Cours de Mathématiques Appliquées pour l’Ingénierie, l’Industrie et l’Innovation

N 1 − ∑ n=0

vn.

Preuve. Pour montrer cette propriété, on considère le quotient q division Euclidienne de k par N. On a donc k = qN + r. On a alors que si r

∈

= 0

Z et le reste r

0, . . . , N

1

}

−

de la

∈ {

k

≤

qN + N

1

−

et

qN + N

k + N

1

−

≤

et on peut décomposer

1

k+N − ∑ n=k

vn =

=

=

=

1

−

qN+N ∑ n=k

1

−

qN+N ∑ n=k

vn +

1

k+N − ∑ n=qN+N

vn,

vn +

k 1 − ∑ n=qN

vn+N

k 1 − ∑ n=qN

vn +

1

−

qN+N ∑ n=k

vn

1

−

qN+N ∑ n=qN

vn

par changement de variable,

par périodicité,

Si r = 0, on a aussi trivialement cette égalité :

1

k+N − ∑ n=k

vn =

1

−

qN+N ∑ n=qN

vn.

Finalement, on a quelle que soit la valeur de r

1

k+N − ∑ n=k

vn =

1

−

qN+N ∑ n=qN

vn

=

=

N 1 − ∑ n=0 N 1 − ∑ n=0

vn+qN,

par changement de variable,

vn,

par périodicité.

(cid:3)

Cette proposition dit simplement que lorsque l’on fait la somme des éléments d’une suite périodique

sur une période, le choix de la période n’a pas d’importance.

On a bien sûr le même résultats en dimension 2, 3 etc. Par exemple pour la dimension 2, on dit qu’une

suite (vm,n)(m,n)

CZ2

Z2

∈

∈

est (M, N) périodique, pour (M, N)

N2, si et seulement si

∈

(m, n)

∀

Z2,

∈

vm,n = vm+M,n = vm,n+N = vm+M,n+N.

On a bien sûr des propriétés analogues à celles décrites ci-dessus pour les suites périodiques en dimension 1. On a aussi :

7

6 Proposition 2 Pour (M, N) Z2 on a pour tout (k1, k2)

∈

∈

N2 et pour toute suite périodique (vm,n)(m,n)

CZ2

de période (M, N),

Z2

∈

∈

1

k1+M − ∑ m=k1

1

k2+N − ∑ n=k2

vm,n =

M 1 − ∑ m=0

N 1 − ∑ n=0

vm,n.

Preuve. Pour montrer cette proposition, il suffit d’appliquer deux fois la Proposition 1. On a en effet immédiatement, pour tout m

Z et tout k2

Z

∈

∈ k2+N − ∑ n=k2

1

vm,n =

N 1 − ∑ n=0

vm,n,

car (vm,n)n

∈

Z est dans CZ et est N périodique. On a donc

1

1

k1+M − ∑ m=k1

k2+N − ∑ n=k2

vm,n =

=

1

k1+M − ∑ m=k1

N 1 − ∑ n=0

1

N 1 − ∑ n=0

k1+M − ∑ m=k1

vm,n,

vm,n.

A nouveau, comme quelque-soit la valeur de n Z tout n

Z et tout k1

∈

∈

Z, la suite (vm,n)m ∈

Z

∈

∈

CZ est M périodique, on a pour

1

k1+M − ∑ m=k1

vm,n =

M 1 − ∑ m=0

vm,n.

On a donc bien finalement pour tout (k1, k2)

Z2

∈ k2+N − ∑ n=k2

1

k1+M − ∑ m=k1

1

vm,n =

N 1 − ∑ n=0

M 1 − ∑ m=0

vm,n.

(cid:3)

8

Chapitre 2

La création de l’image numérique

La création d’une image numérique est faite par un appareil de mesure (scanner, appareil photo nu- mérique, webcam, barrette CCD, . . . ). Malgré la diversité des appareils de mesure, elle s’écrit (à quelques approximations près) sous la forme d’une unique équation mathématique. Ce sont les éléments mathéma- tiques utiles à l’écriture et à la compréhension de cette équation que nous allons introduire ici. Commen- çons par définir ce qu’est une image numérique.

2.1 Images numériques

Une image numérique est définie sur une grille à deux dimensions. Les éléments de cette grille sont

appelés des pixels. Ainsi, une image est définie sur un ensemble

1, . . . , M

1, . . ., N

,

}

} × {

{

où M et N sont des entiers strictement positifs.

De plus, à chaque pixel, l’image attribue une couleur. Il existe plusieurs façons de représenter une couleur (système RVB, HSV, niveaux de gris, . . . ). Le point commun entre ces méthodes est de repré- senter une couleur par un ou plusieurs nombres (généralement trois). Chacun d’entre eux représentant la composante de notre couleur dans la direction d’une couleur primaire de référence.

Afin de simplifier les notations dans la suite du cours, nous ne travaillerons que sur des images noir et blanc. Ceci induit une simplification notable, puisqu’une couleur, que l’on appellera maintenant niveau de gris, n’est plus représentée que par un seul nombre. La convention habituelle veut que la valeur 0 corresponde au noir et que la valeur 255 corresponde au blanc. Les valeurs intermédiaires donnent les différentes teintes de gris. Il nous faut par ailleurs coder ces niveaux de gris. Pour ce faire, on doit utiliser un nombre fini de niveaux de gris. On a ainsi un ensemble fini C ol R représentant nos couleurs. Par exemple, pour des niveaux de gris codés sur 8 bits, on a C ol = Ainsi, une image numérique est donnée par une suite

⊂ 0, 1, . . ., 255

}

{

.

1, . . . , M

{

} × {

1, . . ., N

(m, n)

} −→ −→

C ol um,n

Dans la suite, nous utiliserons indifféremment les termes image, fonction et suite pour désigner une image numérique. Nous préciserons qu’une image ou une fonction n’est pas numérique en la qualifiant d’analogique. De plus, nous supposerons que nos images sont carrées. On a ainsi M = N.

9

2.2 La convolution

Tous les appareils de mesure commencent par faire un “moyennage”, sur un voisinage d’un pixel, avant d’attribuer cette valeur au pixel. Ce moyennage ne dépend pas (on supposera en tout cas que cette dépendance, si elle existe, est négligeable) du pixel considéré. Mathématiquement, cette opération est connue sous le nom de convolution. C’est l’objet de ce chapitre.

2.2.1 De fonctions analogiques

Pour simplifier, nous ne considérerons que des fonctions, dont le module est intégrable 1, définies sur R2. Ces fonctions représentent des images analogiques. On notera L1(R2) l’ensemble des fonctions de module intégrable sur R2.

Définition 1 Pour deux fonctions h et v dans L1(R2), on note h on le définit par

∗

v le produit de convolution de h par v et

(x, y)

∀

∈

R2, h

∗

v(x, y) =

ZR ZR

h(x

−

x′, y

−

y′)v(x′, y′)dx′dy′.

Il s’agit donc d’une fonction (il n’est pas très difficile de voir qu’elle est aussi dans L1(R2)).

L’intuition qu’il faut avoir de h ∗ Par exemple, si l’on prend h(x, y) = 1

v(x, y) est bien celle d’un “moyennage” de v au voisinage de (x, y).

2 ]2 (x, y), on a, pour tout (x, y) 1 2 , 1

∈

[ − |

R2,

v(x, y) =

h

∗

=

ZR ZR y+ 1 2

h(x

− x+ 1 2

Z

1 2

y −

Z

1 2

x −

x′, y

−

y′)v(x′, y′)dx′dy′,

v(x′, y′)dx′dy′,

(2.1)

car (par exemple), on a bien

1 2 ≤

−

x′

x

−

≤

1 2

si et seulement si

1 2 ≤

x′

x

−

≤

x +

1 2

.

Il s’agit bien de la moyenne de v sur un carré de côté 1, centré en (x, y). Modifier le support de h revient à changer le support sur lequel on fait la moyenne et modifier les valeurs de h revient à ajouter une pondération (certains points du voisinage de (x, y) comptant plus que d’autres). Il est important de noter R2. On appelle h le noyau que le moyennage ne dépend que de h et reste le même quel que soit (x, y) de convolution. En général, pour que la convolution soit vraiment un moyennage, on prend h tel que

∈

h(x, y)dxdy = 1

ZR2

Proposition 3 Pour h

∈

L1(R2), l’opérateur de convolution avec h est un opérateur linéaire.

Preuve. On a bien en effet, pour tout α, β

R et tout u, v

L1(R2),

∈

∈

(α u + β v)(x, y) =

h

∗

=

=

ZR ZR

ZR ZR

h(x

h(x

−

−

x′, y

x′, y

−

−

ZR ZR

α h(x

x′, y

−

= α h

∗

u(x, y) + β h

∗

− v(x, y)

y′)(α u + β v)(x′, y′) dx′dy′

y′)(α u(x′, y′) + β v(x′, y′)) dx′dy′

y′)u(x′, y′) + β h(x

x′, y

−

−

y′)v(x′, y′)) dx′dy′

1. Par intégrable, on veut dire que l’intégrale, sur son domaine de définition, du module de la fonction existe.

10

On a aussi, si l’on note τ(k,l) l’opérateur de translation défini pour tout (k, l)

R2 par

∈

(τ(k,l)v)(x, y) = v(x

k, y

l) :

−

−

(cid:3)

Proposition 4 Pour tout h Pour tout v

L1(R2) et tout (k, l)

∈

∈

R2, on a

∈

L1(R2), l’opérateur de convolution avec h est invariant par translation :

Preuve. On a en effet pour (x, y)

R2,

∈

(τ(k,l)v) = τ(k,l) (h

h

∗

v).

∗

(τ(k,l)v)(x, y) =

h

∗

=

=

ZR ZR

ZR ZR

h(x

h(x

−

−

x′, y

x′, y

−

−

y′) (τ(k,l)v)(x′, y′) dx′dy′,

y′) v(x′

k, y′

−

−

l) dx′dy′,

h(x

(x” + k), y

(y” + l)) v(x”, y”) dx”dy”,

−

ZR ZR

= τ(k,l) (h

− v)(x, y),

∗ x′ −

←

où l’on a fait un changement de variable x”

k et y”

l.

y′ −

←

(cid:3)

En mots, la Proposition 4 dit que faire une translation puis une convolution donne le même résultat que faire une convolution puis une translation. Autrement dit, la convolution commute avec les opérateurs de translation. On dit aussi que la convolution est invariante par translation.

La convolution est très souvent la première dégradation subie par l’image analogique. Ainsi, à un appareil de mesure correspond un noyau de convolution h (celui-ci peut être dû à l’optique, un compteur de photons . . . ).

2.2.2 De suites finies

Nous profitons de l’introduction de la convolution pour les fonctions analogiques pour la définir pour v, le produit

N, deux suites finies. On note h

N et (vm,n)1

N,1

N,1

m

n

n

≤

≤

≤

≤

≤

≤

des suites finies. Soit (hm,n)1 de convolution de h par v, la suite

≤

≤

m

∗

v)m,n =

(h

∗

N ∑ m′=1

N ∑ n′=1

hm

−

m′,n

−

vm′,n′

.

n′

Ici, on suppose que h est périodisé en dehors de

{

1, . . . , N

2. Ceci veut dire que l’on définit

(m, n)

1, . . . , N

2,

(k, l)

} Z, hm+kN,n+lN = hm,n.

∀

∈ { v n’est pas forcément une image Il est à noter que, même si h et v sont des images numériques, h numérique car elle prend, à priori, des valeurs hors de C ol. Nous verrons par la suite comment remédier à ce problème.

∈

∀

}

∗

L’intuition est la même pour le produit de convolution entre des fonctions numériques et des fonctions

analogiques. On a un effet de moyennage de v autour des points (m, n).

On présente sur la Figure 2.1 le résultat de convolutions avec différents noyaux.

11

FIGURE 2.1 – Haut: l’image avant convolution; Milieu: noyau de convolution; Bas: Image convoluée.

12

y

N

support de h(.

x, .

y)

−

−

(x, y)

(x′, y′)

0

N

x

FIGURE 2.2 – La valeur de h

∗

v(x, y) dépend de la valeur de v(x′, y′).

2.3 Le fenêtrage

Dans le chapitre précédent, pour la convolution entre fonctions analogiques, le domaine est R2. Or, en pratique, une image numérique ne représente qu’une partie finie de l’ensemble de la scène observable. Il y a donc un fenêtrage de cette image analogique avant la numérisation. Le choix de la fenêtre correspond à ce que les photographes appellent le cadrage.

Ainsi, après la convolution, on a une image analogique h

v dont on ne gardera que la partie intérieure

à une fenêtre [0, N]2. Ceci revient mathématiquement à la multiplier par 1

∗

Cette perte d’informations joue un rôle important près des bords de l’image. En effet, lors de la = 0, v(x, y) dépend de v en un endroit où on la connaît peu (en pratique pas). De tels points (x, y) sont

convolution (voir Figure 2.2), si (x, y) est tel qu’il existe (x′, y′) hors de [0, N]2 tel que h(x h d’autant plus nombreux que le support de h est étendu.

x′, y

y′)

−

−

∗

[0,N]2. |

De même, l’information sur la valeur de v(x, y) est répartie sur les valeurs de h

v(x′, y′), avec (x′, y′)

tel que h(x′ −

Pour remédier à ces problèmes, nous prolongerons (h

= 0. Si un tel (x′, y′) est en dehors de [0, N]2, cette information est perdue. v)1

x, y′ −

y)

[0,N]2 par périodisation. Ceci revient à poser |

∗

∗

v(x, y) = h

h

∗

∗

v(x + txN, y + tyN)

avec tx et ty tels que (x + txN, y + tyN)

[0, N]2.

∈

Il y a bien sûr beaucoup d’autres possibilités pour traiter ces problèmes de bord. Nous choisissons la périodisation parce que grâce à elle toutes les formules utilisant la transformée de Fourier (voir Chapitre 3) seront exactes (ce ne seront pas des approximations).

2.4 L’échantillonnage

laquelle le plus d’informations est perdue. Elle consiste à ne garder que les valeurs de (h

L’échantillonnage est bien souvent la partie du processus de création d’une image digitale durant [0,N]2 aux |

v)1

∗

13

6 6 FIGURE 2.3 – De Gauche à droite, image sous-échantillonnée dans un rapport 1, 2, 3, 4.

points entiers. Mathématiquement, on obtient une fonction définie sur

1, . . . , N

{

}

2 définie par

h

∗

v(m, n)1

[0,N]2(m, n), |

pour (m, n)

1, . . . , N

2.

définie sur tion

{

}

∈ {

Pour sous-échantillonner, d’un rapport K (pour K un entier strictement positif), une image digitale u 2, on effectue l’opéra-

} 2, pour obtenir une image digitale u′ définie sur

1, . . . , KN

1, . . . , N

{

}

u′m,n = uKm,Kn.

2.5 Le bruit

Un appareil de mesure créant une image digitale génère toujours un bruit. Les causes peuvent venir de plusieurs sources (caractère probabiliste du nombre de photons issus d’une région d’intensité donnée, imperfections électroniques de l’appareil, imperfections des capteurs, . . . ). Nous ne considérerons ici que 2, dont la valeur est aléatoire. Bien que cela les bruits additifs. Il s’agira d’une suite, définie sur { soit rarement le cas, il est souvent raisonnable de supposer que le bruit b est blanc (les valeurs bm,n sont indépendantes les unes des autres). On supposera de plus qu’il est Gaussien. Ceci veut dire que chaque bm,n est une réalisation de la loi de probabilité continue, de densité

1, . . . , N

}

p(t) =

1 √2πσ

exp(

−

t2 2σ2 ),

(2.2)

pour σ > 0. On a introduit σ > 0, qui représente l’importance du bruit. On obtient alors une fonction définie sur

2, valant

1, . . . , N

{

}

h

∗

v(m, n)1

[0,N]2(m, n) + bm,n. |

Pour un bruit b, comme pour toute variable aléatoire, on peut parler de l’espérance d’une fonction

f (b). On la définit mathématiquement par

E ( f (b)) =

f (t)p(t)dt

ZR

14

où p(t) est la densité de la loi de b (ici la loi Gaussienne définie par (2.2)). L’espérance représente la valeur moyenne de f (b) pour un nombre infini de réalisations indépendantes de b. C’est même en utilisant cette propriété que l’on calcule numériquement l’espérance, lorsque l’on sait produire des réalisations (indépendantes) de b.

Par exemple, il n’est pas dur de voir (ce sont de simples changements de variable) que

E(b) =

1

√2πσ ZR

t exp(

−

t2 2σ2 )dt = 0.

Ceci représente la valeur moyenne de b. On définit aussi la variance de b, par

E(b))2

−

E

(b

(cid:16)

(cid:17)

=

=

1

√2πσ ZR σ2 √2π ZR

t2 exp(

t2 exp(

−

t2 2σ2 )dt − t2 2

)dt

La variance (dans le cas d’un bruit Gaussien, simplement, σ2) nous donne l’écart quadratique moyen entre une réalisation de b et sa valeur moyenne.

= σ2

2.6 La quantification

La quantification est l’opération qui consiste à traduire les valeurs de

h

∗

v(m, n)1

[0,N]2(m, n) + bm,n. |

sous la forme d’une couleur. Pour cela, il faut approximer cette valeur (qui est dans R3, pour des images couleurs et R pour des images noir et blanc) de façon à ce qu’elle soit codable dans un ordinateur (on dispose d’un nombre fini de bits).

Si l’on considère le cas d’images noir et blanc avec des niveaux de gris appartenant à un ensemble R en l’approximant par la valeur Ar(t), la plus proche de t

, on quantifie une valeur t

0, 1, . . . , 255 { dans

0, 1, . . . , 255

}

{

.

}

On obtient ainsi enfin notre image digitale sous la forme

um,n = Ar

h

v(m, n)1

[0,N]2(m, n) + bm,n |

∗

(cid:17)

Remarque : Il est parfois nécessaire de modifier la dynamique de l’image avant la quantification (par exemple : si l’image est trop sombre, une quantification brutale engendrerait trop de perte d’informations ; si l’image est trop claire, beaucoup de points satureraient à la valeur 255). Nous négligerons dans la suite ce changement de contraste.

∈

(cid:16)

2.7 Autres dégradations

Il y a bien sûr beaucoup d’autres sources possibles de dégradation d’une image. Nous n’avons abordé ici que celles concernant l’appareil de mesure fonctionnant normalement. On peut mentionner par exemple : — Le changement de contraste : Comme nous l’avons dit au chapitre précédent, on a parfois inté- rêt à modifier le contraste. Les caméras numériques et appareils photo numériques font presque toujours un changement de contraste pour s’adapter aux conditions d’éclairage.

15

— La perte d’une partie de l’image : Il peut arriver aussi qu’une partie de l’image soit perdue (par exemple : sur une photo abîmée, durant la transmission d’une image satellite, vieux films). Dans ce cas, on a un masque M, défini sur et la nouvelle image est donnée par

2, à valeur dans

1, . . . , N

0, 1

}

}

{

{

˜um,n = Mm,num,n.

— Des distorsions géométriques : Certains appareils de mesure ne font pas un échantillonnage sur une grille parfaite. Cela peut être du à des imperfections du capteur, des vibrations d’un satellite, . . . On a alors une fonction de déformation ϕ : R2

R2 et l’image prend la forme

→

um,n = Ar

h

v (ϕ(m, n)) 1

[0,N]2 (ϕ(m, n)) + bm,n |

∗

(cid:16)

(cid:17)

— Les pertes dues à la compression : Pour stocker ou transmettre une image, on la compresse sou- vent. Cette compression peut générer des défauts sur l’image reconstruite. Ces défauts dépendent évidement de la méthode et du niveau de compression.

Il existe évidement d’autres sources de dégradations possibles. Nous n’aborderons pas (ou peu) les

méthodes visant à réduire les effets de ces dégradations.

2.8 Exemple

Nous montrons dans les images suivantes les résultats pour une image donnée des dégradations définie par un noyau de convolution h(x, y) = 1 1,1]2 et un bruit de variance σ = 4. (Ce noyau de convolution est réaliste, on rencontre des noyaux ayant le même genre d’effets en imagerie satellite. Le bruit dans un tel cas serait plus faible. Nous l’avons volontairement augmenté afin qu’il soit bien visible.)

[ − |

16

FIGURE 2.4 – Image analogique de départ.

17

FIGURE 2.5 – Image analogique après la convolution.

18

FIGURE 2.6 – Image analogique après la convolution et le fenêtrage.

FIGURE 2.7 – Image analogique après la convolution, le fenêtrage et l’échantillonnage.

FIGURE 2.8 – Image analogique après la convolution, le fenêtrage, l’échantillonnage et l’ajout d’un bruit.

FIGURE 2.9 – Image analogique après la convolution, le fenêtrage, l’échantillonnage, l’ajout d’un bruit et la quantification. C’est une image digitale.

19

20

Chapitre 3

La transformée de Fourier

La transformée de Fourier est un outil mathématique important en traitement des images pour deux

raisons :

— La plupart des dégradations rencontrées lors de la création de l’image s’expriment simplement en terme de transformée de Fourier. Cette dernière permet donc de comprendre le comportement d’une chaîne image.

— C’est un exemple historique et important de traitement d’une image à partir de la représentation de l’image dans une base (autre que la base canonique). C’est un des grands domaines de recherche actuels.

— Voici une liste de quelques ouvrages de références [2, 1, 4],

3.1 D’une image analogique

3.1.1 Définition et premières propriétés

Nous nous contenterons ici de définir la transformée de Fourier d’une fonction définie sur R2. Elle est en fait aussi définie pour une fonction définie sur une fenêtre. Il y a même un lien entre la transformée de Fourier d’une fonction définie sur R2 et celle de cette même fonction après le fenêtrage. Les détails de ce passage n’apportent cependant pas grand chose à la compréhension du fenêtrage. Nous le laisserons donc de côté.

Définition 2 Soit v

∈

L1(R2), sa transformée de Fourier est définie, pour (ξ, η)

R2, par

∈

ˆv(ξ, η) =

ZR ZR

v(x, y) e−

i(ξx+ηy)dxdy,

où i représente le nombre complexe habituel.

Vous pourrez rencontrer d’autres définitions équivalentes (notamment avec un 2π) de la transformée de Fourier. Dans la suite, on appellera fréquences les points (ξ, η) décrivant le domaine de Fourier.

Remarque 1 : La transformée de Fourier est, en fait, définie pour des fonctions à valeur dans C. Les coefficients de Fourier sont d’ailleurs dans C. Par contre, comme la fonction est à valeur dans R, on a (on

21

note z∗ le nombre complexe conjugué de z)

ˆv∗(ξ, η) =

ZR ZR

v(x, y)

e−

i(ξx+ηy)

∗ dxdy

=

ZR ZR ξ,

−

= ˆv(

(cid:16)

v(x, y) e−

i(

−

ξx

−

(cid:17) ηy)dxdy

η).

−

Remarque 2 : Une des intuitions importantes qu’il faut avoir est que plus la fonction v est régulière,

plus ses coefficients de Fourier décroîtrons rapidement.

Remarque 3 : Un autre aspect, très important en traitement des images, est que la transformée de Fourier est une transformation globale (l’intégrale porte sur tout le domaine R2). Ainsi changer v, même sur une petite région de R2, a un impact sur tous les coefficients de Fourier.

3.1.2 Exemple

L’exemple que nous allons traiter est le calcul de la transformée de Fourier de la fonction v =

1 (2a)2 1

a,a]2, pour a > 0. Il est important car on le rencontre souvent. On a , pour tout (ξ, η)

∈

[ − |

R2,

1 (2a)2 1 1 2a

[ − |

1

ˆv(ξ, η) =

=

ZR

(cid:18) iηy et 1

ZR ZR

a,a]2(x, y) e−

i(ξx+ηy)dxdy

[ − |

a,a](x) e−

iξxdx

ZR

(cid:19) (cid:18)

1 2a

1

[ − |

a,a](y) e−

iηydy

.

(cid:19)

Car e−

i(ξx+ηy) = e−

iξx e−

a,a]2(x, y) = 1

a,a](x)1

[ − |

[ − |

[ − |

a,a](y). On a alors,

1 2a

1

[ − |

ZR

a,a](x) e−

iξxdx =

=

=

a

a

−

1 2a Z 1 2iξa 1 2iξa

−

e−

iξxdx

a

iξx

e−

a

− i iξa

h

e−

−

=

(cid:16) sin (ξa)

− 1 ξa = sinc (aξ) ,

eiξa

(cid:17)

avec sinc(t) = sin(t)

t

, si t

= 0, et sinc(0) = 1. On a donc

ˆv(ξ, η) = sinc (aξ) sinc (aη) .

(3.1)

(cid:3)

On appelle sinus cardinal la fonction sinc apparaissant dans (3.1). Elle donne la transformée de Fou-

rier de la fonction de fenêtrage telle que nous l’avons vue au chapitre 2.3.

On voit que

ξη . Là encore , c’est un point important car, par exemple, les images contiennent ce genre de discontinuité et ont donc dans coefficients de Fourier ayant ce type de décroissance.

a,a]2 est discontinue et que sa transformée de Fourier décroît comme 1

1 (2a)2 1

[ − |

22

6 3.1.3 Fourier inverse pour des images analogiques

Une propriété, qui rend la transformée de Fourier utile, est qu’elle est inversible. C’est à dire qu’à

partir de sa transformée de Fourier, on peut reconstruire une fonction. Plus précisément :

Proposition 5 Soit v (presque-)tout (x, y)

∈

L1(R2). Si sa transformée de Fourier ˆv est aussi dans L1(R2), on a alors pour ∈ R2

v(x, y) =

1

(2π)2 ZR ZR

ˆv(ξ, η) ei(ξx+ηy)dξdη.

(3.2)

Cette proposition est admise, nous verrons la preuve d’un résultat analogue dans le cas de la transformée de Fourier de suites finies.

Les intérêts de cette proposition sont multiples. Tout d’abord, en pratique, elle permet de reconstruire une fonction à partir de ses coefficients de Fourier. Ce qui veut dire que l’on peut calculer la transformée de Fourier d’une fonction, manipuler ses coefficients (de manière appropriée) et reconstruire un résultat. Par ailleurs, elle met en évidence le sens de la transformée de Fourier, qui est de calculer les coordon-

nées d’une image dans un ensemble constitué des fonctions

ei(ξx+ηy)

Les coefficients de Fourier ne sont ainsi qu’une autre façon de décrire une fonction analogique.

(cid:16)

(cid:17)

.

R

ξ,η

∈

3.1.4 Dérivées partielles et transformée de Fourier

Proposition 6 Soit v partielles ∂p+qv

∈

∂xp∂yq sont aussi dans L1(R2), on a alors pour tout p

L1(R2) telle que, pour P et Q

N et tout p

∈

P et tout q

Q, les dérivées

≤

P et tout q

≤ Q pour tout (ξ, η)

R2

∈

≤

≤

\∂p+qv ∂xp∂yq (ξ, η) = (iξ)p(iη)q ˆv(ξ, η) Preuve. On fait une preuve par récurrence sur p et q. Pour cela, on remarque que la formule est vraie pour p = q = 0, puis on vérifie que si elle est vraie pour un couple (p, q), elle est aussi vraie pour (p + 1, q) et (p, q + 1). Ce dernier point s’obtient immédiatement par intégration par partie. Par exemple, si p > 0 :

\∂p+qv ∂xp∂yq (ξ, η) =

ZR ZR

i(ξx+ηy)dxdy

=

− ZR ZR

∂p+qv ∂xp∂yq (x, y) e− 1+qv 1∂yq (x, y) ( −

∂p − ∂xp − \ 1+qv ∂p − 1∂yq (ξ, η) ∂xp 1(iη)q ˆv(ξ, η)

= (iξ)

− = (iξ) (iξ)p = (iξ)p(iη)q ˆv(ξ, η)

−

iξ) e−

i(ξx+ηy)dxdy

(cid:3)

On admet aussi le résultat suivant. Il formalise que l’intuition que : si le module de la transformée de

Fourier de v décroit vers 0 à l’infinie alors v est régulière. N,

L1(R2) telle que, pour P et Q

Proposition 7 Soit v

∈

ZR ZR |

ˆv(ξ, η) |

(1 +

|

Q)dξdη < ∞

η |

|

∈ P ξ

|

alors v est bornée et (P, Q) continûment différentiable avec de dérivées partielles bornées.

23

3.1.5 Convolution et transformée de Fourier

Proposition 8 Soit v

L1(R2) et h

∈

∈

L1(R2), on a alors, pour tout ξ et tout η dans R

Preuve. Cette propriété n’est pas très difficile à prouver. On a pour tout ξ et tout η dans R

h

v(ξ, η) =

h(ξ, η)

v(ξ, η).

∗

d

b

b

v(ξ, η) =

h

∗

ZR ZR

h

∗

v(x, y) e−

i(ξx+ηy)dxdy,

d

=

ZR ZR

ZR ZR

(cid:18)

h(x

−

x′, y

−

y′)v(x′, y′)dx′dy′

e−

i(ξx+ηy)dxdy,

(cid:19)

y′) Comme la fonction | | on effectue les intégrations et obtenir

x′, y

h(x

−

−

|

v(x′, y′) |

est intégrable sur R4, on peut modifier l’ordre dans lequel

v(ξ, η) =

h

∗

ZR ZR

ZR ZR

(cid:18)

h(x

−

x′, y

−

y′) e−

i(ξ(x

−

x′)+η(y

−

y′))dxdy

v(x′, y′) e−

i(ξx′+ηy′)dx′dy′.

(cid:19)

On obtient après un changement de variable :

d

ZR ZR

h(x

−

x′, y

−

y′) e−

i(ξ(x

−

x′)+η(y

−

y′))dxdy =

h(x, y) e−

i(ξx+ηy)dxdy,

ZR ZR

=

h(ξ, η).

On a donc finalement,

v(ξ, η) =

h

∗

ZR ZR

h(ξ, η) v(x′, y′) e−

b i(ξx′+ηy′)dx′dy′,

d

=

v(ξ, η). h(ξ, η) b

Cette proposition est très importante et sa version "discrète" a de nombreuses applications pratiques.

b

b

(cid:3)

3.1.6 Effet de Gibbs

Les effets de Gibbs sont des défauts que l’on obtient lorsque l’on approxime un signal ou une image

(contenant une discontinuité) en ne conservant que ces basses fréquences.

Pour illust