Concours National Commun – Session 2019 – MP

L’énoncé de cette épreuve, particuliere aux candidats de la filiere MP,

comporte 3 pages.

L’usage de tout matériel électronique, y compris la calculatrice, est interdit

Les candidats sont informés que la qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et la précision

des raisonnements constitueront des éléments importants pour l’appréciation des copies. Il convient en

particulier de rappeler avec précision les références des questions abordées.

Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale

sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Le sujet de cette épreuve est composé d’un exercice et d’un problème indépendants entre eux.

Exercice

(Noté sur 04 points sur 20)





Soit A =



 ∈ M3(R) ; on note v l’endomorphisme de R3 canoniquement associé à A.

3 1 −1

1 1

2 0

1.1. Calculer le polynôme caractéristique χA de la matrice A et en déduire que A possède une seule

valeur propre λ à préciser.

1.2. Déterminer Ker (v − λ idR3), le sous-espace propre de v associé à son unique valeur propre λ.

1.3. La matrice A est-elle diagonalisable dans M3(R) ? Est-elle trigonalisable dans M3(R) ?

1.4. On considère l’endomorphisme u = v − 2 idR3 et on pose e1 = (1, 0, 0).

1.4.1. Montrer que l’endomorphisme u est nilpotent.

1.4.2. Déterminer le noyau de l’endomorphisme u2 puis vérifier que e1 (cid:54)∈ Ker u2.

1.4.3. Montrer que la famille B = (cid:0)u2(e1), u(e1), e1

dans la base B, puis exprimer la matrice A en fonction de T .

(cid:1) est une base de R3 et écrire la matrice T de v

1.4.4. Calculer l’exponentielle de la matrice A. On rappelle que exp(A) =

+∞

(cid:88)

k=0

Ak.

Problème

Déterminants de Cauchy et de Gram

Application au calcul de la distance à un sous-espace vectoriel

Pour tout p ∈ N∗, on note Mp(R) l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre p à coefficients

réels ; la matrice identité de Mp(R) se notera Ip. Si M ∈ Mp(R), on note det M son déterminant et tM

sa transposée.

1ère Partie

Calcul du déterminant de Cauchy

On considère un entier n (cid:62) 2 et deux suites finies (ak)1(cid:54)k(cid:54)n et (bk)1(cid:54)k(cid:54)n de réels telles que ai + bj (cid:54)= 0

pour tout couple (i, j) ∈ {1, . . . , n}2. Pour tout entier m tel que 0 < m (cid:54) n, le déterminant de Cauchy

d’ordre m, associé aux familles (ak)1(cid:54)k(cid:54)n et (bk)1(cid:54)k(cid:54)n, est le nombre, noté ∆m, égal au déterminant de

la matrice

(cid:16) 1

(cid:17)

ai+bj

1(cid:54)i,j(cid:54)m

2.1. On suppose qu’il existe (i1, i2) ∈ {1, . . . , n}2, avec i1 (cid:54)= i2, tel que ai1 = ai2. Justifier que ∆n = 0.

On suppose désormais que les réels a1, . . . , an sont deux a deux distincts et on considere la fraction

rationnelle

R =

(cid:81)n−1

j=1 (X − bj)

k=1(X + ak)

(cid:81)n

Épreuve de Mathématiques II

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2.2. Justifier que les polynômes

n−1

(cid:89)

(X − bk) et

(cid:89)

(X + ak) de R[X] sont premiers entre eux.

2.3. Décomposition en éléments simples de la fraction R

k=1

2.3.1. Préciser les pôles de la fraction rationnelle R et vérifier qu’ils sont tous simples.

2.3.2. En déduire que la décomposition en éléments simples, dans R(X), de la fraction R est de la

forme R =

(cid:88)

k=1

αk

X + ak

en précisant les expressions des réels αk en fonction des ak et des bk.

2.4. Application au calcul de ∆n

(cid:12)

2.4.1. Montrer que αn∆n =

· · ·

a1+b1

...

a1+bn−1

...

an−1+b1

R(b1)

· · ·

an−1+bn−1

· · · R(bn−1)

a1+bn

...

an−1+bn

R(bn)

(cid:12)

2.4.2. En déduire que αn∆n = R(bn)∆n−1.

2.4.3. Calculer ∆2 puis montrer que, pour tout n (cid:62) 2, ∆n =

(cid:81)

1(cid:54)i<j(cid:54)n(aj − ai)(bj − bi)

1(cid:54)i,j(cid:54)n(ai + bj)

(cid:81)

2ème Partie

Matrice et déterminant de Gram

Expression de la distance euclidienne à un sous-espace vectoriel

Dans cette partie, E désigne un espace préhilbertien réel ; son produit scalaire sera noté ( . | . ) et la

norme associée se notera (cid:107).(cid:107). Si F est un sous-espace vectoriel de E, de dimension finie , pF désigne la

projection orthogonale sur F .

Soit p un entier (cid:62) 2. Pour tout (u1, . . . , up) ∈ Ep, on note G(u1, . . . , up) = (cid:0)(ui|uj)(cid:1)

1(cid:54)i,j(cid:54)p la matrice

de Mp(R) de terme général (ui|uj). G(u1, . . . , up) s’appelle la matrice de Gram des vecteurs u1, . . . , up ;

le déterminant de cette matrice, noté |G(u1, . . . , up)|, s’appelle déterminant de Gram.

3.1. Cas p = 2

Soit (u1, u2) ∈ E2. Justifier que |G(u1, u2)| (cid:62) 0 et que |G(u1, u2)| = 0 si, et seulement si, la famille

(u1, u2) est liée.

3.2. Vérifier que, pour tout (u1, . . . , up) ∈ Ep, la matrice G(u1, . . . , up) est symétrique.

3.3. Cas d’une famille liée

Soit (u1, . . . , up) ∈ Ep.

3.3.1. Soit i ∈ {1, . . . , p} et soit (λj)j(cid:54)=i une famille quelconque de p − 1 réels ; on pose wk = uk si

k ∈ {1, . . . , p} \ {i} et wi = ui +

λjuj. Montrer que

|G(w1, . . . , wp)| = |G(u1, . . . , up)|.

(cid:88)

3.3.2. En déduire que si la famille (u1, . . . , up) est liée, alors |G(u1, . . . , up)| = 0.

j(cid:54)=i

3.4. Cas d’une famille libre

On considère ici une famille libre (u1, . . . , up) d’éléments de E et on note (e1, . . . , ep) une base ortho-

1(cid:54)i,j(cid:54)p ∈ Mp(R) la matrice dont les

normée du sous-espace vectoriel Vect({u1, . . . , up}). Soit B = (cid:0)bi,j

(cid:1)

coefficients sont tels que, pour tout j ∈ {1, . . . , p}, uj =

bk,j ek.

(cid:88)

3.4.1. Pour tout couple (i, j) d’éléments de {1, . . . , p}, exprimer le produit scalaire (ui|uj) à l’aide

k=1

des coefficients de la matrice B.

3.4.2. En déduire que G(u1, . . . , up) = tBB.

3.4.3. Montrer alors que |G(u1, . . . , up)| > 0.

3.5. Application au calcul de la distance à un sous-espace vectoriel

On considère un sous-espace vectoriel F de E, de dimension finie n (cid:62) 2, et on note (v1, . . . , vn) une

base quelconque de F .

Épreuve de Mathématiques II

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−→

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3.5.1. Montrer que, pour tout x ∈ E,

3.5.2. En déduire que, pour tout x ∈ E, la distance du vecteur x au sous-espace vectoriel F , notée

d(x, F ), est donnée par :

(cid:115)

d(x, F ) =

|G(v1, . . . , vn, x)|

|G(v1, . . . , vn)|

3.6. Un exemple de matrice de Gram

Soit n un entier naturel ≥ 2 ; on note (e1, . . . , en) la base canonique de Rn et < , > son produit scalaire

canonique. On note An la matrice de Mn(R) de terme général ai,j = min(i, j) pour (i, j) ∈ {1, . . . , n}2,

et on considère les vecteurs v1, . . . , vn de Rn définis par :

∀ k ∈ {1, . . . , n},

vk =

(cid:88)

ei.

i=1

3.6.1. Montrer que (v1, . . . , vn) est une famille libre de Rn.

3.6.2. Calculer le produit scalaire <vi, vj>, pour tout (i, j) ∈ {1, . . . , n}2 ; en déduire que An est une

matrice de Gram.

3.6.3. Montrer que la matrice An est orthogonalement diagonalisable et que ses valeurs propres sont

strictement positives.

3ème Partie

Application au calcul d’un minimum

On note R[X] l’espace vectoriel réel des polynômes à coefficients dans R. Pour tout k ∈ N, l’élément

X k de la base canonique de R[X] se notera Pk ; en particulier, P0 = 1.

On considère l’application ( . | . ) définie sur R[X]2 par : (P |Q) =

(cid:90) 1

P (t)Q(t) dt,

(P, Q) ∈ R[X]2.

4.1. Montrer que ( . | . ) est un produit scalaire sur l’espace vectoriel réel R[X].

4.2. Calcul d’une distance

Soit p un entier (cid:62) 2 et soit (nk)1≤k≤p une suite finie d’entiers naturels deux à deux distincts.

4.2.1. Pour tout (i, j) ∈ {1, . . . , p}2, exprimer le produit scalaire (Pni|Pnj ) en fonction de ni et nj.

4.2.2. En utilisant les résultats de la première partie, exprimer le déterminant de la matrice de Gram

G(Pn1, . . . , Pnp) en fonction des entiers n1, . . . , np .

4.2.3. Montrer que (cid:0)Pn1, . . . , Pnp

4.2.4. On note Wp le sous-espace vectoriel de R[X] engendré par la famille (cid:0)Pn1, . . . , Pnp

(cid:1) est une famille libre de R[X].

(cid:1).

Montrer que, pour tout entier naturel r, d(Pr, Wp) =

√

2r + 1

(cid:89)

k=1

|nk − r|

nk + r + 1

4.3. Application au calcul d’un minimum

Soit n un entier (cid:62) 2 et soit ψ : Rn −→ R l’application définie par :

∀ (a1, . . . , an) ∈ Rn, ψ(a1, . . . , an) =

(cid:90) 1

(cid:16)

1 − a1t − · · · − antn(cid:17)2

dt.

4.3.1. À l’aide d’une interprétation euclidienne, montrer qu’il existe un unique point (a1, . . . , an) de

Rn en lequel l’application ψ atteint son minimum, autrement dit :

ψ(a1, . . . , an) =

inf

(x1,...,xn)∈Rn

ψ(x1, . . . , xn)

4.3.2. Calculer ψ(a1, . . . , an) en fonction de n.

Fin de l’épreuve

Épreuve de Mathématiques II

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Fin