Processus Stochastique
1/45
100%
Rendu du PDF...
Processus Stochastique
Statistiques, Mathématiques, Processus stochastiques · course
Voir tous les documents en mathématiques
Fiche de révisionFiche de cours
Rédigée à partir de ce document, puis vérifiée avant publication.
Le processus stochastique est un concept fondamental en statistiques qui décrit une variable dont le comportement ne peut pas être entièrement exprimé par une relation déterministe. Ce type de processus est essentiel pour l'analyse des séries temporelles, qui sont des séries stochastiques. Dans cet article, nous explorerons la définition des processus stochastiques, des exemples pratiques, ainsi que des concepts clés tels que la stationnarité, l'autocovariance et le bruit blanc.
Un processus stochastique est défini comme une suite de variables aléatoires indexées dans le temps, qui est définie sur un espace des états de la nature. Pour chaque instant de temps, la valeur de la quantité étudiée, notée Yt, est appelée variable aléatoire. L'ensemble des valeurs Yt lorsque t varie constitue le processus aléatoire. Par exemple, si t prend les valeurs 1, 2, 3, ..., T, alors Yt représente les observations à ces moments précis.
L'indice t, appartenant à un ensemble T, peut être interprété comme la date à laquelle l'observation est faite ou comme la période sur laquelle elle porte. En prolongeant cet ensemble d'indices vers +∞, on peut prendre en compte la possibilité d'observations nouvelles et étudier les propriétés asymptotiques des diverses procédures statistiques.
Une observation d'une série temporelle sur une période de 10 ans, par exemple, représente une réalisation de ce processus. Ainsi, une réalisation de la série décrit une histoire du processus, similaire à une variable aléatoire X observée dans des échantillons, où x1 est une réalisation dans le premier échantillon, x2 dans le deuxième, etc.
Pour illustrer un processus stochastique, considérons la création d'un bruit blanc iid N(0;1) pour n=200. Cela signifie que nous générons une réalisation du processus stochastique de 200 valeurs suivant une distribution normale de moyenne 0 et d'écart-type 1. Voici comment cela peut être réalisé sous R :
z <- rnorm(200, mean=0, sd=1)
as.ts(z)
plot.ts(z)Pour travailler avec des données temporelles, il est crucial que celles-ci conservent une distribution constante dans le temps, ce qui est le concept de stationnarité. Une série chronologique est dite stationnaire lorsque la distribution des variables ne varie pas au fil du temps. Les processus stationnaires sont caractérisés par le fait que leurs propriétés ne changent pas au cours du temps.
Un processus aléatoire est strictement stationnaire si toutes ses caractéristiques, c'est-à-dire tous ses moments, sont invariants pour tout changement de l'origine du temps. Cependant, la stationnarité au sens strict est souvent trop restrictive. Par conséquent, on utilise généralement un concept moins fort, la stationnarité du second ordre.
Un processus Yt est dit stationnaire au sens strict si la loi de {Yt1,...,Ytn} est la même que la loi de {Yt1+τ,...,Ytn+τ} pour tout (t1,t2,...,tn) et pour tout τ. En revanche, un processus est dit stationnaire du second ordre si sa moyenne, sa variance et sa covariance sont indépendantes du temps, et si sa variance est finie.
Sur un échantillon de 200 points, on peut représenter quelques réalisations de processus stationnaires et non stationnaires. Par exemple, une série décroissante sur les 150 premiers points viole la condition de stationnarité du moment d'ordre un, car l'espérance semble décroissante avec t. En revanche, une série dont la variance semble identique sur l'ensemble de l'échantillon peut être considérée comme stationnaire.
Un processus stochastique est également caractérisé par des mesures d'autocovariance et d'autocorrélation. La fonction d'autocovariance, notée {γ(h)}, mesure la covariance entre une variable et elle-même à des dates différentes, pour un délai h. Cela fournit des informations sur la variabilité de la série et sur les relations temporelles entre les différentes composantes de la série Yt.
Voici un exemple sous R pour calculer l'autocovariance :
Z <- rnorm(n=100)
Z <- ts(z)
plot.ts(z)
mean(z)
sd(z)
acf(z, type = c("covariance"))La fonction d'autocorrélation est définie par le coefficient d'autocorrélation d'ordre 1, noté ρ(1), qui est le coefficient de corrélation linéaire calculé entre la série et cette série décalée d'une période. Voici comment cela peut être calculé sous R :
corlz <- acf(z, type=c("correlation"))La fonction d'autocorrélation partielle mesure la liaison linéaire entre Yt et Yt−h, une fois retirés les liens transitant par les variables intermédiaires. Le coefficient d'autocorrélation partielle d'ordre h, noté r(h), est calculé de manière similaire :
pacf(z)Un processus stochastique est une suite de variables aléatoires indexées dans le temps, qui ne peut pas être entièrement décrite par une relation déterministe. Il est utilisé pour modéliser des phénomènes aléatoires dans le temps.
La stationnarité stricte exige que toutes les caractéristiques d'un processus soient invariantes dans le temps, tandis que la stationnarité du second ordre se concentre sur l'indépendance de la moyenne, de la variance et de la covariance par rapport au temps.
Pour calculer l'autocovariance, on utilise la fonction d'autocovariance dans R, qui mesure la covariance entre une variable et elle-même à différents délais. Cela aide à comprendre les relations temporelles dans les données.
Le bruit blanc est un processus stochastique constitué d'une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées. Il est souvent utilisé comme élément de base dans l'analyse des séries temporelles.
L'autocorrélation mesure la corrélation entre une série et ses valeurs décalées dans le temps. Un coefficient élevé indique une forte relation temporelle, tandis qu'un coefficient proche de zéro suggère une absence de relation.