Statistical Principles and Methods

de con(cid:28)ance

(cid:20)

x(cid:48)

n − z1− α

2

sn−1√

n(cid:48)

; x(cid:48)

n + z1− α

2

sn−1√

n(cid:48)

(cid:21)

s’ØlŁve (cid:224) 0.1. Ce qui implique que:

2z1− α

2

(cid:19)2

sn−1

= 0.1

sn−1√

n(cid:48)

(cid:18) 2z1− α

2

0.1

(cid:18) 2 × 1.96 × 1.2

0.1

(cid:19)2

n(cid:48) =

A.N.: n(cid:48) =

n(cid:48) ≈ 2213

Il faut au moins 2213 mesures pour estimer la teneur moyenne en polluant avec une prØcision de

0.1mg/l au niveau de con(cid:28)ance 95%.

2 A-t-il exagØrØ ou non? Dans le journal Le Monde du dimanche 15 et 16 fØvrier 2004 paraissaient les

rØsulats de sondages rØalisØs aux Etats-Unis pendant la compagne Ølectorale. Sur un Øchantillon de 1003

personnes, 54% considØraient que l’administration Bush avait intentionnellement exagØrØ les preuves sur

les armes de destruction massive avant l’invasion de l’Irak (Opinion A).

1. Chercher un intervalle de con(cid:28)ance (cid:224) 95% de cette proportion. Que pouvez-vous conclure?

Dans ce mŒme sondage, 52% des personnes interrrogØes dØsapprouvent la politique irakienne de Bush

(Opinion B).

2. Pouvons-nous a(cid:30)rmer avec 1 chance sur 100 de nous tromper qu’une majoritØ d’amØricains ne soient

pas solidaire de leur prØsident dans la maniŁre avec laquelle il a dØvastØ et mis dans le chaos, tout

un pays? Sinon, qu’est-ce qu’il aurait fallu faire concrŁtement pour pouvoir l’a(cid:30)rmer? Justi(cid:28)er votre

rØponse.

Solution: n = 1003 >> 30, on peut donc appliquer le TCL. fn = f1003 = 0.54.

(cid:18)

Fn −→ N

p;

(cid:19)

p(1 − p)

n

Fn − p

(cid:113) p(1−p)

n

−→ N (0; 1)

1. 1 − α = 95% ⇔1 - α 2=97.5% alors, z1− α

2

rØduite).

= z0.975 = 1.96 (d’aprŁs la table de la loi normale centrØe



P

−z1− α

2

<

Fn − p

(cid:113) p(1−p)

n

2



≤ z1− α

2

 = 1 − α

Alors, l’intervalle de con(cid:28)ance est donnØ par:

(cid:34)

IC1−α(p) =

Fn − z1− α

2

(cid:114)

p(1 − p)

n

; Fn + z1− α

2

(cid:114)

(cid:35)

p(1 − p)

n

Nous admettons que l’estimation de

A.N.:

p(1 − p)

n

est

fn(1 − fn)

n

.

(cid:34)

IC0.95(p) =

0.54 − 1.96

(cid:114) 0.54 × 0.46

1003

; 0.54 + 1.96

(cid:35)

(cid:114) 0.54 × 0.46

1003

= [0.5091; 0.5708]

On peut a(cid:30)rmer avec 95 chances sur 100 que l’intervalle [0.5091; 0.5708] contienne la proportion p.

Un majoritØ d’amØricains p ≥ 52% pense que Bush a exagØrØ intentionnellement les preuves sur les

armes de destruction massive en IRAK.

2. n = 1003 >> 30, on peut donc appliquer le TCL. fn = f1003 = 0.52.

(cid:22) 1 − α = 99% ⇔1 - α 2=99.5% alors, z1− α

2

centrØe rØduite). A.N.:

= z0.995 = 2.5758 (d’aprŁs la table de la loi normale

(cid:34)

IC0.95(p) =

0.52 − 2.5758

(cid:114) 0.54 × 0.46

1003

; 0.52 + 2.5758

(cid:35)

(cid:114) 0.54 × 0.46

1003

= [0.47946; 0.56054]

Non, parce que la borne infØrieure est strictement infØrieure (cid:224) 50%.

(cid:22) La borne infØrieure est > 50%, cel signi(cid:28)e que:

0.52 − 2.5758

⇔ n >

(cid:114) 0.54 × 0.46

n

> 0.5

(cid:18) 2.5758

0.52 × 0.48

(cid:19)2

√

0.52 − 0.5

n > 4149.0802

n > 4141 personnes interrogØes

C’est-(cid:224)-dire qu’on doit augmenter la taille de l’Øchantillon n.

3 Les notes seront-elles bonnes cette annØe ? Les corrections de copies d’examen sont toujours un

moment de vØritØ pour l’enseignant. Celui-ci est en gØnØral inquiet (cid:224) l’idØe que les rØsultats puissent Œtre

catastrophiques, traduisant ainsi des problŁmes de comprØhension du cours. Un moyen de se rassurer (ou

au contraire d’augmenter le stress) consiste (cid:224) calculer la moyenne des notes obtenues par les n premiŁres

copies corrigØes. On fera l’hypothŁse de normalitØ de la loi des notes obtenues.

1. Sur les 20 premiŁres copies d’un examen, un enseignant obtient une moyenne de 10,32 avec un Øcart-

type estimØ (cid:224) 2,4. L’intervalle de con(cid:28)ance (cid:224) 95% pour cette moyenne, permet-il d’a(cid:30)rmer avec un

risque d’erreur Øgale (cid:224) 5% que la moyenne serait au moins Øgale (cid:224) 10 ? InterprØtez.

2. AprŁs avoir dØterminØ un intervalle de con(cid:28)ance de niveau 90% pour cette moyenne, dites si la

probabilitØ que la moyenne (cid:28)nale soit infØrieure (cid:224) 10 a changØ ou non ? Si oui, Comment et pourquoi

? Concluez.

3. Donnez un intervalle de con(cid:28)ance (cid:224) 99% pour la moyenne et comparez-le avec ceux (cid:224) 90% et 95%.

Que remarquez-vous ?

4. La rØponse (cid:224) la question 1 est-elle modi(cid:28)Øe aprŁs la correction de 101 copies si la moyenne et l’Øcart

type observØ n’ont pas changØ ? Explicitez votre raisonnement.

5. Est-elle vØri(cid:28)Øe pour un intervalle de con(cid:28)ance unilatØral (cid:224) droite (cid:224) un niveau 95%?

6. L’intervalle de con(cid:28)ance unilatØral (cid:224) gauche (au niveau 95%) dans cette situation est-il aussi intØr-

ressant que celui (cid:224) droite? justi(cid:28)er votre rØponse.

Solution:

3

1. n = 20, (cid:98)xn = 10.32, Sn−1 = 2.4, S2

n−1 =

1

n − 1

i=1

n

(cid:88)

(cid:0)Xi − X n

(cid:1)2

. On est ici dans le cadre de l’estima-

tion de la moyenne µ par un intervalle de con(cid:28)ance avec un Øcart-type inconnu et un Øchantillon de

petite taille (n= 20 < 30).

Pour pouvoir rØpondre (cid:224) cette question, il faut faire l’hypothŁse de normalitØ de la loi de X. Et par

consiquent, on suppose que Xi ∼ N (cid:0)µ; σ2(cid:1) ; i = 1, ..., 20.

(cid:22) On sait que: T =

X n − µ

Sn−1√

20

∼ T (n − 1) avec n − 1 = 20 − 1 = 19.

1 − α = 95% avec α = 5%

2

2

2

(cid:3)

< T ≤ t1− α

= P (cid:2)t α

= P (cid:2)T ≤ t1− α

= P (cid:2)T ≤ t1− α

= 2P (cid:2)T ≤ t1− α

(cid:3) 1 −

(cid:3)

(cid:3) − P (cid:2)T ≤ t α

(cid:3) − (cid:0)1 − P (cid:2)T ≤ t1− α

(cid:3) − 1

α

2

= 0.975

2

2

2

2

2

⇔P (cid:2)T ≤ t1− α

(cid:3)(cid:1) ( N.B.: t α

2

= −t1− α

2

)

D’aprŁs la table de Student avec n = 19, t0.975 = 2.093.

(cid:22) Construction de l’intervalle de con(cid:28)ance:

(cid:34)

P

t α

2

<

X n − µ

Sn−1√

n

(cid:35)

≤ t1− α

2

= 1 − α ⇔ P

(cid:20)

X n − t α

2

Sn−1√

n

< µ ≤ X n + t1− α

2

(cid:21)

Sn−1√

n

= 1 − α

Alors, l’intervalle de con(cid:28)ance (cid:224) un niveau de 95% est:

IC(µ)1α = IC(µ)95% =

(cid:20)

X n − t α

2

Sn−1√

n

; X n + t1− α

2

(cid:21)

Sn−1√

n

(cid:22) A.N.: xn = 10.32,

(cid:112)s2/19 = 2.4, n =20, et t1− α

(cid:20)

2

IC0.95 =

10.32 − 2.093

= [9.20; 11.44]

= 2.093.

2.4

√

20

; 10.32 + 2.093

(cid:21)

2.4

√

20

(cid:22) InterprØtation:

(cid:22) Il y a 95% de chance que les notes soient comprises entre 9.20 et 11.44. Le moins que l’on

puisse dire, c’est qu’on ne peut pas a(cid:30)rmer avec 5 chances de se tromper que la moyenne

serait au moins Øgale (cid:224) 10!

(cid:22) La probabilitØ ou le risque que les notes soient infØrieures (cid:224) 10 est importante puisque la

borne infØrieure est Øgale (cid:224) 9.20 se trouve loin de 10.00. Et par consØquent, le rØsultat n’est

pas rassurant aprŁs la correction de ces 20 premiŁres copies.

2. MŒme dØmarche que la question prØcØdente avec 1 − α = 90%, alors 1 −

de Student, t1− α

2

(n − 1) = t0.95(19) = 1.729.

= 95%. D’aprŁs la table

(cid:20)

IC0.90(µ) =

10.32 − 1.729

2.4

√

20

; 10.32 + 1.729

(cid:21)

2.4

√

20

= [09.39; 11.25]

InterprØtation: La probabilitØ que la note (cid:28)nale soit < 10 a baissØ puisque IC0.90(µ) ⊂ IC0.95(µ)

et 09.39 > 09.20. Donc, la borne infØrieure de IC0.90(µ) (9.39) est dØsormais plus proche de 10.00

que celle de IC0.95(µ) (9.20).

3. MŒme dØmarche que la question prØcØdente avec 1 − α = 99%, alors 1 −

de Student, t1− α

2

(n − 1) = t0.995(19) = 2.861.

= 995%. D’aprŁs la table

(cid:20)

IC0.90(µ) =

10.32 − 2.861

2.4

√

20

; 10.32 + 2.861

(cid:21)

2.4

√

20

InterprØtation:

= [08.78; 11.85]

4

α

2

α

2

(cid:22) IC0.99(µ) ⊂ IC0.95(µ)IC0.90(µ)

(cid:22) Lorsque le seuil de con(cid:28)ance diminue ( seuil de risque : α (cid:37)), l’amplitude de l’intervalle (cid:38), et

donc la prØcision de l’estimation (cid:37).

(cid:22) Conclusion: Plus la prØcision est bonne (amplitude (cid:38)), moins le rØsultat est (cid:28)able (risque (cid:37)).

4. n = 101; x101 = 10.32,

(cid:113)

s2

100 = 2.4.

n est assez grande, alors on peut approximer la loi de Student par une normale.

(cid:22)



P

z α

2

<

X 101 − µ

(cid:113) S2

100

100



≤ z1− α

2

 = 1 − α

⇔ P (cid:2)Z < z1− α

2

(cid:3) = 1 −

α

2

= 0.975

D’aprŁs la table de la loi normale centrØe rØduite, z1− α

2

= 1.96, alors que t1− α

2

(100) = 1.984.

(cid:22) Il s’en suit, alors, que l’intervalle de con(cid:28)ance soit donnØ par:

(cid:20)

IC0.95 =

10.32 − 1.96

√

2.4

101

; 10.32 + 1.96

(cid:21)

√

2.4

101

= [09.85; 10.79]

N.B.: avec la loi de Student; St(100), on aurait trouvØ approximativement le mŒme rØsultat:

IC0.95 = [09.85; 10.79]

(cid:22) InterprØtation: On ne peut, malheureeusement, toujours a(cid:30)rmer avec 5 chances sur 100 de nous

tromper que la moyenne serait Øgale (cid:224) 10.00. Cependant, on peut dire que la probabilitØ que

la moyenne (cid:28)nale soit < 10, a considØrablement baissØ, puisque la borne infØrieure 09.85 se

rapproche de plus en plus vers 10!!.

5. IC0.95(µ) unilatØral (cid:224) droite:

D’aprŁs la table de la loi normale:t0 = −∞ et t0.95 = 1.6449.

(cid:20)

X n − z1− α

2

P

Sn−1√

n

< µ ≤ X n + z α

2

(cid:20)

X n − 1.6449

P

Sn−1√

n

< µ ≤ X n + (+∞)

(cid:21)

(cid:21)

Sn−1√

n

Sn−1√

n

= 1 − α

= 1 − α

(cid:20)

IC95% =

10.32 − 1.6449

(cid:21)

; +∞

√

2.4

101

= [9.93; 20]

A.N.:

InterprØtation:

(cid:22) S’agissant d’une moyenne (note de l’Øtudiant), la borne supØrieure ne peut thØoriquement pas

dØpasser 20.00: la borne supØrieure est certaine et n’apporte par consØquent aucun enseignement

sur la moyenne. Seule la borne infØrieure (09.93) est intØressante, d’oø le qualitatif "unilatØral"

utilisØ pour caractØriser de tels intervalles de con(cid:28)ance.

(cid:22) On se rapproche d’une maniŁre consØdirable de 10.00 sans pour autant l’atteindre. Donc, on ne

peut pas toujours a(cid:30)rmer que la moyenne serait au moins Øgale (cid:224) 10.00 avec 95 chances sur 100.

(cid:22) Par contre, on a(cid:30)rmer qu’il y a une probabilitØ de 95% que les notes ne soient pas infØrieures (cid:224)

9.93.

(cid:22) Il y a une probabilitØ positive que les notes soient infØrieures (cid:224) 10.

6. IC0.95(µ) unilatØral (cid:224) gauche: D’aprŁs la table de la loi normale: t0 = +∞ et t0.05 = −1.6449.

5

(cid:20)

X n − z1− α

2

P

Sn−1√

n

< µ ≤ X n + z α

2

(cid:20)

X n − (+∞)

P

Sn−1√

n

< µ ≤ X n + 1.6449

(cid:21)

(cid:21)

Sn−1√

n

Sn−1√

n

= 1 − α

= 1 − α

(cid:20)

IC95% =

−∞; 10.32 + 1.6449

(cid:21)

√

2.4

101

= [0; 10.71]

A.N.:

InterprØtation:

(cid:22) La borne infØrieure est limitØe (cid:224) 0 car la moyenne de l’Øtudiant ne peut pas descendre en dessous

de 0!!

(cid:22) Dans notre situation, ce dernier intervalle n’est pas aussi intØressant que le premier, pour la

simple raison qu’il s’agit en gØnØral de trouver un seuil minimum pour la moyenne: IC unilatØral

droite ( qui doit Œtre supØrieure (cid:224) un seuil minimum (en l’occurence et de prØfØrence 10)) et

de comparer (cid:224) 10.00 pour Øtudier les probabilitØs d’avoir au moins 10.00 et plus, et non pas le

contraire.

(cid:22) Il y a une probabilitØ de 95% que les notes soient infØrieures (cid:224) 10.71.

4 Soient X et Y deux variables alØatoires normales indØpendantes, de variances inconnues σ2

Y . On pose

E (X) = µX et E (Y ) = µY . On dispose de deux Øchantillons indØpendants de mŒme taille n1 = n2 = 10

tirØs dans les lois de X et de Y respectivement. X = 4.8, Y = 5.6, S2

On suppose que les deux variances σ2

X = 9.6 et S2

Y = 8.75.

X et σ2

Y sont Øgales.

X et σ2

1. DØterminer un intervalle de con(cid:28)ance de niveau 95% pour µX .

2. DØterminer un intervalle de con(cid:28)ance de niveau 95% pour µX − µY .

On suppose que les deux variances sont inconnues et inØgales et que n1 = n2 = 40 , X = 5,

Y = 5.5

3. DØterminer un intervalle de con(cid:28)ance de niveau 95% pour µY .

4. DØterminer un intervalle de con(cid:28)ance de niveau 95% pour µX − µY .

Solution:

X ∼ N (cid:0)µX , σ2

X ∼ N (cid:0)µY , σ2

Y

X et Y sont indØpendantes

(cid:1) ,

(cid:1) ,

X

X = 4.8, S2

Y = 5.6, S2

X = 9.6, n1 = n2 = 10

Y = 8.75

On suppose que les deux variances σ2

X et σ2

Y sont Øgales.

1. Un intervalle de con(cid:28)ance de niveau 95% pour µX

X − µX

√

S/

n1

(cid:20)

P

≤

−t α

2

(cid:20)

=⇒ P

X − t α

2

∼ t (n1 − 1) tel que: n1 − 1 = 9

X − µX

√

n1

S/

S

√

n1

(cid:21)

≤ t α

2

= 1 − α = 95%, D’aprŁs la table de Student, t α

2

= 2.262

≤ µX ≤ X + t α

2

(cid:21)

S

√

n1

= 0.95

2. Un intervalle de con(cid:28)ance de niveau 95% pour µX − µY

∼ t (n1 + n2 − 2) tel que: n1 + n2 − 2 = 18

(cid:17)

A.N.: I0.95 = [2.58; 7.016]

(cid:0)X − Y (cid:1) − (µX − µY )

X +(n2−1)S2

Y

(n1−1)S2

(cid:114)

(cid:16) 1

n1

+ 1

n2

n1+n2−2

(cid:115)

Soit, (cid:98)σ =

(cid:34)

P

−t α

2

≤

0.95

(n1 − 1) S2

X + (n2 − 1) S2

Y

n1 + n2 − 2

(cid:19)

(cid:18) 1

n1

+

1

n2

(cid:0)X − Y (cid:1) − (µX − µY )

(cid:98)σ

(cid:35)

≤ t α

2

= 1−α = 95% ⇐⇒ P (cid:2)(cid:0)X − Y (cid:1) − t α

2 (cid:98)σ ≤ µX − µY ≤ (cid:0)X − Y (cid:1) + t α

2 (cid:98)σ(cid:3) =

6

(cid:34)

A.N.: P

(4.8 − 5.6) − 2.101

(cid:114) 9 × 18.35

18

≤ µX − µY ≤ (4.8 − 5.6) + 2.101

(cid:35)

(cid:114) 9 × 18.35

18

= 0.95

⇐⇒ P [−3.64 ≤ µX − µY ≤ 2.04] = 0.95

Donc, I0.95 = [−3.64; 2.04]

On suppose que les 2 Variances sont inconnues et inØgales

n1 = n2 = n = 40, X = 5 et Y = 5.5

3. Un intervalle de con(cid:28)ance de niveau 95% pour µY

∼ N (0, 1) car: n2 = 40 > 30

X − µY

√

n

SY /

(cid:20)

P

≤

−z α

2

(cid:20)

=⇒ P

Y − z α

2

X − µY

√

n

SY /

SY√

n

(cid:21)

≤ z α

2

= 95%, D’aprŁs la table de la loi Normale, z α

2

= 1.96

≤ µY ≤ Y + z α

2

(cid:21)

SY√

n

= 0.95

A.N.: P [5.5 − 1.96 × 0.94 ≤ µY ≤ 5.5 + 1.96 × 0.94] = 0.95 ⇐⇒ I0.95 = [4.1; 7.34]

4. Un intervalle de con(cid:28)ance de niveau 95% pour µX − µY

(cid:0)X − Y (cid:1) − (µX − µY )

∼ N (0, 1) car: n1 = n2 = n = 40 > 30



≤ z α

2

 = 95% ⇐⇒ P



(cid:0)X − Y (cid:1) − z α



2

(cid:115)

S2

X

n1

+

S2

Y

n2

≤ µX − µY ≤ (cid:0)X − Y (cid:1) + z α

2

(cid:115)

S2

X

n1

+

S2

Y

n2



 =

−0.5 − 1.96

(cid:114) 9.6 + ×8.75

40

≤ µX − µY ≤ −0.5 + 1.96

(cid:35)

(cid:114) 9.6 + ×8.75

40

= 0.95

+ S2

Y

n2

(cid:0)X − Y (cid:1) − (µX − µY )

(cid:113) S2

X

n1

+ S2

Y

n2

(cid:113) S2

X

n1



P

−z α

2

≤

0.95

(cid:34)

A.N.: P

⇐⇒ P [−1.827 ≤ µX − µY ≤ 0.827] = 0.95

Donc, I0.95 = [−1.827; 0.827]

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