Chap 2 Analyse Factorielle des correspondances
L’analyse factorielle des correspondances (AFC)
vise à réunir les informations les plus utiles de
façon à donner une image claire de l’association
de deux variables qualitatives.
Dans l’analyse des correspondances, les lignes
les catégories (facteurs) d’une
représentent
première variable et les colonnes, les catégories
d’une deuxième variable.
Analyse de données multivariées - Ahmed Dhouibi
1
Dans une table on lit χ valeur ayant une probabilité α,k 2 α
d’être dépassée pour une distribution du khi-deux avec k =
(p-1)(q-1).
On définit la distance du Khi-deux entre la ligne i et la ligne i' par :
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d22(Li,Li')(flijfli'j)2f•jjDécomposition du Khi-deux
Les rapport suivants seront appelés taux de liaison:
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3
Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
Y6
Y7
Y8
Y9
X1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
-0,073
0,058
-0,303
0,350
-0,178
0,139
0,100
0,384
0,022
-0,059
0,136
0,202
0,008
-0,353
-0,197
0,113
0,102
-0,028
0,107
-0,058
-0,090
0,084
-0,092
0,076
0,181
0,110
-0,026
-0,092
0,115
0,538
-0,220
-0,074
-0,167
-0,087
-0,195
-0,062
-0,110
-0,343
-0,341
0,176
0,822
0,303
-0,113
0,164
0,122
-0,034
-0,085
-0,089
-0,063
0,418
0,058
0,067
-0,057
0,030
-0,051
-0,092
-0,190
0,228
-0,065
0,163
0,074
0,117
0,054
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4
Signification pratique du taux de liaison :
Le score de x1 à y8 est 38.4% plus élevé que le score théorique que
l'on observerait si les variables étaient indépendantes. Au contraire,
celui de x7 à y3 est 19% moins élevé que le score théorique.
Le coefficient
représente le "poids théorique" de chaque cellule.
La moyenne de la série des taux de liaison pondérée par les coefficients
est nulle. La variance de cette série (avec les mêmes pondérations) est
le coefficient:
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5
Ce qui donne
La méthode d'analyse factorielle des correspondances peut être
vue comme une décomposition pertinente du
selon plusieurs
axes factoriels.
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6
Valeurs propres
La pratique de l’AFC conduit à un nombre de valeurs propres égal au:
min (p,q)
C'est-à-dire le nombre minimum entre le nombre de lignes et de
colonnes du tableau initial.
Cependant, le calcul donne une première valeur propre qui est égale à 1
(donc elle sera éliminée par les logiciels). Les autres valeurs propres
appartienne à l’intervalle [0, 1[ et dont la somme est égale à la valeur
du
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Dimension
Valeur
singulière
Inertie
Khi-deux
Sig.
Proportion d'inertie
Valeur singulière de confiance
Expliqué
Cumulé
Ecart-type
Corrélation
Récapitulatif
1
2
3
4
5
6
7
,123
,068
,058
,019
,012
,009
,005
,015
,005
,003
,000
,000
,000
,000
,636
,196
,143
,015
,006
,003
,001
Total
a. 56 degrés de liberté
,024 146308,408 ,000a
1,000
,636
,832
,975
,989
,996
,999
1,000
1,000
2
,080
,000
,000
Tableau des valeurs propres
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8
La première valeur propre est de 0.123, la deuxième est de 0.068, …, la
dernière valeur propre (8ème) est de 0.005.
L’inertie totale s’élève à 0.024 qui sera éparpillée entre les différents
axes.
Le seuil de signification est de p value = 0.
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Le choix du nombre d'axes factoriels à conserver se fait comme dans
le cas de l'ACP.
Ici, on observe une brusque décroissance des valeurs propres entre la
3ème et la 4ème valeur propre.
On retient donc les 3 premiers axes factoriels.
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Caractéristiques des points ligne
Les caractéristiques des points lignes se présentent dans le tableau
récapitulatif suivant
Caractéristiques des points lignesa
Masse
Score dans la dimension
Inertie
Contribution
1
2
De point à inertie de dimension
De dimension à inertie de point
1
2
1
2
Total
X
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x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
,183
,119
,136
,112
,135
,103
,112
,100
-,299
,234
-,274
,052
-,452
,707
,201
,243
,010
-,452
-,152
-,150
,315
,365
,256
-,196
Total actif
1,000
a. Normalisation principale symétrique
,004
,003
,002
,001
,005
,007
,001
,001
,024
,134
,053
,083
,002
,224
,418
,037
,048
1,000
,000
,355
,046
,037
,197
,201
,107
,057
1,000
,512
,299
,652
,063
,667
,869
,480
,653
,000
,619
,111
,290
,180
,129
,429
,236
,513
,919
,763
,353
,847
,998
,910
,888
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11
La colonne "Masse" renvoie aux poids des modalités c'est-à-dire les
fréquences marginales des lignes c'est-à-dire le profil colonne moyen.
Contrairement à l'ACP normée, dans laquelle chaque individu était
ici un "poids"
affecté du même poids,
dépendant de l'effectif total d'électeurs inscrits dans le département.
les départements ont
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12
.
d'une
combinaison
individu-ligne
La colonne "Inertie " est interprétée comme suit :
individu-colonne
- L'inertie
correspondant à une cellule du tableau de contingence est le carré du
taux de liaison,
- multiplié par la pondération (fréquence-ligne x fréquence colonne)
correspondante.
- L'inertie absolue d'un individu-ligne est la somme des inerties des
cellules de la ligne
- L'inertie relative d'un individu ligne est obtenue en divisant l'inertie
absolue de l'individu par la somme de toutes les inerties, c'est-à-dire
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par la somme de toutes les inerties, c'est-à-dire par
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13
le tableau nous donne
Pour chacun des trois axes factoriels,
également les coordonnées ou scores factoriels de l'individu-ligne
selon cet axe. Ces coordonnées ont les propriétés suivantes :
- Selon chaque axe, la moyenne des coordonnées des individus-lignes
pondérées par les masses, est nulle.
- Selon chaque axe, la moyenne des carrés des coordonnées des
individus-lignes pondérées par les masses, est égale à la valeur propre
correspondante.
- Les coordonnées selon deux axes différents, pondérées par les
masses, forment deux séries statistiques indépendantes (covariance
nulle)
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Le tableau donne également la contribution de chaque individu à la
formation de l'axe, ou inertie selon cet axe. Cette valeur est définie
par :
Ces valeurs sont des contributions relatives (la somme de la colonne
vaut 1). On peut donc utiliser des colonnes pour rechercher quels
sont les individus-lignes qui ont eu une influence supérieure à la
moyenne dans la formation de l'axe factoriel considéré.
Enfin, ce tableau nous donne les cosinus-carrés ou qualités de
représentation des individus-lignes par chaque axe factoriel.
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Caractéristique des points colonnes
Les résultats relatifs aux profils-colonnes s'interprètent donc de la
même façon que les résultats relatifs aux individus-lignes.
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Caractéristiques des points colonnesa
Y
Masse
Score dans la
dimension
2
1
Inertie
Contribution
De point à inertie de
dimension
De dimension à inertie de point
1
2
1
2
Total
y1
y2
y3
y4
y5
y6
y7
y8
y9
,190
,148
,096
,073
,043
,024
,015
,007
,404
-,120
-,372
-,681
,464
,736
,472
,095
,432
,154
-,063
-,196
,366
-,439
,865
-,032
-,273
-,459
,022
Total actif
a. Normalisation principale symétrique
1,000
,002
,003
,007
,003
,005
,001
,000
,000
,001
,024
,022
,166
,362
,128
,189
,043
,001
,011
,078
,011
,083
,188
,206
Publicité
,470
,000
,016
,022
,003
,139
,814
,777
,554
,560
,936
,060
,419
,925
1,000
1,000
,021
,126
,124
,275
,430
,002
,280
,263
,011
,160
,939
,901
,828
,990
,939
,340
,682
,936
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Cartes factorielles
Contrairement à l'ACP, les graphiques factoriels pourront
être construits en faisant figurer sur un même graphique les
profils lignes et les profils colonnes.
On peut réaliser et essayer d'interpréter des graphiques :
- en dimension 1 : on place les individus le long d'un axe
factoriel,
- en dimension 2 : on place les individus dans un plan défini
à partir de deux axes factoriels,
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Les distances entre deux individus-lignes, ou entre un individu-ligne et
l'origine des axes, peuvent être facilement interprétées.
En effet :
la distance euclidienne entre deux points-lignes, représentés par leurs
coordonnées factorielles est égale à la distance du entre les profils-
lignes initiaux.
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La proximité entre un point-ligne L et un point-colonne C ne possède
pas d'interprétation géométrique immédiate.
En revanche, l'angle de sommet O dont les côtés passent par L et C
a la propriété suivante :
- si l'angle (OL, OC) est aigu, la modalité-ligne L et la modalité
colonne C s'attirent (taux de liaison positif)
- si l'angle (OL, OC) est aigu, la modalité-ligne L et la modalité
colonne C se repoussent (taux de liaison négatif)
- si l'angle (OL, OC) est droit, la modalité-ligne L et la modalité
colonne C n'interagissent pas (taux de liaison voisin de 0).
Analyse de données multivariées - Ahmed Dhouibi
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Interprétation des résultats
Au niveau global, on pourra noter que les inerties relatives les
plus fortes sont observées sur x6, x5, x1,x2., pour la variable X.
et sur y3, y5, y2 et y4 pour la variable Y.
Ce sont donc essentiellement ces modalités lignes et modalités
colonnes qui vont apparaître dans l'étude qui suit. En revanche,
des modalités telles que x7, x8 et y7, y8, n'apparaîtront pas.
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26
L'interprétation pourra être faite axe par axe, en étudiant d'abord
séparément lignes et colonnes.
Pour chaque axe, on pourra dresser un tableau des individus qui ont
apporté une contribution supérieure à la moyenne à la formation de
cet axe.
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Le premier axe oppose x1 et x5 à x6. Si on considère le
positionnement des autres modalités, cet axe oppose x1 et x4 et x6.
Pour les modalités colonnes, cet axe oppose les deux modalités y3 et
y2 proches des deux modalités y5 et y4.
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30
Cet axe oppose les modalités y4 et y8 aux modalités y5 et y3.
De même les modalités x2 s’oppose à x6 et x5.
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