Transformée de Fourier des Fonctions et Produit de Convolution

Ce document traite de la transformée de Fourier des fonctions, en particulier pour les signaux non périodiques, ainsi que du produit de convolution. Il s'adresse aux étudiants en première année d'analyse de Fourier, souhaitant comprendre les définitions, propriétés, et applications fondamentales de ces outils mathématiques essentiels en traitement du signal et en analyse fonctionnelle.

Transformée de Fourier des Fonctions

La transformée de Fourier généralise la décomposition en séries de Fourier aux fonctions non périodiques. Pour un signal périodique de période a, les fréquences sont discrètes, multiples de 1/a, et le signal peut s'écrire comme une somme de ses harmoniques :

cₙ(f) = (1/a) ∫₀ᵃ f(t) e^(-2iπn t/a) dt
f(t) = Σₙ cₙ(f) e^(2iπn t/a)

Pour un signal non périodique, il n’y a plus de fréquences privilégiées, et on cherche la répartition continue des fréquences sur ℝ. La transformée de Fourier de f est alors définie par :

f(λ) = ∫_ℝ f(t) e^(-2iπλt) dt,  ∀ λ ∈ ℝ

On peut reconstruire f à partir de sa transformée par la formule inverse :

f(t) = ∫_ℝ f(λ) e^(+2iπλt) dλ

Définition et terminologie

Soit f une fonction intégrable sur ℝ (f ∈ L¹(ℝ)), la transformée de Fourier est :

f(λ) = ∫_ℝ f(t) e^(-2iπλt) dt

Exemple fondamental : la fonction porte Πₐ définie par :

Πₐ(t) = 1 si t ∈ [-a/2, a/2], 0 sinon,  a > 0

Sa transformée de Fourier est :

Πₐ(λ) = (sin(πaλ)) / (πλ),  avec  Πₐ(0) = a

On écrit la transformée sous forme polaire :

f(λ) = A(λ) e^{iφ(λ)} avec A(λ) > 0

• A(λ) : spectre de f
• A²(λ) : énergie spectrale de f
• φ(λ) : phase spectrale de f

Propriétés communes à toute transformée de Fourier

• La transformée f(λ) est continue sur ℝ.
• La transformée tend vers 0 à l'infini : lim_{λ→±∞} f(λ) = 0.
• On a la majoration ||f||_∞ ≤ ||f||_1.

Par exemple, Πₐ(λ) est continue, notamment en λ=0 grâce à l’approximation sin(πaλ) ~ πaλ près de 0.

Propriétés algébriques de la transformée de Fourier

Soit f ∈ L¹(ℝ) avec transformée f(λ) = A(λ) e^{iφ(λ)} :

• Conjugaison : La transformée de la fonction conjuguée est donnée par :

(f̅)(λ) = overline{f(-λ)}

Si f est réelle, alors :

f(λ) = overline{f(-λ)},  A(λ) = A(-λ),  φ(λ) = -φ(-λ) (mod 2π)

• Symétrisation : Si f_σ(x) = f(-x), alors :

(f_σ)(λ) = f(-λ)

• Translation : Pour τ_a(f)(x) = f(x - a), on a :

(τ_a(f))(λ) = e^{-2iπλa} f(λ)

La translation modifie la phase spectrale en ajoutant -2πλa.

• Parité : La transformée de Fourier échange les propriétés de parité :

• f paire réelle → f̂ paire réelle
• f impaire réelle → f̂ impaire imaginaire pure

Transformée de Fourier et Dérivation

Soit f ∈ L¹(ℝ) telle que t ↦ t f(t) ∈ L¹(ℝ), alors :

d/dλ f(λ) = -2iπ ∫_ℝ t f(t) e^{-2iπλt} dt = -2iπ (t f(t))̂ (λ)

Plus généralement, pour n ∈ ℕ :

dⁿ/dλⁿ f(λ) = (-2iπ)ⁿ ∫_ℝ tⁿ f(t) e^{-2iπλt} dt = (-2iπ)ⁿ (tⁿ f(t))̂ (λ)

Inversement, si f est dérivable et f', t ↦ f'(t) ∈ L¹(ℝ), alors :

(f')(λ) = 2iπλ f(λ)

Cette propriété s’étend aux dérivées d’ordre n :

(f^{(n)})(λ) = (2iπλ)ⁿ f(λ)

Exemple : Pour f(t) = e^{-t²}, on a :

f̂(λ) = √π e^{-π² λ²}

et pour f'(t) = -2t e^{-t²} :

(f')̂(λ) = 2iπλ √π e^{-π² λ²}

Formule d’inversion de la transformée de Fourier

Soit f ∈ L¹(ℝ) ∩ L¹(ℝ) (fonction intégrable), on définit la transformée de Fourier inverse :

F* (f)(λ) = ∫_ℝ f(t) e^{+2iπλt} dt

Le théorème d’inversion affirme :

• Pour presque tout t ∈ ℝ :

f(t) = ∫_ℝ f̂(λ) e^{+2iπλt} dλ

• Si t est un point de continuité de f, l’égalité est vraie en t.

Exemple : Pour f(t) = e^{-|t|}, on a :

f̂(λ) = 2 / (1 + 4π² λ²)

et la formule d’inversion donne :

e^{-|t|} = ∫_ℝ (2 / (1 + 4π² λ²)) e^{+2iπλt} dλ

Par symétrie, la partie en sinus disparaît, et on obtient :

e^{-|t|} = 2 ∫₀^∞ (cos(2πλt) / (1 + 4π² λ²)) dλ

Injectivité et symétrisation

Si f, g ∈ L¹(ℝ) ont même transformée de Fourier, alors f = g presque partout.

De plus, la transformée de Fourier appliquée deux fois donne la symétrisation :

(F ∘ F)(f) = f_σ,  avec  f_σ(t) = f(-t)

Transformée de Fourier dans L²(ℝ)

Pour f ∈ L²(ℝ), la transformée de Fourier est définie différemment mais possède les propriétés :

• F est un opérateur linéaire de L²(ℝ) dans L²(ℝ).
• Formule de Parseval-Plancherel :

∫_ℝ f(t) g(t) dt = ∫_ℝ f̂(λ) ĝ(λ) dλ

∫_ℝ |f(t)|² dt = ∫_ℝ |f̂(λ)|² dλ

• La transformée inverse existe et F* ∘ F = Id presque partout.
• Si f ∈ L¹(ℝ) ∩ L²(ℝ), les deux définitions coïncident.

Exemple : Pour f = I_{[-1,1]} ∈ L²(ℝ), on a :

f̂(λ) = (sin(2πλ)) / (πλ)

Tableau de Transformées de Fourier

Fonction f(t)	Transformée f̂(λ)
Πₐ(t) = I_{[-a/2, a/2]}(t)	(sin(πaλ)) / (πλ)
e^{-a t} I_{ℝ⁺}(t), a > 0	1 / (a + 2iπλ)
e^{-a|t|}, a > 0	2a / (a² + 4π² λ²)
e^{-a t²}, a > 0	√(π/a) e^{-π² λ² / a}
t^k e^{-a t} I_{ℝ⁺}(t), k ∈ ℕ	k! / (a + 2iπλ)^{k+1}

Produit de Convolution

Définition et existence

Soient f et g deux fonctions de ℝ dans ℝ, leur produit de convolution est défini par :

(f ⋆ g)(x) = ∫_ℝ f(x - t) g(t) dt = ∫_ℝ f(u) g(x - u) du

Exemple : Calcul du produit de convolution entre

f(x) = λ e^{-λ x} I_{ℝ⁺}(x),  g(x) = μ e^{-μ x} I_{ℝ⁺}(x),  λ = μ

On a :

f ⋆ g (x) = ∫₀ˣ λ e^{-λ(x - t)} μ e^{-μ t} dt = λ μ e^{-λ x} ∫₀ˣ e^{(λ - μ) t} dt

Si λ = μ :

f ⋆ g (x) = λ² x e^{-λ x} I_{ℝ⁺}(x)

Conditions d'existence

• Si f et g sont continues et l’une a un support compact, alors f ⋆ g est définie partout.
• Si f, g ∈ L¹(ℝ), alors f ⋆ g est définie presque partout, appartient à L¹(ℝ), et on a :

||f ⋆ g||₁ ≤ ||f||₁ ||g||₁

Convolution et Transformée de Fourier

La transformée de Fourier échange convolution et multiplication :

• Si f, g ∈ L¹(ℝ), alors :

F(f ⋆ g)(λ) = F(f)(λ) × F(g)(λ)

• Si f, g, fg ∈ L¹(ℝ), alors :

F(f g)(λ) = F(f) ⋆ F(g)(λ)

• Si f, g ∈ L²(ℝ), alors :

F(f ⋆ g) = F(f) × F(g),  mais  F(f g) ≠ F(f) ⋆ F(g) en général

Exemple d’utilisation : résolution d’une équation différentielle

Considérons l’équation :

(1/ω²) g''(t) + g(t) = f(t),  avec  f ∈ L¹(ℝ)

En appliquant la transformée de Fourier :

(1/ω²)(2iπλ)² 𝑔̂(λ) + 𝑔̂(λ) = 𝑓̂(λ)
⇔ 𝑔̂(λ) = 𝑓̂(λ) / (1 + 4π² λ² / ω²)

La fonction :

h(t) = (ω/2) e^{-ω |t|}

a pour transformée :

ĥ(λ) = 1 / (1 + 4π² λ² / ω²)

Donc :

𝑔̂(λ) = ĥ(λ) × 𝑓̂(λ) = F(h ⋆ f)(λ)

Par injectivité de la transformée de Fourier :

g = h ⋆ f

Autrement dit, la solution s’écrit :

g(x) = (ω/2) ∫_ℝ e^{-ω |x - t|} f(t) dt

Glossaire des termes clés

• Transformée de Fourier : Opérateur intégral qui associe à une fonction f une fonction f̂ définie par f̂(λ) = ∫ f(t) e^{-2iπλt} dt.
• Transformée de Fourier inverse : Opérateur inverse permettant de reconstruire f à partir de f̂.
• Spectre : Module A(λ) de la transformée de Fourier, représentant l’amplitude des fréquences.
• Phase spectrale : Argument φ(λ) de la transformée de Fourier, représentant le déphasage des composantes fréquentielles.
• Produit de convolution : Opération définie par (f ⋆ g)(x) = ∫ f(x - t) g(t) dt, modélisant la réponse d’un système linéaire invariant dans le temps.
• Support compact : Ensemble fermé et borné en dehors duquel la fonction est nulle.
• Fonction porte Πₐ : Fonction égale à 1 sur [-a/2, a/2] et 0 ailleurs.
• Fonction indicatrice I_A : Fonction valant 1 sur l’ensemble A et 0 ailleurs.
• Fonction paire/impair : f paire si f(-t) = f(t), f impaire si f(-t) = -f(t).
• Fonction à support compact : Fonction nulle en dehors d’un intervalle borné.
• Fonction intégrable L¹(ℝ) : Fonction dont la valeur absolue est intégrable sur ℝ.
• Fonction de carré intégrable L²(ℝ) : Fonction dont le carré est intégrable sur ℝ.
• Formule de Parseval-Plancherel : Égalité entre l’énergie d’un signal dans le domaine temporel et dans le domaine fréquentiel.
• Symétrisation : Opération f_σ(t) = f(-t).

Points clés à retenir

• La transformée de Fourier étend la décomposition en fréquences aux fonctions non périodiques.
• La transformée inverse permet de reconstruire la fonction d’origine à partir de son spectre.
• La transformée de Fourier est continue, tend vers zéro à l’infini, et respecte des propriétés algébriques simples (conjugaison, translation, symétrisation).
• La transformée échange la dérivation et la multiplication par t, facilitant l’étude des équations différentielles.
• Le produit de convolution modélise la sortie d’un système linéaire invariant, et sa transformée est le produit des transformées.
• La formule d’inversion est valable presque partout, et partout aux points de continuité.
• La transformée de Fourier est injective sur L¹(ℝ), garantissant l’unicité du spectre.
• Dans L²(ℝ), la transformée est un opérateur unitaire, avec conservation de l’énergie (Parseval).
• Les tables de transformées permettent de calculer rapidement les transformées de fonctions usuelles.
• La convolution est essentielle pour résoudre des équations différentielles linéaires via la transformée de Fourier.