Equations différentielles linéaires

Équations différentielles linéaires

Les équations différentielles linéaires sont des équations qui impliquent une fonction inconnue et ses dérivées. Ce document présente les concepts fondamentaux relatifs aux dérivées directionnelles et partielles, ainsi que des exemples d'équations différentielles et des méthodes de résolution. Les étudiants apprendront à identifier et à résoudre ces équations, ainsi qu'à comprendre les notions de continuité et de différentiabilité.

Dérivées suivant un vecteur et dérivées partielles

Dérivée suivant un vecteur

Soit v ∈ E et a ∈ U. On dit que f est dérivable en a suivant le vecteur v si l’application t → f(a + tv) est dérivable en 0. Dans ce cas, on note :

Dvf(a) = lim_t→0 (f(a + tv) − f(a)) / t.

Exemple : Soit f : R² → R définie par f(x, y) = x³. Soit v = (α, β) ∈ R². On étudie Dvf(0, 0).

Remarque : L’existence de dérivées suivant tout vecteur n’entraîne pas la continuité.

Dérivées partielles

On dit que f admet en a une dérivée partielle par rapport à sa i-ème variable si f est dérivable en a suivant le vecteur e_i et se note :

∂f/∂x_i(a) = De_if(a) = lim_t→0 (f(a + te_i) − f(a)) / t.

Exemple : Soit f : R² → R définie par f(x, y) = xy. On étudie ∂f/∂x(0, 0) et ∂f/∂y(0, 0).

Remarque : L’existence de dérivées partielles en un point n’entraîne pas la continuité en ce point.

Fonctions différentiables et différentielles

Différentielle en un point

Soit a ∈ U. On dit que f est différentiable en a s’il existe une application linéaire L : E → F et une application ε : V → F vérifiant :

f(a + h) = f(a) + L(h) + ||h||ε(h).

Exercice : Étudier la différentielle en un point pour les exemples suivants :

• Soit (E, ⟨., .⟩) un espace euclidien et f : E → R : x ↦ ||x||².
• Soit f : E → F une fonction constante.
• Soit f : E → F une application linéaire.

Différentielle d’une fonction sur un ouvert

On dit que f est différentiable sur U si f est différentiable en chaque point de a ∈ U. La différentielle de f sur U est notée :

df : U → L(E, F) : a ↦ df(a).

Exemple : Pour (x, y) ∈ R², on pose f(x, y) = xe^{x2 + y2}. Alors f est différentiable sur R².

Opérations sur les fonctions différentiables

Soit a ∈ U. Si f : U → F et g : U → F sont différentiables en a, alors toute combinaison linéaire λf + µg est différentiable en a et on a :

d(λf + µg)(a) = λdf(a) + µdg(a).

Si f et g sont différentiables en a, alors B(f, g) est différentiable en a et on a :

dB(f, g)(a) = B(df(a), g(a)) + B(f(a), dg(a)).

Règle de la chaîne

Si g : V → G est différentiable et f est différentiable en a, alors g ◦ f est différentiable en a et on a :

d(g ◦ f)(a) = dg(f(a)) ◦ df(a).

Exemples de résolutions d’équations aux dérivées partielles

Une équation aux dérivées partielles est une équation dont l’inconnue est une fonction de plusieurs variables. Par exemple, en physique, l’équation de la diffusion thermique s’écrit :

∂²T/∂x² = 1/ρc ∂²u/∂t².

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une équation différentielle ?

Une équation différentielle est une équation qui relie une fonction inconnue et ses dérivées. Elle est utilisée pour modéliser des phénomènes variés dans les sciences appliquées.

Comment résoudre une équation différentielle ?

La résolution d'une équation différentielle dépend de son type. Pour les équations linéaires, on peut utiliser des méthodes comme la séparation des variables ou la méthode de variation des constantes.

Quelle est la différence entre dérivées partielles et dérivées directionnelles ?

Les dérivées partielles mesurent le changement d'une fonction par rapport à une seule variable, tandis que les dérivées directionnelles mesurent le changement dans une direction donnée, prenant en compte plusieurs variables.

Quels sont les exemples d'équations différentielles ?

Des exemples incluent l'équation de la chaleur, l'équation de diffusion et l'équation de propagation des ondes. Chacune a des méthodes de résolution spécifiques.