Expert-Prépa

Avril 2021

Interférence a division d’amplitude (a deux ondes)

2éme Année

MP-PC-T

Proposé par Porf. Neil JOMAA

Probleme I : Interférometre de Michelson :

Introduction :

Description simplifiée : L’interféromètre (figure 1) est constitué de :

(cid:88) deux miroirs plans : (M1) de centre O1 susceptible de subir

un mouvement de translation parallelement a l’axe (Ox) et (M2)

fixe de centre O2 ;

(cid:88) une lame séparatrice (Ls) semi-réfléchissante et non absor-

bante qui réfléchit la moitié de la lumière qu’elle reçoit. Cette lame

est centrée en O et son plan est à 45˚ de (Ox).

La configuration du Michelson est dite ”en contact optique”

lorsque (M1) et (M2) sont orthogonaux et OO1 = OO2 = d(cid:48).

Partie A : Interféromètre de Michelson éclairé par une source

ponctuelle :

Dans cette partie, on suppose que l’épaisseur de (Ls) est négligeable et on n’envisage pas de lame

compensatrice. On suppose que de plus que (Ls) n’introduit aucun déphasage.

L’écran (E) est placé perpendiculairement à (Oy), au point E tel que OE = ∆.

L’interféromètre, plongé dans l’air, est éclairé par une source ponctuelle S, monochromatique de

longueur d’onde λ = 632, 8 nm et situé sur (Ox) à une distance d = OS.

À partir de la configuration ”en contact optique” on déplace le miroir (M1) d’une distance faible e

selon les x croissants.

1) Quel est l’intérêt pratique de choisir un coefficient de réflexion R = 0, 5 pour (Ls) ?

Interêt : augmenter la luminosité de la figure d’interférence.

En effet l’intensité d’un rayon sortant du michelson est Is = RT I0 = R(1 −

R)I0 = (R − R2)I0

dIS

= 0 ⇒ 1 − 2R = 0 ⇒ R = 1/2

2) Comment peut-on réaliser une source ponctuelle ?

• Si la source est un LASER on utilise une lentille de courte focale.

• Si la source est une lampe large ; on utilise un diaphragme.

3) Faire une figure soignée de deux rayons différents issus de la source S et qui interfèrent en un

point M de (E). On se placera dans le cas où : ∆ > d et d(cid:48) = d.

4-a) Montrer que cette configuration du Michelson est équivalente à une lame d’air.

ςf ig1 = (SI1J1M ) − (SJ2I2M )

= [SI1 + I1J1 + J1M ] − [SJ2 + J2I2 + I2M ]

1J1 + J1M ] − [S(cid:48)J2 + J2I2 + I2M ]

= [S(cid:48)I (cid:48)

1M ] − [S(cid:48)I2 + I2M ]

(S(cid:48)I (cid:48)

1M ) − (s(cid:48)I2M ) = ςf ig2

1 + I (cid:48)

4-b) Préciser sur une figure les positions des sources secondaires S1 et S2 par rapport à O.

Exprimer OS1 et OS2 en fonction des données du problème.

OS2 = OO2 + O2S2 = d + 2d = 3d

OS1 = OO(cid:48)

1 + O(cid:48)

1S1 = d + e + 2d + e = 3d + 2e

4-c) Quelle est la forme des franges observées sur (E) ? Justifier.

(E) ⊥ (S1S2) ⇒ Franges circulaires (anneaux).

5) On cherche a déterminer la différence de marche δ entre les rayons qui interferent au point M de

(E) tel que EM = X. On raisonne à partir de la lame d’air équivalente. On note J le milieu de

[S1S2] et θ = (

−−→

JS2,

(cid:18)

−−→

JM ) supposé faible.

(cid:19)

Montre que δ ≈ 2e

1 −

, où D = ∆ + d + 2d(cid:48) + e. Justifier alors que les franges

X 2

2D2

obtenues sur (E) sont des anneaux.

1M ) − (S(cid:48)I2M ) = S(cid:48)I (cid:48)

1 + I (cid:48)

δ = (S(cid:48)I (cid:48)

I (cid:48)

1M ] − [S2I2 + I2M ] = S1M − S2M

−−→

S2J +

S2M = (

2e.JM. cos θ]1/2

−−→

S2M 2)1/2 = [(

1M − [S(cid:48)I2 + I2M ] = [S1I (cid:48)

1 +

−−→

JM )2]1/2 = [e2 + JM 2 −

= JM

(cid:20)

1 +

(cid:16) e

(cid:17)2

− 2.

. cos θ

(cid:21)1/2

−→

DL)

(

− JM

(cid:104)

1 −

(cid:105)

cos θ

⇒ S2M (cid:39) JM − e cos θ; de même : S1M (cid:39) JM + e cos θ

⇒ δ = S1M − S2M = 2e cos θ.

cos θ (cid:39) 1 −

et θ (cid:39) tan θ =

⇒ δ (cid:39) 2e

1 −

(cid:18)

(cid:19)

avec

2D2

θ2

D = ∆ + 3d + e

• Frange ⇔ δ = cte ⇔ x = cte et on a une symétrie de révolution autour

de −→y ⇒ on observe des anneaux.

6) Calculer l’ordre p0 correspondant au centre E de l’écran pour e = 1mm. Commenter.

(cid:19)

(cid:18)

p =

1 −

p0 = p(x = 0) =

2D2

A.N : p0 =

2.10−3

632, 8.10−9 = 3160, 5

p0 : demi-entier → le centre est sombre (obscure).

7) Exprimer le rayon Xp sur (E) de l’anneau d’ordre p en fonction de p, p0 et D.

Calculer Xp pour les cinq premiers anneaux brillants pour ∆ = 20 cm, d = d(cid:48) = 10cm et

e = 1mm.

Conclure concernant l’évolution de la distance entre deux anneaux successifs.

• p =

−

2e.x2

λD2 = p0 −

e.x2

λD2

p =

⇒ x2

λD2

(p0 − p) ⇒ xp = D

(cid:114)λ

• Soit : pn : ordre de nième anneau brillant.

si x (cid:37); p (cid:38) ⇒ p0 = pmax

p1 = p0 − 1/2

p2 = p1 − 1 = p0 − 1 − 1/2

⇒ pn = p0 − n + 1 − 1/2 = p0 − n + 1/2

(p0 − p)

(cid:114)λ

⇒ xn = D

(cid:114)λ

A.N : x1 = ........ ; x2 = ........; − − − − − − − − x5 = .......(n)

⇒ |x5 − x4| < |x4 − x3| < ........ < |x2 − x1| → les anneaux se vessèrent.

(p0 − pn) = D

(n − 1/2).

Partie B : Interféromètre de Michelson éclairé par une source étendue :

L’interféromètre réel comporte en plus de la lame séparatrice (Ls) une lame compensatrice (Lc)

identique et parallele a (Ls), mais sans face traitée. Le dispositif, plongé dans l’air, est éclairé par

une source étendue S, monochromatique de longueur d’onde λ = 546 nm.

8) Expliquer l’effet de l’étendue de la source sur la figure d’interférence dans le cas d’un dispositif

interférentiel :

– diviseur d’amplitude

– diviseur de front d’onde

• Diviseur d’amplitude.

La figure devient plus lumineuse et localisée à l’infini (Michelson réglé en lame

d’air).

• Diviseur de front d’onde.

en général le contrast de la figure diminue.

Exception : Si S est élargie de façon line¨ıque selon la direction des franges la

figure devient plus lumineuse sans toucher au contr

9) Quel est le rôle de (Lc) ? Exprimer à l’aide d’un figure soignée.

Rôle de Lc : compenser la différence de marche supplémentaire due à la trans-

mission à travers Ls.

(Voir la figure dans la vidéo).

10) Déterminer la différence de marche supplémentaire δsup introduite par le réflexion sur (Ls)

sachant qu’elle est fabriquée en verre d’indice de réfraction n = 1, 5.

Le coefficient de réflexion en amplitude est :

r =

n0 − n

n0 + n

⇒ δsupp,réflx =

2π

.ϕréflx =

1 − n

1 + n

< 0 ⇒ ϕréflx = π

B-1 : Franges d’égale inclinaison :

L’interférometre est dans la configuration équivalente a une lame d’air d’épaisseur e.

11) Comment faut-il l’éclairer pour obtenir des franges d’égale inclinaison ?

Source mère large

12) À l’aide d’un figure soignée, montrer qu’un rayon lumineux issu de la source S et caractérisé

par l’angle d’incidence i avec (Ox), donnera a la sortie de l’interférometre un ensemble de deux

rayons parallèles.

Le coefficient de réflexion en amplitude est :

r =

n0 − n

n0 + n

⇒ δsupp,réflx =

2π

.ϕréflx =

1 − n

1 + n

< 0 ⇒ ϕréflx = π

13) Établir la différence de marche δ entre ces deux rayons en fonction de e, i et λ. On peut

raisonner sur (M2) et (M (cid:48)

1), l’image de (M1) par (Ls).

1M )] − [S2J2 + (J2M )] + λ/2 = (S1M ) − (S2M ) + λ/2

1(J (cid:48)

δ = (SJJ1J0M ) − (SJJ2M ) + λ/2 = [S(cid:48)J + JJ (cid:48)

[S(cid:48)J + JJ2 + (J2M )] + λ/2 = [S(cid:48)J (cid:48)

[S1J (cid:48)

Selon théorème de Malus ; (S2M ) = (HM )

⇒ δ = S1H + λ/2

⇒ δ = 2e cos i + λ/2

1 + (J (cid:48)

1 + J (cid:48)

1J0 + (J2M )] −

1M )] − [S(cid:48)J2(J2M )] + λ2 =

14) En un point de l’axe (Oy), on place une lentille mince convergente (L) de distance focale

image f (cid:48), de sorte que son plan est parallele a l’écran (E).

Où faut-il placer (E) pour observer les franges d’interférences ? Justifier ? Quelle est leur forme ?

La figure est localisée à l’infini (voir question 8) ⇒ on place (E) dans le plan

focal image de (L).

• (S1S2) ⊥ (E) ⇒ Frange circulaire → anneaux de Haidinguer ou franges

d’égale inclinaison.

15) On dispose de deux lentilles convergentes de distances focales image f (cid:48)

Laquelle doit-on choisir ? pourquoi ?

1 = 0, 20m et f (cid:48)

2 = 1m.

On choisit f (cid:48)

2 = 1m pour observer des anneaux de diamètre plus grand.

En effet, i (cid:39) tan i =

f (cid:48) ⇒ r = f (cid:48).i

16) Déterminer l’ordre d’interférence p(M ) en un point M de la figure d’interférence sur l’écran

(E).

Calculer p0 au centre de (E) pour e = 1mm. Commenter.

cos i + 1/2

p =

p0 = p(i = 0) =

p0 : demi-entier → le centre est sombre (obscur)

+ 1/2 =

2.10−3

546.10−9 + 1/2 = 3663, 5

17) Donner l’expression de l’intensité I(M ) en un point M de la figure d’interférence sur l’écran

(E).

Tracer l’allure de I(M ) en fonction de l’angle d’incidence i. Commenter.

I = 2.Isort(1 + cos(

⇒ I =

1 − cos

(cid:18)

2π

(cid:18)2π

.(2e cos i +

)))

(cid:19)(cid:19)

2e. cos i

18-a) On se place au voisinage de l’incidence normale. Établir l’expression du rayon rk

correspondant a la kieme frange (comptée à partir de i = 0) de même nature que celle du centre, en

fonction de f (cid:48), λ, e et k.

• i faible

• Soit pR : l’ordre de kième anneau sombre.

p1 = p0 − 1

p2 = p1 − 1 = p0 − 2

⇒ Par récurrence pk = p0 − k

Or i (cid:39) tan i =

⇒ pk =

⇒ rk = f (cid:48)

(cid:32)

(cid:114)λ

f (cid:48) ⇒ r = f (cid:48).i et cos i (cid:39) 1 −

e.r

λ.f (cid:48)2

+ 1/2 = p0 −

2f (cid:48)2

(cid:33)

1 −

(p0 − pk) ⇒ rk = f (cid:48)

(cid:114)λ

18-b) En déduire la distance séparant deux franges consécutives de même nature. Conclure

concernant la notion d’interfrange.

rk+1 − rk = f (cid:48)

notion d’interfrange n’est plus valable.

k + 1 −

(cid:114)λ

√

(

√

k) = fonction(k) n’est pas constante ⇒ la

19) Décrire les phénomènes observés lorsqu’on fait diminuer l’épaisseur e par déplacement de (M1).

Si on diminue (e) ; les anneaux rentrent au centre. En effet, à p fixé :

p =

l’anneau se dirige vers le centre.

cos i + 1/2 ; si e (cid:38) ; cos i (cid:37) pour conserver le même p donc i (cid:38) ⇒

20) Mesure de l’écart des raies du doublet jaune du sodium :

L’interférometre réglé pour donner des franges d’égale inclinaison, est éclairé par une lampe a

vapeur de sodium émettant deux radiations de même intensité et de longueurs d’onde respectives

λ1 et λ2.

On note ∆λ = λ2 − λ1 et λ0 = 1/2(λ1 + λ2) = 589, 3 nm.

20-a) Déterminer l’expression de l’intensité lumineuse I(E) au centre E de l’écran.

(cid:19)(cid:19)

(cid:18)

1 − cos

(cid:18)2π

λ1

(cid:18)2π

λ2

λ2 → I2(E) =

λ1 → I1(E) =

λ1, λ2 non synchrones ⇒ I = I1 + I2.

λ2

(cid:18) 1

λ1

(cid:18) 1

λ1

(cid:123)(cid:122)

V :facteur de visibilité

⇒ I (cid:39) I0

⇒ I = I0

1 − cos

2πe

−

(cid:18)

(cid:124)

(cid:125)

(cid:19)(cid:19)

(cid:18)

2πe

cos

(cid:19)(cid:19)

(cid:18)

2πe

cos

λ0

(cid:18) 1

λ1

(cid:19) (cid:19)

(cid:19)(cid:19)(cid:19)

λ2

20-b) Tracer la courbe de I(E) en fonction de δ(E) lorsqu’on fait varier l’épaisseur e de la lame.

On a trouvé :

(cid:18)

I(E) = I0

1 − cos

(cid:18)

2π

(cid:18)∆λ

λ2

(cid:19)(cid:19)

. cos

(cid:18)(cid:18)2π

λ0

(cid:19)(cid:19)

(cid:124)

(cid:125)

(cid:123)(cid:122)

V :facteur de visibilité

λ0

λ2

∆λ

2λ0

<< 1

20-c) Expliquer les brouillages successifs observés.

brouillage ⇔ c = 0 ⇔ V = 0

∆λ

λ2

⇔ cos

2πe.

(cid:18)

(cid:19)

= 0 ⇔ 2πe

∆λ

λ2

= (n + 1/2)π

⇒ en = (n + 1/2).

→ on observe des brouillages périodiques selon l’épaisseur e de la lame.

2∆λ

20-d) Entre le premier et le deuxième brouillage on mesure ∆e = 0, 29 mm. Déterminer ∆λ. En

déduire λ1 et λ2.

2.∆e

∆e = e1 − e0 =

⇒ ∆λ =

(589, 3.10−9)2

2.0, 29.10−3 = 0, 6mm = 6˚A.

= 589nm

λ1 = λ0 −







⇒

λ2 = λ0 +

2∆λ

∆λ

= 589, 6nm

B-2 : Franges d’égale épaisseur :

A partir de la configuration ”en contact optique” on fait tourner le miroir (M1) autour de (O1z)

d’un angle α faible de manière que son image (M (cid:48)

1) par (Ls) forme avec (M2) un dièdre d’angle

α et d’arête (O2z).

Le dispositif est éclairé en incidence quasi-normale à l’aide d’un faisceaux de rayons lumineux

sensiblement parallèles provenant d’une source monochromatique de longueur d’onde λ = 546nm.

21) Comment peut-on obtenir un faisceau de rayons lumineux parallèles. Faire une figure.

On utilise un collimateur :

Remarque :

22) Faire une figure soignée montrant les deux rayons, issus d’un même rayon incident et qui

interfèrent en un point P . Faire apparaˆıtre le lieu de localisation des franges.

23) Quel est l’intérêt d’éclairer le dispositif en incidence quasi-normale ?

Angle faible → respecter la condition → assurer la stigmatisme des lentilles.

24) Caractériser les interférences obtenues.

δ = 2e + λ/2

α (cid:39) tan α =

⇒ e = αx

⇒ α = 2αx + λ/2.

Frange ⇔ δ = cte ⇔ e = cte → frange d’égale épaisseur

et ⇔ x = cte → frange rectiligne ∈ (π) paralleles a l’arrête du coin (o2z).

25) Exprimer l’interfrange i(cid:48) en fonction de λ et α. Faire l’application numérique pour

α = 5.10−4 rad.

p =

2α

x +

⇒ ∆p =

∆x.

∆p = 1 ⇔ ∆x = i(cid:48) donc i(cid:48) =

2α

A.N : i(cid:48) =

546.10−9

2.5.10−4 = 0, 546mm (faible).

26) Où doit-on placer l’écran (E) pour visualiser ces franges ? Expliquer.

Les franges sont localisées au voisinage du coin donc pour les observer ; il faut

réaliser leur image conjuguée sur l’écran grâce à une lentille convergente.

Soit Ω : centre de la lentille de sortie (L).

Soit E : centre de l’écran.

ΩE

Il faut que

f (cid:48)

ΩO2

−

27) On dispose de deux lentilles convergentes de distances focales image f (cid:48)

Laquelle doit-on choisir ? pourquoi ?

1 = 0, 20m et f (cid:48)

2 = 1m.

Selon l’optique géométrique, il faut respecter la règle de 4f (cid:48).

Si on choisit f (cid:48) = f (cid:48)

expérimentalement donc on choisit f (cid:48) = f (cid:48)

2 = 1m alors O2E ≥ 4m ce qui n’est pas acceptable

1 = 20cm.

28) On désire obtenir sur (E) des franges distantes de i” = 2, 73 mm. On conserve d(cid:48) = 10 cm.

28-a) Calculer le grandissement transversal correspondant.

γ = −

i(cid:48)(cid:48)

i(cid:48) = −

2, 73

0, 546

= −5.

28-b) A quelles distances du point O doit-on placer l’écran (E) et le centre L de la lentille ?

But : OE =? et OΩ =?

ΩE

−

ΩO2

f (cid:48)

et γ =

ΩE

ΩO2

⇒

ΩO2

ΩE

⇒

ΩE

(1 − γ) =

Donc OΩ = O2Ω − d(cid:48) = f (cid:48) 1 − γ

(−γ)

OE = OΩ + ΩE = 134cm−

f (cid:48) ⇒ ΩE = f (cid:48)(1 − γ) ⇒ ΩO2 = f (cid:48)

− d = f (cid:48)

1 −

(cid:19)

(cid:18)

(cid:19)

(cid:18)1 − γ

− d(cid:48) = 14cm et

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