TP de Maple : Approximation, s´eries de Fourier
c(cid:13) Dikanaina Harrivel, prot´eg´e par la GNU Free Documentation License
source disponible sur http://www.velvia.org
Soit f : R → R une fonction 2π-p´eriodique int´egrable sur [−π, π]. On d´efinit les coefficients
2 Ph´enom`ene de Gibbs
de Fourier en cosinus et sinus (an(f ))n∈N et (bn(f ))n∈N∗ de la fonction f par
π
1. Tracez sur [−π, π] la fonction ϕ(x) = −x + π x
|x| .
an(f ) =
bn(f ) =
1
2π Z
1
2π Z
−π
π
−π
f (x) cos(nx)dx
Publicité
f (x) sin(nx)dx
Ainsi que les sommes partielles de Fourier Sn(f ) par
n
Sn(f )(x) = a0(f ) + 2
[ak(f ) cos(k.x) + bk(f ) sin(k.x)]
Xk=1
Nous allons chercher `a ´etudier avec Maple certaines propri´et´es de ces sommes partielles.
1 Quelques routines
1. Construisez une fonction coefcos(f,n) qui ´etant donn´e une fonction f et un entier n
calcule le coefficient en cosinus an(f ) de f. Faites de mˆeme une fonction coefsin(f,x)
calculant le coefficient en sinus bn(f ).
2. ´Ecrivez une fonction seriefourier(f,n) qui `a une fonction f et un entier n associe
la fonction Sn(f ) qui est la somme partielle de la s´erie de Fourier de f .
Tester rapidement votre proc´edure en calculant les coefficients de Fourier de la fonc-
tion sin et cos. Quel est le 25 ieme coefficient en cosinus et en sinus de la fonction
x → x8 + 6x2 + 1 ? Donnez en fonction de n les nieme coefficients de Fourier en sinus et
cosinus de la fonction x → x. sin(x).
3. Cr´eez une liste des 10 graphiques obtenus en tra¸cant le graphe des fonctions Sn(exp) et
exp sur [−π, π] pour n = 1..10. Creez alors une animation permettant de voir l’´evolution
des graphes lorsque n augmente 1.
2. Calculez le nieme coefficient de Fourier de ϕ. D´eduisez-en la somme partielle Sn(ϕ)(x)de
la s´erie de fourier de ϕ (faites le formellement) puis calculez la d´eriv´ee de cette somme
Publicité
partielle Sn(ϕ)0(x).
3. Cherchez le premier point xn ∈ [0, π] o`u Sn(ϕ) admet un extremum local. Quelle est la
valeur de yn = Sn(ϕ) en ce point ?
4. d´eterminez la limite de yn lorsque n → ∞. En quoi ce r´esultat est-il surprenant ?
5. A l’aide de la proc´edure evolution(f,n) visualisez le comportement de la suite des
sommes partielles sur cet exemple. Dans quels exemples de l’exercice pr´ec´edent un com-
portement similaire ´etait-il visible ?
3 Approximations de fonctions par des polynˆomes
Le th´eor`eme de Stone-Weierstrass nous assure que toute fonction continue sur un compact
de R est uniform´ement approchable par des fonctions polynomiales sur ce compact. Dans la
pratique, il n’est pas ´evident de trouver des polynˆomes approximants. Nous nous baserons
sur l’exemple suivant
f (x) =
1
x2 + 1
(1)
3.1 D´eveloppement de Taylor
1. D´efinir la fonction f et tracer son graphe sur [−5, 5].
4. ´Ecrivez une proc´edure evolution(f,n) automatisant le proc´ed´e, c’est-`a-dire ´etant
donn´e une fonction f et un entier n cr´ee l’animation associ´ee. Testez votre proc´edure
sur plusieurs exemples.
2. A l’aide de la commande taylor, trouvez la partie r´eguli`ere T du d´eveloppement limit´e
Publicité
de f au voisinage de 0 `a l’ordre 10. Tracer sur un mˆeme graphique le graphe de f et de
T sur l’intervalle [−1, 1] puis sur [−5, 5].
1Vous pouvez utiliser l’option insequence=true de la fonction display.
3.2 Interpolation
3.3 Variante : les points de Tchebychev
1. ´Ecrire une proc´edure lagrange(f,n,minimum,maximum) qui ´etant donn´e la fonction f ,
l’entier n et les bornes r´eelles min et max renvoit l’unique polynˆome P de degr´e ≤ n
tel que :
Cette m´ethode s’inspire de la pr´ec´edente, mais les points d’interpolation ne sont plus les
mˆemes. ´Ecrire une proc´edure tchebychev(f,n,minumum,maximum) renvoyant l’unique po-
lynˆome ˜P de degr´e inf´erieur `a n tel que
∀k ∈ J0, nK P
min +
(cid:18)
k
n
(max − min)
(cid:19)
= f
min +
(cid:18)
k
Publicité
n
(max − min)
(cid:19)
o`u pour tout k ∈ J0, nK le r´eel zk est d´efini par
∀k ∈ J0, nK
˜P (zk) = f (zk)
(Question subsidiaire : ce polynˆome existe t-il ? Pourquoi ?) On pourra utiliser la fonc-
tion interp de Maple.
zk =
1
2 (cid:20)
(min + max) + (max − min) cos
(2k + 1)
2n + 2 (cid:19)(cid:21)
π
(cid:18)
2. Tracer alors sur [−5, 5] la fonction f d´efinie par (1) et les polynˆomes obtenus par la
proc´edure pr´ec´edente pour n =4, 10, 20, 50.
Visualisez les r´esultats obtenus pour n =4, 10, 20, 50, et comparez aux r´esultats obtenus dans
la section pr´ec´edente.