Chapitre 4: Décisions dans le risque

et dans l'incertain

A.U. 2016-2017

CHAPITRE 4

PRISE DE DÉCISION DANS LE RISQUE ET

DANS L’INCERTAIN

[email protected]

II3

Université de La Manouba – ENSI – 2016/2017

Problème décisionnel

(cid:1) Une situation dans laquelle le décideur va devoir :

(cid:1) choisir une action

(cid:1) selon plusieurs alternatives

II3-ENSI

Chapitre 4: Décisions dans le risque

et dans l'incertain

A.U. 2016-2017

Modélisation d’un problème décisionnel

(cid:1) S : l’ensemble des états du monde ou encore états de la nature. Il

permet de faire une liste de ce qui peut potentiellement arriver et

dont la réalisation est incertaine. Le véritable état de la nature est

inconnu, mais :

(cid:1) Il doit appartenir à S : cet ensemble est supposé exhaustif, et doit contenir

toutes les éventualités;

(cid:1) Un seul état de la nature peut être vrai à un instant donné, sa réalisation

exclut donc tous les autres.

(cid:1) X : l’ensemble des conséquences, qui sont les résultats possibles d’une

décision selon l’état de la nature.

(cid:1) A : l’ensemble des actes ou actions. Un acte est une fonction a : S →

(cid:1) ≥ : relation de préférence du décideur sur A. On suppose que c’est un

préordre.

(cid:1) a1 ≥ a2 signifie que a1 est préféré au sens large à (est au moins aussi

bon que) a2.

(cid:1) La partie asymétrique se note ≻ et la partie symétrique ∼.

Quelques exemples

(cid:1) La course de chevaux : S est l’ensemble des chevaux partants, X est

un ensemble de sommes d’argent, et un acte est un pari sur un cheval.

(cid:1) Quel temps fait-il ? : S est l’ensemble des états possibles de la météo

(beau temps, couvert, petite pluie, forte pluie, etc.), l’ensemble des

actes est ce que vous pouvez emporter avec vous (parapluie, imper,

parapluie + imper, rien), et l’ensemble des conséquences est : bien-

être, être mouillé, être trempé jusqu’aux os, être embarrassé par un

parapluie, suer dans son imper, etc.

(cid:1) Etat du trafic : le matin vous prenez votre voiture pour vous rendre

sur votre lieu de travail, mais vous ne savez pas à quelle heure vous

allez arriver, à cause de l’état incertain de la circulation. S =

{circulation fluide, quelques bouchons, gros bouchons, circulation

bloquée, etc. }, un acte est un itinéraire

II3-ENSI

Chapitre 4: Décisions dans le risque

et dans l'incertain

A.U. 2016-2017

Incertitude - selon Keynes

(cid:1) « Par l’expression de connaissance «incertaine», mon intention

n’est pas simplement de distinguer ce qui est su avec certitude

de ce qui est seulement probable. Le jeu de la roulette n’est

pas sujet à l’incertitude, en ce sens, ni la perspective de tirer un

bon numéro au loto. Ou encore, l’espérance de vie n’est

soumise qu’à une légère incertitude. Même le temps qu’il fait

n’est que modérément incertain.

(cid:1) Le sens dans lequel j’utilise ce terme est celui selon lequel la

perspective d’une guerre européenne était incertaine, ou

encore le prix du cuivre et le taux d’intérêt dans vingt ans, ou

la date d’obsolescence d’une invention nouvelle, ou la position

des détenteurs de fortunes privées dans le système social de

1970. En ces matières, il n’y a pas de fondement scientifique

sur lequel on puisse formuler, de façon autorisée, quelque

raisonnement probabiliste que ce soit. Nous ne savons pas,

tout simplement. »

Introduction des probabilités -

critère de l’espérance du gain

(cid:1) Le fait de ne peut pas être sûr de la réalisation des

états de la nature conduit naturellement à l’emploi

des probabilités.

(cid:1) On distingue traditionnellement deux cas :

(cid:1) On possède une information probabiliste objective sur

la réalisation des états de la nature (statistique,

combinatoire, etc.). On parle alors de décision dans le

risque.

(cid:1) On ne possède pas d’information probabiliste

objective. On parle alors de décision dans l’incertain.

II3-ENSI

Chapitre 4: Décisions dans le risque

et dans l'incertain

A.U. 2016-2017

Probabilités objectives

(cid:1) Les probabilités objectives d’un événement ne sont pas liées aux décideurs

(cid:1) des éléments de symétrie (pièce de monnaie, tirage aveugle dans une urne, …)

(cid:1) justifient la détermination de la probabilité d’un tirage comme le rapport :

Exemple : le tirage d’un 6 pour un dés à 6 faces parfaitement symétriques est

de 1/6)

(cid:1) Les théorèmes sur les probabilités permettent de déterminer les

probabilités d’événement plus complexes (analyse combinatoire):

Exemple : la probabilité de tirer deux 6 de suite est

de 1/6 x 1/6 = 1/36

(cid:1) Les méthodes d’échantillonnage, les sondages d’opinions, les tests

statistiques, sont des moyens puissants pour déterminer la probabilité

d’événements

Probabilité subjective?

(cid:1) La probabilité subjective traduit le degré

d’incertitude d’un évènement tel qu’il est ressenti

par le décideur (je suis sûr qu’il va pleuvoir demain)

II3-ENSI

Chapitre 4: Décisions dans le risque

et dans l'incertain

A.U. 2016-2017

Probabilités subjectives

(cid:1) Les probabilités subjectives d’un décideur relatives à un

événement expriment ses croyances vis-à-vis de

l’occurrences de cet événement

(cid:1) Ces croyances peuvent résulter :

(cid:1) soit d’un sentiment personnel qu’il exprime directement

(cid:1) soit d’une analyse: décomposition des enchaînements conduisant

à tel événement, estimation des probabilités conditionnelles, …

(cid:1) la valeur que l’on attribue à ces croyances dépend bien sûr

de la qualification du décideur dans ce domaine, de son

degré d’expertise (souvent un seul expert ne suffit pas)

(cid:1) Les difficultés liées au traitement des décisions dans

l’incertain poussent à l’utilisation de probabilités subjectives

Comment modéliser la décision dans

l’incertain?

(cid:1) Dans le cas de la décision dans l’incertain, il existe

deux solutions pour pallier l’absence d’information

probabiliste objective :

on utilise un critère de décision qui ne fait pas

intervenir les probabilités

on utilise une probabilité subjective, donnée par le

décideur de façon intuitive.

II3-ENSI

Chapitre 4: Décisions dans le risque

et dans l'incertain

A.U. 2016-2017

Décision dans le risque/dans l’incertain

Décision « dans le certain »

A : ensemble d’actions (décisions possibles)

X : ensemble de conséquences

c(a) ∈ X : conséquence de la mise à exécution de a ∈ A

Problème

c(a) n’est pas connu avec certitude

Décision dans le risque

c(a) est une distribution de probabilit´e sur X

c(a) est une distribution de probabilité sur X

Décision dans l’incertain

c(a) est connu par référence à un certain nombre de «scénarios»

Décision dans le risque

II3-ENSI

Chapitre 4: Décisions dans le risque

et dans l'incertain

A.U. 2016-2017

Décision dans le risque - Modélisation

Modélisation

X : ensemble de conséquences

X fini = {x1, x2,..., xn}

X ⊆ ℝ (sommes monétaires)

Loterie simple

Variable aléatoire (discrète) sur X

l = (x1, p1; x2, p2; . . . ;xn, pn)

pl(xi ) : probabilité de xi avec l

Loterie simple

II3-ENSI

Chapitre 4: Décisions dans le risque

et dans l'incertain

A.U. 2016-2017

Loterie simple

Loteries

(cid:1) Loterie simple

(cid:1) Loterie composée: loteries sur les loteries simples

(cid:1) L(X) : ensemble de toutes les loteries simples et

composées

II3-ENSI

Chapitre 4: Décisions dans le risque

et dans l'incertain

A.U. 2016-2017

Réduction d’une loterie composée

Exemple

II3-ENSI

Chapitre 4: Décisions dans le risque

et dans l'incertain

A.U. 2016-2017

Loteries

(cid:1) L(X) comprend toutes les loteries correspondant à la

mise à exécution des actions de A

Problème

Comment comparer les loteries de L(X)

(cid:1) Notations

(cid:1) l ∈ L(X)

(cid:1) x ∈ X

(cid:1) pl(x):probabilité d’obtenir la conséquence x avec la loterie l

Critère de décision

II3-ENSI

Chapitre 4: Décisions dans le risque

et dans l'incertain

A.U. 2016-2017

Exemple

Espérance Mathématique de Gain

risque de

ruine !

II3-ENSI

Chapitre 4: Décisions dans le risque

et dans l'incertain

A.U. 2016-2017

Exemple: Faut-il jouer?

(cid:1) Soit le jeu de pile ou face entre un joueur et une banque.

(cid:1) Le joueur parie une mise initiale. La banque encaisse la mise

du joueur.

(cid:1) On lance une pièce de monnaie: Si face apparaît, la banque

paie 1 euro au joueur, et on arrête le jeu. Sinon, on relance

la pièce. Si face apparaît, la banque paie 2 euros, et on

arrête le jeu. Sinon, on relance la pièce. Si face apparaît, la

banque paie 4 euros au joueur, et ainsi de suite. Donc, si face

apparaît pour la première fois au n-ième lancer, la banque

paie 2^(n-1) euros au joueur.

(cid:1) Quelle est la mise initiale du joueur pour que le jeu soit

équitable, c'est-à-dire pour que ni la banque ni le joueur ne

soient avantagés par ce jeu ?

Jeu

(cid:1) Il faut calculer le gain moyen espéré du joueur au cours d'une partie.

Pour que le jeu soit équitable la mise initiale du joueur doit être égale à

l'espérance du gain.

(cid:1) Si face intervient dès le premier lancer, on gagne 1 euro. La probabilité

pour que cela arrive est ½, ce qui donne une probabilité de gain pour

ce coup de 1/2× 1=1/2.

(cid:1) Si face intervient pour la première fois au 2e lancer, ce qui se produit

avec une probabilité de ½×½=1/4, le gain est de 2 euros, ce qui fait

une probabilité de gain de 1/2 euro pour ce coup.

(cid:1) Plus généralement, si face apparaît pour la première fois au n-ième

lancer, ce qui se produit avec une probabilité de ½n, le gain est de 2(n-

1) euros, d'où une probabilité de gain de 1/2 euro pour ce coup.

(cid:1) L'espérance s'obtient en sommant les probabilités de gain de tous les

cas possibles. On somme une infinité de termes qui valent tous 1/2 : la

somme est donc infinie.

II3-ENSI

Chapitre 4: Décisions dans le risque

et dans l'incertain

A.U. 2016-2017

E(d1) = 1 X 1 000 000

= 1 000 000

E (d2) = +∞

• D’ou d’après l’application de la

maximisation de l’EMG

d2 préférable à d1 !

(cid:1) Pour mettre en évidence l'aspect paradoxal de ce

problème, il faut considérer que, quelle que soit la mise

initiale, l'espérance mathématique de gain est

positive, et même infinie, pour le joueur.

(cid:1) Tout soi-disant sain d'esprit refusera de jouer à un tel

jeu

(cid:1) Ce comportement d'apparence irrationnelle est à

l'origine de la notion d'aversion au risque. Il a été

formalisé sous la forme de fonction d'utilité et a donné

naissance à la théorie de la décision

II3-ENSI

Chapitre 4: Décisions dans le risque

et dans l'incertain

A.U. 2016-2017

La paradoxe de Saint-Pétersbourg

(cid:1) Le paradoxe de Saint-Pétersbourg se résume à la question

« pourquoi, alors que mathématiquement l'espérance de gain

est infinie à un jeu, les joueurs refusent-ils de jouer tout leur

argent ? »

Il s'agit donc non d'un problème purement mathématique mais

d'un paradoxe du comportement des êtres humains face aux

événements d'une variable aléatoire dont la valeur est

probablement petite, mais dont l'espérance est infinie.

Dans cette situation, la théorie des probabilités dicte une

décision qu'aucun acteur raisonnable ne prendrait.

Autre exemple

(cid:1) Un mendiant possède un billet de loterie lui

permettant de gagner 20.000 Dt avec une

probabilité égale à 0,5.

(cid:1) Un riche marchand lui propose d’acheter ce billet

9.000 Dt

(cid:2) Le mendiant accepte, ce qui est contraire au

paradigme Pascalien !

II3-ENSI

Chapitre 4: Décisions dans le risque

et dans l'incertain

A.U. 2016-2017

Formalisation de ce problème

20 000

9 000

Prob{ej}

0,5

(

)

5,005,0

9000

5,0

20000

5,0

9000



10000



9000



⇒

Pourquoi le mendiant préfère vendre son billet de loterie ?

La réponse

“A cynic is a man who knows the price of everything and the value of nothing” -

Oscar Wild

Ce n’est pas le gain en lui même qui intéresse les

individus mais plutôt l’utilité que le gain procure.

II3-ENSI

Chapitre 4: Décisions dans le risque

et dans l'incertain

A.U. 2016-2017

Exemple- Malade mourant

Supposons un individu qui doit mourir d’ici 2 jours a moins d’être

opéré moyennant un cout de 100 000 €

• Cet individu, a une heure de décéder, on lui propose le choix

a) Une loterie A qui lui rapporte 50 000 € avec une probabilité p

de 0.5 et 75 000 € avec (1-p)=0.5

b) Une loterie B qui lui rapporte 100 000 € avec une probabilité p

de 0.01 et 0 € avec (1-p)=0.99

• Quel choix fera-t-il ?

S’il raisonne en espérance mathématique, il choisira la loterie A

car 0.5(50000)+0.5(75000) = 62500

> 0.01 (100000)+0.99(0) = 1000

• Or ce choix est stupide car seule la loterie B lui donne un espoir

de survie, tandis qu’avec la loterie A, c’est la mort assurée!

• On peut penser que la survie est préférable a n’importe quelle

issue monétaire inferieure a 100 000 euros et donc l’espérance

mathématique est clairement insuffisante dans ce cas de choix

II3-ENSI

Chapitre 4: Décisions dans le risque

et dans l'incertain

A.U. 2016-2017

Alors…?

Supposons que l’individu attache une certaine utilité aux issues

consécutives aux loteries A et B

• Si U(mort) = 0 et U(vie) = 1, alors l’espérance des loteries

avec ces utilités s’écrit :

• Loterie A : 0.5 X U(A si S1) + 0.5 X U(A si S2)

= 0.5 (0) + 0.5 (0) = 0

• Loterie B : 0.5 X U(B si S1) + 0.5 X U(B si S2)

= 0.01 (1) + 0.99 (0) = 0.01

Problème décisionnel

(cid:1) Peut être vu comme une situation dans laquelle le

décideur va devoir:

(cid:1) choisir une action

(cid:1) selon plusieurs alternatives

(cid:1) selon ses préférences.

(cid:1) Chaque action a des conséquences incertaines et

chaque conséquence a une utilité.

(cid:2) Le but c’est de maximiser la satisfaction du

décideur.

II3-ENSI

Chapitre 4: Décisions dans le risque

et dans l'incertain

A.U. 2016-2017

Critère de décision ?

(cid:1) Le critère de décision classique: Utilité esperée EU qui

compare deux décisions soit une meilleure que l’autre ou elle

sont équivalente.

(cid:1) Introduite par Bernoulli et developpé par Von Neumann and

Morgenstern dans le contexte de la probabilité objective

(cadre fréquentiste).

Fonction d’utilité

II3-ENSI

Chapitre 4: Décisions dans le risque

et dans l'incertain

A.U. 2016-2017

Utilité espérée

(cid:2) Le critère de décision dominant la prise de décision

sous le risque est celle de « l’utilité espérée - UE »

(Expected Utility - EU).

(cid:1) L'utilité espérée pourrait s’appeler « la théorie d’utilité

de probabilité pondérée »

(cid:1) Dans la théorie de l’utilité espérée :

(cid:1) à chaque alternative est assignée une moyenne pondérée

de ses valeurs d’utilité sous différents états de nature, et

(cid:1) les probabilités de ces états sont utilisées comme poids

Utilité espérée

II3-ENSI

Chapitre 4: Décisions dans le risque

et dans l'incertain

A.U. 2016-2017

Utilité espérée

Exemple: jeu de pile ou face avec 100

d’enjeu

II3-ENSI

Chapitre 4: Décisions dans le risque

et dans l'incertain

A.U. 2016-2017

Exemple de jeu de pile ou face

Les décisions choix Pile (d1) et choix Face(d2) sont indifférent

Exercice

(cid:1) Un commerçant doit commander en début de saison un lot de

vêtements auprès d’un fabricant:

(cid:1) il choisi entre trois types de décisions de commande (Faible, Moyenne,

Elevée) et

(cid:1) il considère trois états de la demande (Basse, Moyenne, Forte),

(cid:1) Ce qui le conduit en s’appuyant sur son expérience des années

passées, à la matrice de décision (matrice des gains) suivante:

II3-ENSI

Chapitre 4: Décisions dans le risque

et dans l'incertain

A.U. 2016-2017

Exercice

Dans la décision face au risque, on considère que les probabilités

de chaque état sj sont connues :

Calcul de l’Espérance Mathématique (E[di]) :

(cid:3) E[d1] = (100x0,2)+(100x0,5)+(100x0,3) = 100

(cid:3) E[d2] = (60x0,2)+(150x0,5)+(150x0,3) = 132

(cid:3) E[d3] = (10x0,2)+(120x0,5)+(200x0,3) = 122

On en conclut que :

La décision d2 domine les 2 autres décisions (E[d2] = 132)

Remarque :

la décision d3 est à la fois risquée (utilité mini = 10) et d’espérance

moindre que la décision d2 (122 < 132)

Exercice

II3-ENSI

Chapitre 4: Décisions dans le risque

et dans l'incertain

A.U. 2016-2017

Décision dans l’incertain

Incertitude et prise de décision

(cid:1) En présence d’incertitude, le décideur ne peut

plus pondérer l’importance respective de chaque

état par une probabilité, car il ne la connaît pas

(cid:1) Aussi, plusieurs critères pour la décision

individuelle ont été proposés :

(cid:1) Critères de Laplace, Bernouilli, Wald, Hurwicz,

Savage, …

(cid:1) Nous ferons une comparaison de ces critères

II3-ENSI

Chapitre 4: Décisions dans le risque

et dans l'incertain

A.U. 2016-2017

Exemple

(cid:1) On s’intéresse à un investissement immobilier:

(cid:1) Faut-il investir dans :

(cid:1) Une résidence

(cid:1) Un immeuble

(cid:1) Un appartement

(cid:1) Aucun des trois

(cid:1) Cela va dépendre de l’état du marché

immobilier : Fort / Moyen / Faible

Exemple

(cid:1) L’estimation des profits de chacun de ces

investissements selon l’état du marché est:

II3-ENSI

Chapitre 4: Décisions dans le risque

et dans l'incertain

A.U. 2016-2017

Critères de décision

face à l’incertain

(cid:1) Critère de MaxiMax

(cid:1) Critère de Wald ou MaxiMin

(cid:1) Critère de Savage

(cid:1) Critère de Laplace

(cid:1) Critère de Hurwicz

(cid:1) Critère de Bernouilli

Critère de maximax

(cid:1) C’est le critère du décideur optimiste

(cid:1) on «redescend» l’utilité maximale de chaque

«valeur»

Règle:

On choisit la décision

qui à la plus grande utilité maximale

II3-ENSI

Chapitre 4: Décisions dans le risque

et dans l'incertain

A.U. 2016-2017

Critère de maximax

Choix MaxiMax (M) : Résidence

II3-ENSI

Chapitre 4: Décisions dans le risque

et dans l'incertain

A.U. 2016-2017

Critère de Wald ou MaxiMin

(cid:1) C’est le critère du décideur pessimiste : décider

comme si la nature était animée des pires intentions

…

(cid:1) on «redescend» l’utilité minimale de chaque

«valeur»

Règle

On choisit la décision

qui à la plus grande utilité minimale (la moins pire)

Critère de maximin

II3-ENSI

Chapitre 4: Décisions dans le risque

et dans l'incertain

A.U. 2016-2017

Critère de Wald ou MaxiMin

Choix MaxiMin (W) : Aucun

Critère de savage

(ou de regret MiniMax)

« Regrettons le moins possible dans le pire des cas…»

(cid:1) Calcul d’une matrice des regrets (ou manque à

gagner) à partir de la table des résultats ainsi:

(cid:1) on «redescend» le regret maximal de chaque

«valeur» (pire des cas)

Règle:

On choisit la décision

qui donne le plus petit regret maximal

II3-ENSI

Chapitre 4: Décisions dans le risque

et dans l'incertain

A.U. 2016-2017

Critère de savage

(ou de regret MiniMax)

Choix de savage

Min(MaxR)=250

Choix de Savage (S) : Immeuble

II3-ENSI

Chapitre 4: Décisions dans le risque

et dans l'incertain

A.U. 2016-2017

Critère de LAPLACE

(cid:1) Le critère de Laplace est fondé sur l’hypothèse

d’équiprobabilité des n événements (états) possibles de

la nature soit 1/n pour chaque état.

(cid:1) Le critère de Laplace (L) se calcule ainsi :

(cid:1) On calcule pour chaque décision le critère L (la moyenne

des valeurs)

Règle:

On choisit la décision

qui donne la plus grande valeur de L

Critère de Laplace

Choix de LAPLACE:

Résidence

II3-ENSI

Chapitre 4: Décisions dans le risque

et dans l'incertain

A.U. 2016-2017

Critère de HURWICZ

(cid:1) Le critère d’Hurwicz défini:

(cid:1) un degré de pessimisme α

(cid:1) un degré d’optimisme (1 - α)

(cid:1) Il prend à la fois le meilleur et le pire résultat de chaque

stratégie et les pondère dans une combinaison linéaire par cet

index (α et 1 - α)

(cid:1) On calcule pour chaque décision le critère H

Règle:

on choisit la décision qui donne la plus grande valeur de H

Critère de Hurwikz

0.5550+0.5-310

(cid:1) Si α = 0.5

II3-ENSI

Chapitre 4: Décisions dans le risque

et dans l'incertain

A.U. 2016-2017

Critère de hurwicz

Choix de Hurwicz: Résidence

Critère de bernouilli

(cid:1) Le critère de Bernouilli, comme le critère L, est aussi

basé sur l’hypothèse d’équiprobabilité des n états

de la nature, mais il utilise l’utilité des gains définie

par leur logarithme:

Règle:

on choisit la décision qui donne la plus grande valeur de B

II3-ENSI

Chapitre 4: Décisions dans le risque

et dans l'incertain

A.U. 2016-2017

Critère de bernouilli

-Log(310)

Comparaison des critères

(cid:1) Un des moyen utilisés pour la décision optimale est

de construire un tableau classant les décisions

pour chacun des critères avec leur rang respectifs,

exemple:

De par la somme des rang, on en déduit le classement :

1. l’investissement « immeuble »

2. l’investissement « résidence » ou l’investissement « immeuble »

3. enfin « aucun » investissement

II3-ENSI