel (m, n).

Le fenêtrage

En pratique, une image numérique représente une portion finie d’une scène analogique. Le fenêtrage correspond à la multiplication de l’image analogique par une fonction indicatrice de la fenêtre [0, N]². Cette opération provoque une perte d’information aux bords, car la convolution peut faire intervenir des valeurs de v hors de la fenêtre.

Pour pallier ce problème, on prolonge souvent l’image par périodisation, ce qui permet d’utiliser la transformée de Fourier de manière exacte.

L’échantillonnage

L’échantillonnage consiste à ne conserver que les valeurs de l’image analogique sur la grille à points entiers :

h ∗ v(m, n) pour (m, n) ∈ {1, …, N}².

Un sous-échantillonnage d’un facteur K consiste à ne garder qu’un point sur K dans chaque direction :

u′ₘ,ₙ = u_{Km, Kn}.

Le bruit

Le bruit est une dégradation inévitable lors de la création d’une image numérique. On considère ici un bruit additif bₘ,ₙ, supposé blanc (indépendant d’un pixel à l’autre) et gaussien, de densité :

p(t) = (1 / √(2πσ)) exp(−t² / (2σ²)),

où σ > 0 est l’écart-type du bruit.

L’image observée est alors :

uₘ,ₙ = (h ∗ v)(m, n) + bₘ,ₙ.

La quantification

La quantification consiste à coder les valeurs réelles de l’image (après convolution, fenêtrage, échantillonnage et ajout du bruit) en un nombre fini de niveaux (par exemple 256 niveaux pour une image en niveaux de gris codée sur 8 bits). On approxime chaque valeur t par la valeur la plus proche Ar(t) dans l’ensemble des niveaux de gris :

uₘ,ₙ = Ar((h ∗ v)(m, n) + bₘ,ₙ).

Cette étape est nécessaire pour stocker l’image dans un ordinateur.

Autres dégradations

• Changement de contraste : modification des niveaux de gris pour s’adapter aux conditions d’éclairage.
• Perte partielle de l’image : modélisée par un masque Mₘ,ₙ valant 0 ou 1, donnant l’image ũₘ,ₙ = Mₘ,ₙ uₘ,ₙ.
• Distorsions géométriques : déformations de la grille d’échantillonnage par une fonction ϕ : ℝ² → ℝ².
• Dégradations dues à la compression : perte d’information liée aux méthodes de compression.

Exemple illustratif

On considère un noyau de convolution h(x, y) = 1 sur le carré [−1/2, 1/2]² et un bruit gaussien de variance σ² = 16 (σ = 4). Les images successives montrent :

• L’image analogique initiale.
• L’image après convolution.
• L’image après convolution et fenêtrage.
• L’image après convolution, fenêtrage et échantillonnage.
• L’image après convolution, fenêtrage, échantillonnage et ajout du bruit.
• L’image finale après quantification, qui est numérique.

La transformée de Fourier

La transformée de Fourier est un outil mathématique majeur en traitement d’images, car elle permet de :

• Comprendre les dégradations subies par une image.
• Représenter une image dans une base différente de la base canonique.

Définition et propriétés pour une image analogique

Soit v ∈ L¹(ℝ²). Sa transformée de Fourier ˆv est définie pour (ξ, η) ∈ ℝ² par :

ˆv(ξ, η) = ∫∫ v(x, y) e^(−i(ξx + ηy)) dx dy.

Les coefficients ˆv(ξ, η) sont complexes. Si v est réelle, on a :

ˆv*(ξ, η) = ˆv(−ξ, −η),

où z* désigne le conjugué complexe de z.

Plus la fonction v est régulière, plus ses coefficients de Fourier décroissent rapidement. La transformée de Fourier est globale : une modification locale de v affecte tous les coefficients.

Exemple : transformée de Fourier d’une fonction indicatrice

Considérons la fonction indicatrice de la fenêtre carrée [−a, a]² :

v(x, y) = 1/(2a)² si (x, y) ∈ [−a, a]², 0 sinon.

Sa transformée de Fourier est :

ˆv(ξ, η) = sinc(aξ) × sinc(aη),

avec sinc(t) = sin(t) / t, et sinc(0) = 1.

Transformée de Fourier inverse

Si ˆv ∈ L¹(ℝ²), on peut reconstruire v par :

v(x, y) = (1 / (2π)²) ∫∫ ˆv(ξ, η) e^(i(ξx + ηy)) dξ dη.

Cette formule permet de passer des coefficients de Fourier à la fonction originale.

Dérivées partielles et transformée de Fourier

Si v possède des dérivées partielles ∂ˣᵖ ∂ʸᵠ v dans L¹(ℝ²), alors :

ˆ(∂ˣᵖ ∂ʸᵠ v)(ξ, η) = (iξ)ᵖ (iη)ᵠ ˆv(ξ, η).

Cette propriété relie la régularité de v à la décroissance de sa transformée de Fourier.

Convolution et transformée de Fourier

Pour h, v ∈ L¹(ℝ²), la transformée de Fourier du produit de convolution est le produit des transformées :

ˆ(h ∗ v)(ξ, η) = ˆh(ξ, η) × ˆv(ξ, η).

C’est une propriété essentielle utilisée en traitement d’images et en calcul numérique.

Effet de Gibbs

L’effet de Gibbs est un phénomène d’oscillations près des discontinuités lors de l’approximation d’un signal par ses basses fréquences. Par exemple, pour un signal en escalier :

v(x) = 0 si x < 0, 1 si x ≥ 0,

et un filtre passe-bas de fréquence K, la convolution h_K ∗ v génère des oscillations près de la discontinuité, dont l’amplitude ne diminue pas avec K.

Glossaire des termes clés

• Image numérique : fonction définie sur une grille discrète associant à chaque pixel une valeur de couleur.
• Pixel : élément élémentaire d’une image numérique.
• Convolution : opération de moyennage pondéré d’une fonction ou d’une suite par un noyau.
• Noyau de convolution : fonction h utilisée pour convoluer une image.
• Fenêtrage : multiplication d’une image analogique par une fonction indicatrice d’une fenêtre.
• Échantillonnage : opération consistant à ne conserver que les valeurs d’une fonction sur une grille discrète.
• Bruit additif : perturbation aléatoire ajoutée à une image, souvent modélisée par un bruit gaussien blanc.
• Quantification : approximation des valeurs réelles d’une image par un ensemble fini de niveaux.
• Transformée de Fourier : transformation intégrale qui décompose une fonction en fréquences.
• Sinus cardinal (sinc) : fonction définie par sinc(t) = sin(t)/t, utilisée dans la transformée de Fourier.
• Effet de Gibbs : oscillations près des discontinuités lors de l’approximation par des basses fréquences.
• Suite périodique : suite dont les valeurs se répètent avec une période fixe.

Points clés à retenir

• La convolution modélise le moyennage spatial effectué par les appareils de mesure et est linéaire et invariante par translation.
• Le fenêtrage limite la représentation à une portion finie de la scène, ce qui peut engendrer des effets de bord.
• L’échantillonnage discrétise l’image, et le sous-échantillonnage réduit la résolution.
• Le bruit additif, souvent modélisé par un bruit gaussien blanc, dégrade la qualité de l’image.
• La quantification transforme les valeurs continues en niveaux discrets codables.
• La transformée de Fourier permet de représenter une image dans le domaine fréquentiel et facilite l’analyse des dégradations.
• La transformée de Fourier de la convolution est le produit des transformées, simplifiant les calculs.
• L’effet de Gibbs illustre les limitations des approximations fréquentielles près des discontinuités.
• Les suites périodiques permettent de simplifier les calculs et sont utilisées pour modéliser les images numériques périodisées.