Chap 2 Analyse Factorielle des correspondances
L’analyse factorielle des correspondances (AFC)
vise à réunir les informations les plus utiles de
façon à donner une image claire de l’association
de deux variables qualitatives.
Dans l’analyse des correspondances, les lignes
les catégories (facteurs) d’une
représentent
première variable et les colonnes, les catégories
d’une deuxième variable.
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Chap 2 Analyse Factorielle des correspondances
Dans l’analyse factorielle en composantes principales, les
colonnes sont nécessairement des variables et les lignes, des
les
individus
corrélations entre ces variables.
les principaux résultats
reposent
sur
;
l’analyse factorielle des
Malgré certaines ressemblances,
correspondances se démarque donc de l’analyse factorielle
en composantes principales.
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Chap 2 Analyse Factorielle des correspondances
une analyse destinée au traitement des tableaux de données
où les valeurs sont positives et homogènes comme les
tableaux de contingence.
L’objectif primordial de l’AFC reste donc le même que celui
de l’ACP:
l’information
espace
contenue
Lire
multidimensionnel par une réduction de la dimension de cet
espace tout en conservant un maximum de l’information
dans
un
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Chap 2 Analyse Factorielle des correspondances
Il s’agit de présenter visuellement les principales liaisons
entre les catégories des deux variables
Ces liaisons sont analysées selon les oppositions :
•
•
•
•
centre/périphérie
éloignement/proximité
ressemblance/dissemblance
attraction/répulsion.
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Chap 2 Analyse Factorielle des correspondances
Soient deux variables nominales X et Y, comportant
respectivement p et q modalités.
On a observé les valeurs de ces variables et on dispose d'un
tableau de contingence à p lignes et q colonnes donnant les
effectifs conjoints c'est-à-dire les effectifs observés pour
chaque combinaison d'une modalité i de X et d'une modalité
j de Y.
Les valeurs de ce tableau seront notées , l'effectif total sera
noté N.
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Chap 2 Analyse Factorielle des correspondances
Exemple :
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Une enquête a été menée sur les vacances pour voir s’il
existe un lien entre la Catégorie Socio professionnelle
(variable X) ainsi que le mode d’hébergement utilisé lors de
leurs dernières vacances (variable Y).
on a demandé à un échantillon de 100 individus
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Chap 2 Analyse Factorielle des correspondances
Le dépouillement des données a donné le tableau de contingence
suivant :
Agriculteur
Cadre moyen
Chef d’Entrep
Employé
Ouvrier
Retraité
Total
Camping
Hôtel
Famille
Location
Total
1
3
1
2
8
4
19
1
3
5
10
1
2
22
8
0
1
8
7
1
25
2
6
9
6
8
3
34
12
12
16
26
24
10
100
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Le tableau se lit de la manière suivante :
Il y a un individu agriculteur et qui a choisi le camping.
Il y a 3 individus cadres moyens et qui ont choisi l’hôtel.
Il y a 6 employés qui ont choisi la location.
Etc
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2. Pratique de l’AFC
On considère deux variables qualitatives nominales X et Y:
X admet les modalités x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7 et x8.
Y admet les modalités y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7, y8 et y9.
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2. Pratique de l’AFC
Tableau de contingence
Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
Y6
Y7
Y8
Y9
Marge
X1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
Marge
258495
128715
150141
144581
143444
107327
126569
111176
1170448
184419
114003
140634
95451
136677
61507
93049
82524
908264
114222
48782
96746
59967
122610
40081
60234
47903
590545
57183
71897
61676
54309
47279
54412
47074
55165
448995
39052
25732
23292
26732
32987
49535
41897
24693
263920
22479
19738
15998
17545
16438
19619
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17308
17018
146143
13277
11980
13939
12108
11322
8393
10969
9876
91864
5006
7085
6486
5346
4690
5176
4557
4825
434078 1128211
729410
301478
838538
329626
686453
270414
830411
314964
633668
287618
688570
286913
615638
262458
43171 2487549 6150899
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2. Pratique de l’AFC
Exemple de l’AFC:
Y a-t-il des modalités qui se ressemblent, c'est-à-dire dans lesquels les
résultats (en pourcentages) des différentes lites sont voisins ? Y a-t-il
au contraire des modalités qui s'opposent?
Y a-t-il des modalités de X dont les résultats sont proches de ceux
d’une modalité de Y.
Comment se comportent les modalités des deux variables.
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On note:
nij: effectif de la case (i,j) : Le nombre d’individus admettant la
modalité i de X et la modalité j de Y.
ni. : effectif total de la ligne i c’est le total de la ligne i.
n.j : effectif total de la colonne j c’est le total de la ligne j.
n.. : c’est l’effectif total.
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Chap 1 Analyse Factorielle des correspondances
2. Pratique de l’AFC
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Chap 2 Analyse Factorielle des correspondances
2. Pratique de l’AFC
La première étape consiste à établir les profils lignes et les profils
colonnes.
Ces profils se calculent (à partir des données brutes) en divisant
chaque terme par le total de cette ligne ou de cette colonne.
Tableau des fréquences
L’AFC est pratiquée sur le tableau des fréquences relatives et non pas
sur les effectifs. Dans ce cas chaque case (i,j) sera divisée par le total n
pour avoir les fréquences relatives fij.
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Tableau 2
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2. Pratique de l’AFC
Les fréquences sont calculées par :
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2. Pratique de l’AFC
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2. Pratique de l’AFC
Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
Y6
Y7
Y8
Y9
Total
X1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
22,09% 20,30% 19,34% 12,74% 14,80% 15,38% 14,45% 11,60% 17,45% 18,34%
11,00% 12,55%
8,26% 16,01%
9,75% 13,51% 13,04% 16,41% 12,12% 11,86%
12,83% 15,48% 16,38% 13,74%
8,83% 10,95% 15,17% 15,02% 13,25% 13,63%
12,35% 10,51% 10,15% 12,10% 10,13% 12,01% 13,18% 12,38% 10,87% 11,16%
12,26% 15,05% 20,76% 10,53% 12,50% 11,25% 12,32% 10,86% 12,66% 13,50%
9,17%
6,77%
6,79% 12,12% 18,77% 13,42%
9,14% 11,99% 11,56% 10,30%
10,81% 10,24% 10,20% 10,48% 15,87% 11,84% 11,94% 10,56% 11,53% 11,19%
9,50%
9,09%
8,11% 12,29%
9,36% 11,64% 10,75% 11,18% 10,55% 10,01%
TOTAL
100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00%
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2. Pratique de l’AFC
Distance du Khi-deux
consiste à mesurer les ressemblances/dissemblances entre les profils
par la distance du khi-carré à partir de la formule de Pythagore
(distance euclidienne)
La formule de distance du khi-carré servira donc à mesurer les
systèmes d’opposition des éléments étudiés
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Rappelons la démarche du test du Khi-deux :
Si les deux variables sont réellement indépendantes,
cette expression suit une distribution du Khi-deux avec
un nombre de degrés de liberté égal à :(p -1) (q-1)
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Dans une table on lit χ valeur ayant une probabilité α,k 2 α
d’être dépassée pour une distribution du khi-deux avec k =
(p-1)(q-1).
On définit la distance du Khi-deux entre la ligne i et la ligne i' par :
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d22(Li,Li')(flijfli'j)2f•jj