TP de Maple : Approximation, séries de Fourier

Nous allons chercher à étudier avec Maple certaines propriétés de ces sommes partielles.

1 Quelques routines

1. Construisez une fonction coefcos(f,n) qui étant donné une fonction f et un entier n

calcule le coefficient en cosinus an(f ) de f. Faites de même une fonction coefsin(f,x)

calculant le coefficient en sinus bn(f ).

2. Écrivez une fonction seriefourier(f,n) qui à une fonction f et un entier n associe

la fonction Sn(f ) qui est la somme partielle de la série de Fourier de f .

Tester rapidement votre procédure en calculant les coefficients de Fourier de la fonc-

tion sin et cos. Quel est le 25 ieme coefficient en cosinus et en sinus de la fonction

x → x8 + 6x2 + 1 ? Donnez en fonction de n les nieme coefficients de Fourier en sinus et

cosinus de la fonction x → x. sin(x).

3. Créez une liste des 10 graphiques obtenus en traçant le graphe des fonctions Sn(exp) et

exp sur [−π, π] pour n = 1..10. Creez alors une animation permettant de voir l’évolution

des graphes lorsque n augmente 1.

2. Calculez le nieme coefficient de Fourier de ϕ. Déduisez-en la somme partielle Sn(ϕ)(x)de

la série de fourier de ϕ (faites le formellement) puis calculez la dérivée de cette somme

partielle Sn(ϕ)0(x).

3. Cherchez le premier point xn ∈ [0, π] où Sn(ϕ) admet un extremum local. Quelle est la

valeur de yn = Sn(ϕ) en ce point ?

4. déterminez la limite de yn lorsque n → ∞. En quoi ce résultat est-il surprenant ?

5. A l’aide de la procédure evolution(f,n) visualisez le comportement de la suite des

sommes partielles sur cet exemple. Dans quels exemples de l’exercice précédent un com-

portement similaire était-il visible ?

3 Approximations de fonctions par des polynômes

Le théorème de Stone-Weierstrass nous assure que toute fonction continue sur un compact

de R est uniformément approchable par des fonctions polynomiales sur ce compact. Dans la

pratique, il n’est pas évident de trouver des polynômes approximants. Nous nous baserons

sur l’exemple suivant

f (x) =

1

x2 + 1

(1)

3.1 Développement de Taylor

1. Définir la fonction f et tracer son graphe sur [−5, 5].

4. Écrivez une procédure evolution(f,n) automatisant le procédé, c’est-à-dire étant

donné une fonction f et un entier n crée l’animation associée. Testez votre procédure

sur plusieurs exemples.

2. A l’aide de la commande taylor, trouvez la partie régulière T du développement limité

de f au voisinage de 0 à l’ordre 10. Tracer sur un même graphique le graphe de f et de

T sur l’intervalle [−1, 1] puis sur [−5, 5].

1Vous pouvez utiliser l’option insequence=true de la fonction display.

3.2 Interpolation

3.3 Variante : les points de Tchebychev

1. Écrire une procédure lagrange(f,n,minimum,maximum) qui étant donné la fonction f ,

l’entier n et les bornes réelles min et max renvoit l’unique polynôme P de degré ≤ n

tel que :

Cette méthode s’inspire de la précédente, mais les points d’interpolation ne sont plus les

mêmes. Écrire une procédure tchebychev(f,n,minumum,maximum) renvoyant l’unique po-

lynôme ˜P de degré inférieur à n tel que

∀k ∈ J0, nK P

min +

(cid:18)

k

n

(max − min)

(cid:19)

= f

min +

(cid:18)

k

n

(max − min)

(cid:19)

où pour tout k ∈ J0, nK le réel zk est défini par

∀k ∈ J0, nK

˜P (zk) = f (zk)

(Question subsidiaire : ce polynôme existe t-il ? Pourquoi ?) On pourra utiliser la fonc-

tion interp de Maple.

zk =

1

2 (cid:20)

(min + max) + (max − min) cos

(2k + 1)

2n + 2 (cid:19)(cid:21)

π

(cid:18)

2. Tracer alors sur [−5, 5] la fonction f définie par (1) et les polynômes obtenus par la

procédure précédente pour n =4, 10, 20, 50.

Visualisez les résultats obtenus pour n =4, 10, 20, 50, et comparez aux résultats obtenus dans

la section précédente.