Induction lectromagn tique
1
Induction lectromagn tique
Pr sentation qualitative du ph nom ne dinduction lectromagn tique
2
Un circuit se d pla ant dans un champ magn tique permanent peut se comporter comme
un g n rateur lectrocin tique : il est le si ge dun ph nom ne dinduction. On parle alors
dinduction de Lorentz.
Lorsquun circuit fixe est soumis un champ magn tique variable, il est encore le si ge
dun ph nom ne dinduction. On parle alors de ph nom ne dinduction de Neumann.
Dans le 1er cas, le d placement du circuit vitesse
r
ev
(dans le r f rentiel du laboratoire)
dans le champ permanent
r
vq e
r
0B
'
r
0B
de laimant entra ne lapparition dune force magn tique
susceptible de faire circuler les charges de conduction du circuit.
Dans le 2 me cas, le circuit, fixe dans le r f rentiel du laboratoire, voit appara tre un champ
magn tique variable cr par laimant. L quation de Maxwell-Faraday :
r
Erot
=
r
B
t
montre lapparition dun champ lectrique induit capable de mettre en mouvement les
charges du circuit
3
Rappels d lectromagn tisme ( Equations locales de lEM )
Rappels sur les quations de Maxwell et le potentiel vecteur :
Les quations de Maxwell sont des quations locales qui expriment des relations entre le
champ EM
)
et ses sources
rr
,
( BE
r
,(
)
j
:
r
Bdiv
r
Ediv
=
0
r
Erot
=
r
Brot
=
r
B
t
r
j
+
0
0
0
=
0
(
Equation
du
flux
magn tique
Flux
)
(
Equation
de
Maxwell
Gauss
MG
)
(
Equation
de
Maxwell
Faraday
MF
)
(
Equation
de
Maxwell
Amp re
)
MA
r
E
t
4
r
D finition des potentiels ( A
,V) :
r
E
r
A
t
Dans le cas du r gime permanent
r
B
r
Arot
=
=
grad
V
r
A
t
r
0
=
, on retrouve lexpression classique
r
E =
grad
V
.
5
Potentiels permanents :
En r gime permanent, les quations de Poisson se r crivent sous la forme :
r
j
=V
r
A
0 =
et
0
Cette derni re quation a pour solution la solution bien connue (loi de Coulomb pour le
potentiel lectrostatique) :
(
MV
)
=
1
4
0
+++
(
D
)
)(
S
SM
d
(On note M le point o lon calcule le potentiel, S un point source de la distribution (D)
de charges, r = SM et
r
r
=
SM
=
r
ur
).
Chaque composante Ax, Ay et Az v rifient la m me quation que V ; par cons quent :
r
(
MA
)
=
0
4
+++
(
D
)
r
)(
Sj
SM
d
6
Approximation des r gimes quasi-stationnaires (ARQS) :
" Nature de lapproximation :
Cette approximation consiste n gliger les retards qui interviennent dans les expressions
des potentiels retard s, cest- -dire utiliser en r gime non permanent les potentiels
instantan s suivants :
(
),
tMVV
=
=
1
4
0
+++
(
D
)
r
r
(
),
tMAA
=
=
0
4
+++
(
D
)
,(
tS
SM
c
)
SM
r
,(
tSj
SM
c
)
SM
d
H
1
4
0
+++
(
D
)
),(
tS
SM
d
d
=
0
4
+++
(
D
)
r
),(
tSj
SM
d
sont n gligeables vis- -vis
Cette approximation est justifi e si tous les retards
dun temps T caract ristique de l volution de la distribution de charges et de courants. Si
on suppose cette volution p riodique, T repr sente alors la p riode.
t =
SM
c
7
LARQS n glige les ph nom nes de propagation.
Si lon note
cT=
la longueur donde du ph nom ne dans le vide, on a alors :
t
=
SM
c
<<
T
=
c
soit
SM
<<
=
cT
=
c
Ainsi, lARQS d crit convenablement le champ EM dune distribution (D) en des points
dont les distances SM aux l ments de (D) sont faibles devant la longueur donde
cT=
.
8
D termination du champ lectromagn tique
rr
,
( BE
)
dans le cadre de lARQS :
Dans le cadre de lARQS, on peut donc calculer les potentiels laide des m mes formules
quen r gime stationnaire, valables chaque instant :
(
),
tMVV
=
=
1
4
0
+++
(
D
)
,(
tS
SM
c
)
SM
r
,(
tSj
SM
c
)
D
)
SM
d
H
1
4
0
+++
(
D
)
),(
tS
SM
d
d
=
0
4
+++
(
D
)
r
),(
tSj
SM
d
r
r
(
),
tMAA
=
=
Lexpression du champ EM
(
+++
0
4
rr
( BE
,
)
se d duit de ces deux expressions gr ce aux relations :
r
B
r
Arot
=
et
r
E
=
grad
V
r
A
t
9
r
On note que la relation entre B
est la m me quen r gime stationnaire puisquelle
ne fait pas intervenir de d rivation par rapport au temps (mais seulement des d riv es
despace). Par cons quent, la loi de Biot et Savart sera encore valable dans le cadre de
lARQS.
r
et A
r
A
En revanche, le champ lectrique
t
Publicité
lARQS, un champ de Coulomb instantan du type :
grad
=
r
E
V
ne sidentifie pas, m me dans
r
E
=
En raison du terme dinduction
4
r
A
t
1
+++
0
(
D
)
),(
dtS
2
SM
r
u
(champ lectromoteur de Neumann).
10
Loi dOhm dans les conducteurs ohmique dans le cadre de lARQS :
La loi dOhm : pour un conducteur comme le cuivre par exemple, le temps de relaxation
( dur e de collision des porteurs de charges) est de lordre de
10
s14
H
.
Or on sait que, dans un conducteur, la loi dOhm est satisfaite si le temps caract ristique
d volution du syst me T v rifie
>>T
.
Dans le cadre de lARQS, cette condition sera bien v rifi e.
Ainsi, dans le cadre de lARQS, la loi dOhm locale sera valable :
r
j
=
r
E
=
grad
V
+
r
A
t
11
" Courant de d placement dans un conducteur ohmique :
L quation de Maxwell-Amp re s crit, compte tenu de la loi dOhm locale :
r
Brot
=
r
E
õ
0
+
0
r
E
t
On note T le temps d volution caract ristique de la distribution (D) (sa p riode
d volution).
On peut comparer le courant de conduction avec le courant de d placement :
r
E
r
E
t
0
=
T
0
H
E
E
T
0
Pour le cuivre de conductivit
T en s). Ainsi, m me si T est de lordre de
=
10.6
7
1
1
&
10
.
m
s10
, ce rapport est de lordre de
(soit une fr quence de 10 GHz) :
T1810
(avec
12
r
E
r
E
t
0
8
10H
Par cons quent, pour les r gimes d volution justifiant lemploi de la loi dOhm, le courant
de d placement est, au sein du conducteur ohmique, n gligeable devant le courant de
conduction.
L quation de Maxwell-Amp re s crit alors :
r
Brot
r
E
õ
0
r
j
0 =
=
13
Equations de Maxwell dans un conducteur :
Finalement, dans le cadre de lARQS, le champ EM v rifie les quations de Maxwell
simplifi es suivantes :
=
0
=
0
=
r
Bdiv
r
Ediv
r
Erot
r
Brot
r
B
t
r
j
0
=
=
õ
0
r
E
Ainsi, dans un conducteur, lARQS ne diff re des r gimes stationnaires que par la prise en
compte des ph nom nes dinduction ( quation de Maxwell-Faraday).
14
- Changement de r f rentiel :
Formule de changement de r f rentiel :
r
Soit v
dans un r f rentiel (R) anim de la vitesse
la vitesse dune particule de charge q dans un r f rentiel (R) et soit
r
ev
par rapport (R).
r
'v
sa vitesse
On est amen poser : (expressions de changement de r f rentiels galil ens du champ
EM)
r
r
r
vEE
e
+
=
'
r
B
'
r
r
BB
=
'
et
15
A - Cas dun circuit fixe dans un champ magn tique d pendant du temps
(Cas de Neumann)
I) Circulation du champ lectrique, loi de Faraday, loi de Lenz, d finitions des
coefficients dinductance propre L et mutuelle M de deux circuits filiformes :
1 Circulation du champ lectrique :
On se place dans le r f rentiel du laboratoire. Le champ lectrique est de la forme :
r
E
=
grad
V
r
A
t
On consid re un circuit filiforme (C) parcouru par un courant dintensit i. La loi dOhm
permet d crire que :
r
j
r
E
=
et
dR
=
l
d
S
dR tant la r sistance dune longueur ld de conducteur. Par ailleurs,
i =
jS
.
16
On calcule la circulation du champ lectrique le long dune portion de conducteur allant
de A B :
rr
l
.
dE
+
(
C
)
AB
=
(
V
V
A
)
+
B
r
A
t
r
l
.
d
+
(
C
)
AB
Or :
17
rr
l
.
dE
=
+
+
(
C
)
AB
(
C
)
AB
r
j
r
l
.
d
=
+
(
C
)
AB
i
S
l
.
d
=
+
(
C
)
AB
dRi
=
iR
AB
Par cons quent :
iR
AB
=
(
V
V
B
)
+
A
r
A
t
r
l
.
d
+
(
ABC
)
Dans la suite, on note eAB la circulation du champ lectromoteur de Neumann
long du circuit de A B :
r
A
t
le
Ainsi :
e
AB
= +
(
ABC
)
r
A
t
r
l
.
d
V
A
V
B
=
iR
AB
e
AB
18
On comprend alors que le champ magn tique d pendant du temps, source du champ
lectromoteur de Neumann, puisse cr er une f m dinduction eAB et mettre ainsi en
mouvement les charges de conduction du circuit.
V
A
V
B
=
iR
AB
e
AB
(Sch ma quivalent)
19
Cas particuliers :
" En circuit ouvert (i = 0) : alors
V
A
Publicité
V
B
=
e
AB
.
Le ph nom ne dinduction se traduit par lapparition dune ddp aux bornes du circuit
ouvert.
" Le long dun circuit ferm :
V
A
V
B
=
0
donc
e
AB
=
iR
AB
.
20
2 Loi de Faraday :
On consid re le ph nom ne dinduction le long dun circuit ferm (C) fixe dans le
r f rentiel du laboratoire.
M
A
+
dS
B
n
(C)
surface S
La circulation du champ lectromoteur de Neumann s crit, en utilisant le relation de
Stockes :
e
AB
=
+
(
C
)
AB
r
A
t
r
l
.
d
=
d
dt
+
(
C
)
AB
21
rr
l
.
dA
=
d
dt
++
(
S
)
r
r
SdBrot
.
Soit (loi de Faraday) :
e
AB
=
d
dt
++
(
S
)
r
r
SdBrot
.
=
d
dt
B
La f m induite le long dun circuit ferm fixe dans le laboratoire galil en est oppos e la
d riv e temporelle du flux magn tique travers le circuit.
22
3 Loi de Lenz :
Le signe moins de la loi de Faraday r sulte des conventions utilis es pour orienter la
surface du circuit et d finir la f m alg brique et, physiquement, de leffet mod rateur du
courant induit.
La loi de Lenz traduit qualitativement cet effet. Elle permet de pr voir le sens du courant
induit dans les cas simples et de v rifier son signe une fois le calcul alg brique effectu .
Enonc de la loi de Lenz :
Le courant induit a un sens tel que le flux induit quil cr e soppose aux variations du
flux inducteur.
ou encore :
La f m induite tend par ses cons quences sopposer la cause qui lui a donn
naissance.
23
Exemple ; on consid re le syst me suivant :
r
La variation du champ magn tique B
dans le temps est cause dun flux magn tique
variable travers le circuit, appel flux inducteur et dune f m induite qui peut d biter
un courant dans le circuit (appel courant induit ).
Contour
(C)
Sens+
r
b
r
S
r
B
i(induit) < 0
Face +
Face -
24
r
Le courant induit cr un champ magn tique propre b
responsable dun flux magn tique travers le circuit appel flux induit .
ou champ magn tique induit
r
Si le flux inducteur augmente (la norme du champ B
dapr s la loi de Faraday, la f m induite est n gative.
augmente), sa d riv e est positive et
Le courant induit est alors n gatif.
r
Le champ induit b
sen d duit (r gle de Biot et Savart) et le flux induit est donc n gatif
quand la variation du flux inducteur est positive : le flux induit soppose donc la
variation du flux inducteur, ce qui illustre, sur cet exemple, la loi de Lenz qui appara t bien
comme une loi de mod ration.
25
4 - D finitions des coefficients dinductance propre L et mutuelle M de deux
circuits filiformes
a) Inductance propre :
Un circuit ferm filiforme (C) est parcouru par un courant dintensit I ; son champ
magn tique propre
r
(MBP
)
, donn par la loi de Biot et Savart, est proportionnel I.
S(C)
r
PB
r
Sd
I > 0
(C)
Le flux du champ magn tique propre travers le contour orient par le sens positif du
courant choisi ou flux propre est proportionnel I :
++
r
r
.
SdB
P
=
P
=
P
soit
LI
I
(
S
)
26
Le coefficient L ne d pend que des caract ristiques g om triques du circuit et sappelle
coefficient dauto-induction ou dinductance propre du circuit (C).
Signe de L :
Si I > 0, le champ magn tique a le sens repr sent sur la figure et le flux est donc positif,
donc L > 0.
De m me, si I < 0, le champ magn tique change de sens et le flux devient n gatif. Par
cons quent, L est un coefficient positif.
Le flux est exprim en Weber et le coefficient L en Henry.
27
Exemples :
" Inductance propre dun sol no de :
Le champ magn tique lint rieur du sol no de infini est
Le flux travers N spires occupant une longueur L est :
r
B
r
zunI
.
0 =
=
P
(
0
N
l
I
)
NS
=
LI
avec
L
=
0
2
SN
l
AN : une bobine de longueur 10 cm comportant 100 spires dont le diam tre est de 1 cm a
une inductance propre de lordre de 0,01 mH : le henry est une assez grande unit .
Des inductances propres plus importantes sobtiennent avec une bobine noyau de fer.
Mais la relation donnant L est plus compliqu e (L d pend non seulement de la g om trie
du circuit mais aussi de lintensit ).
28
" Inductance propre dune bobine torique de section rectangulaire :
On consid re une bobine torique de section rectangulaire de hauteur h et de rayons a et b
comportant N spires jointives parcourues par un courant I.
Un plan m ridien est plan de sym trie ; en un point de ce plan, en cordonn es
cylindriques, le champ propre est orthoradial et d pend a priori de r et de z :
r
r
uzrBMB
),(
=
)
(
P
P
Les lignes de champs sont des cercles daxe (Oz).
On applique le th or me dAmp re la ligne de champ de rayon r :
2
),(
zrBr
=
0
NI
soit
)(
rB
P
=
NI
0
2
1
r
Le champ ne d pend finalement pas de la cote z.
29
Le flux propre travers les N spires vaut alors :
=
P
N
+
b
a
(
drhB
P
)
=
2
IN
0
2
h
ln
b
a
On en d duit linductance :
L
=
2
hN
0
2
ln
b
a
30
b) Inductance mutuelle, formule de Neumann :
Deux circuits filiformes (C1) et (C2) sont parcourus par des courants dintensit s I1 et I2.
cr par (C2), donn par la loi de Biot et Savart, est
r
2B
Le champ magn tique
proportionnel I2.
r
2B
Le flux
I1 est proportionnel I2 :
12
de
travers le contour ferm (C1) orient par le sens positif du courant
12
=
IM
212
et
de
m me
21
=
IM
121
31
Formule de Neumann :
Le flux du champ magn tique travers une courbe ferm e est gal la circulation du
potentiel vecteur dont il d rive :
12
=
+
(
C
1
)
r
r
.
rdA
1
2
=
+
(
C
1
)
I
20
4
+
(
C
2
)
r
rd
2
SS
21
r
.
rd
1
=
I
20
4
+
(
C
1
)
+
(
C
2
)
r
r
.
rdrd
2
1
SS
21
Soit :
M
=
12
0
4
+
(
Publicité
C
1
)
+
(
C
2
)
r
r
.
rdrd
2
1
SS
21
Du fait de la sym trie des indices :
MM
=
12
=
M
21
=
0
4
+
(
C
1
)
+
(
C
2
)
r
r
.
rdrd
2
1
SS
21
(formule de Neumann)
32
M est appel coefficient dinductance mutuelle entre les deux circuits (C1) et (C2).
Contrairement linductance qui est toujours positive, M est positive ou n gative (selon
lorientation des circuits).
Remarque : si on sait calculer
des deux flux est compliqu alors que le calcul de lautre est plus simple
, on en d duit M et
2
12
1
. Parfois, le calcul de lun
33
Exemple : (inductance mutuelle de deux spires)
Soient deux spires, lune de rayon R et daxe (Oz) et une seconde spire de m me axe et de
rayon a<<R. Ces deux spires sont une distance d lune de lautre.
Calculer les coefficients
M
Met
1
2
1
2
et montrer quils sont gaux.
I1
R
z
Spire (1)
a
I2
Spire (2)
d
34
II) Bilan nerg tique de l tablissement du courant dans un ensemble de deux
circuits filiformes ind formables et fixes : nergie magn tique (expression en
fonction des courants et des coefficients dinductance)
1) Loi dOhm g n ralis e :
On consid re deux circuits filiformes (C1) et (C2) en couplage mutuel. Alors, en labsence
dautres sources de champs magn tiques :
I2
+
I1
+
(C1)
(C2)
=
1
IL
11
+
MI
2
et
35
=
2
IL
22
+
MI
1
Si les circuits sont rigides et immobiles dans le r f rentiel du laboratoire, les f m
dinduction valent :
e
1
=
1
d
dt
=
L
1
dI
1
dt
M
dI
2
dt
et
e
2
=
2
d
dt
=
L
2
dI
2
dt
M
dI
1
dt
La ddp aux bornes de chaque circuit est alors :
u
1
=
IR
11
e
1
=
IR
11
+
L
1
dI
1
dt
+
M
dI
2
dt
et
u
2
=
IR
22
e
2
=
IR
22
+
L
2
dI
2
dt
+
M
dI
1
dt
36
2) Energie magn tique dun syst me de deux circuits :
La puissance lectrique re ue par les deux circuits vaut :
IuP
=
11
+
Iu
22
Soit :
P
=
2
IR
11
+
d
dt
1
2
2
IL
11
+
MI
1
dI
2
dt
+
IR
22
2
+
d
dt
1
2
2
IL
22
+
MI
2
dI
1
dt
IRP
=
11
2
+
IR
22
2
+
d
dt
1
2
2
IL
11
+
d
dt
1
2
2
IL
22
+
M
d
dt
(
II
21
)
Finalement :
P
=
(
IR
11
2
+
IR
22
2
)
+
d
dt
1
2
2
IL
11
+
1
2
2
IL
22
+
IMI
21
On reconna t dune part la puissance dissip e par effet Joule et on d finit dautre part :
37
Em
=
1
2
2
IL
11
+
1
2
2
IL
22
+
IMI
21
comme tant l nergie magn tique du syst me des deux circuits, en labsence dautres
sources de champs magn tiques et en prenant comme convention que cette nergie est
nulle lorsque les courants sont nuls.
Relation entre L1, L2 et M :
L nergie magn tique est n cessairement positive. On pose
x =
I
I
1
2
, alors :
Em
2
I
2
=
1
2
2
xL
1
+
1
2
L
2
+
Mx
>
0
soit
2
xL
1
+
2
LMx
+
2
>
0
(quel que soit x)
Cette derni re condition est r alis e si le discriminant du polyn me est n gatif, soit :
=
4
M
2
4
LL
21
<
0
soit
M
<
LL
21
38
Couplage id al :
On a vu que
M d
1LL
2
. On pose :
k =
M
1LL
2
le coefficient de couplage entre les deux circuits.
Ce coefficient est compris entre 0 et 1.
Le cas limite k = 1, soit
2
du champ magn tique cr par un des deux circuits traversent lautre circuit.
correspond au cas o toutes les lignes de champ
M =
1LL
Il sagit du cas id al du couplage parfait.
39
Exercice sur les circuits coupl s :
On consid re d sormais le circuit suivant :
C
v1
i1
L
M
i2
L
C
v2
E
40
Autre d finition de linductance propre dun circuit :
On consid re un circuit (filiforme ou non) sans interaction mutuelle avec un autre circuit.
Pour tendre la d finition de L, on peut identifier les deux expressions de l nergie
magn tique, soit :
1
2
2
LI
=
Publicité
+++
(
V
)
B
2
propre
2
0
d
41
Exemple d'application ; le transformateur id al :
42
B - Cas dun circuit mobile dans un champ magn tique stationnaire
la vitesse dun l ment du circuit
la vitesse des porteurs de
r
'v
(Cas de Lorentz)
I) Circulation du terme v e '''' B, loi de Faraday :
On consid re un conducteur mobile (C). on note
r
ev
situ au point M par rapport au r f rentiel du laboratoire et
charges lorsquils passent au point M.
43
r
Dapr s la loi de composition des vitesses, la vitesse v
M, valu e dans le r f rentiel du laboratoire est :
r
r
+= '
evv
r
v
des porteurs de charges au point
On suppose que, dans le r f rentiel du laboratoire, r gne un champ EM dont la
composante magn tique est permanente, de telle sorte que
r
E =
grad
V
r
A
t
r
0
=
et donc :
Le champ EM dans le r f rentiel du conducteur est alors, en utilisant les relations de
transformations des champs :
r
r
r
vEE
e
=
+
'
r
B
'
r
r
'
BB
=
et
44
Ainsi, dans le r f rentiel du conducteur, appara t un champ lectromoteur mE
non conservative, susceptible de mettre en mouvement relatif les porteurs de charges :
r circulation
r
B
r
E
r
v
e
'
=
m
45
Entre A et B, la circulation de ce champ donnera la f m induite entre ces deux points :
r
l
r
l
r
).
dB
'
r
.
dE
m
r
v
e
(
=
+
(
C
)
AB
e
=
AB
+
Pour un circuit mobile ferm :
+
=
e
(
C
AB
(
C
)
AB
r
.
dE
m
r
l
=
+
)
(
C
)
AB
r
v
e
(
r
).
dB
r
l
'
46
Remarque :
On peut montrer que, pour un champ magn tique permanent, la loi de Faraday est
valable :
e
=
d
dt
o d
d placement du circuit pendant lintervalle de temps dt.
repr sente la variation du flux du champ magn tique travers le circuit lors du
47
II) Exemple : barre lanc e sur des rails
La barre (AB), de longueur a et de masse m, de centre de masse dabscisse x(t) et de
&= ) est lanc e avec une vitesse initiale v0 sur des rails m talliques
vitesse
(avec
sur lesquels elle glisse sans frottement.
r
xuv
r
v
=
v
x
Elle constitue avec les rails de r sistance n gligeable un circuit rectangulaire (C) de
r sistance R constante et dinductance n gligeable et dont la surface linstant t est
)(
tS
)(
tax
=
.
r
r
zuBB
=
a
B
r
l
=
d
r
l
yud
r
v
=
r
xuv
A
+
x
Ce circuit est plac dans un champ magn tique permanent
(C).
r
r
zuBB
=
dorigine ext rieure
On souhaite d terminer la f m induite et la loi de vitesse de la barre.
48
" D termination de la f m induite :
1 re m thode de calcul (utilisation de la loi de Faraday) :
Pendant lintervalle de temps dt, la variation du flux magn tique est :
La f m induite vaut donc :
d
=
Ba
dx
=
Bav
dt
e
=
d
dt
=
Bav
2 me m thode de calcul (circulation du champ lectromoteur) :
La circulation du champ lectromoteur entre A et B vaut (elle est nulle le long du reste du
circuit qui, lui, est immobile) :
r
+
l
r
r
).
dBv
r
l
ud
r
uB
dvB
Bav
=
=
uv
+
+
'
'
).
=
=
e
l
(
(
B
B
B
x
y
z
A
A
A
On retrouve bien videmment le m me r sultat.
49
Le circuit peut alors tre mod lis par :
r
r
zuBB
=
B
e
x
Lintensit qui traverse le circuit se calcule par la loi de Pouillet :
A
+
i
e
=
Ri
soit
i
=
Bav
R
Ainsi, pour v > 0, on en tire i < 0 : ce r sultat pouvait tre pr vu laide de la loi de Lenz.
En effet, lorsque la tige se d place vers la droite, le flux inducteur (positif) augmente. Par
cons quent, le flux induit doit tre n gatif, ce qui correspond bien un courant induit
dans le sens n gatif.
50
" Loi de vitesse v(t) :
La barre est soumise (horizontalement du moins) la force de Laplace :
r
r
uaiF
r
uF
r
uB
iaB
r
u
'
=
=
=
x
x
y
z
Ainsi, pour i < 0, F < 0 : ce r sultat peut l encore tre pr vu par la loi de Lenz.
En effet, lapparition dune force de freinage n gative est bien un effet mod rateur
tendant sopposer la mise en mouvement de la barre.
Le th or me du CI appliqu la barre donne enfin :
m
dv
dt
=
iaB
=
22
aB
R
v
soit
dv
dt
=
22
aB
mR
v
Le terme
aB 22
R
joue le m me r le quun coefficient de frottement fluide. On pose
=
mR
22aB
(temps caract ristique du r gime transitoire), alors :
t
v
= 0
ev
51
Remarque : (application de la loi de Lenz aux courants de Foucault)
Selon un principe analogue celui du montage pr c dent, les courants de Foucault induits
dans les conducteurs massifs mobiles dans des champs magn tiques permanents sont
lorigine de forces de Laplace qui tendent sopposer au mouvement qui leur donne
naissance. Tel est le principe du freinage lectromagn tique, utilis notamment pour les
poids lourds et les TGV.
52
53
54
" Aspect nerg tique (exemple de transducteur) :
On reprend l quation lectrique (E) et l quation m canique (M) du circuit :
(E) :
e
=
Ri
=
Bav
et (M) :
m
dv
dt
=
F
=
iaB
Afin de faire intervenir des puissances, on multiplie l quation (E) par i et l quation (M)
par v :
ei
=
Ri
2
=
iBav
et
mv
dv
dt
=
Fv
=
iaBv
On note
Ec =
2
mv
1
2
l nergie cin tique de la barre ; alors :
dEc
dt
=
2Ri
55
L nergie cin tique perdue par la barre se retrouve int gralement sous forme deffet Joule
dans la r sistance : la barre joue le r le de convertisseur d nergie m canique en nergie
lectrique finalement dissip e par effet Joule en chaleur.
On peut galement envisager le cas o la barre est initialement fixe et o lintroduction le
long du circuit dune source de tension (une pile par exemple) engendre un courant. La
barre se met alors en mouvement sous laction des forces de Laplace et le m me syst me
joue le r le de r cepteur en convertissant cette fois de l nergie lectrique en nergie
m canique ; on a en fait le principe dun moteur lectrique.
Dune mani re g n rale, on appelle transducteur lectrom canique un syst me qui est
susceptible de transformer l nergie m canique en nergie lectrique et r ciproquement.
56
III) Rendement fondamental des transducteurs lectrom caniques :
1) Puissance de la f m induite et puissance des forces de Laplace :
On consid re un porteur de charge plong dans un champ magn tique ind pendant du
r par rapport au conducteur, lui-m me se d pla ant la
temps et se d pla ant la vitesse v
vitesse
par rapport au r f rentiel du laboratoire (R0).
r
ev
57
Dans ce r f rentiel, le porteur de charge a une vitesse (
r
(
vq
+
r
v
e
)
'
r
B
Lorentz
dont la puissance est nulle :
r
[
(
vq
r
v
e
+
)
'
r
r
]
.(
vB
r...