Transformée de Fourier des Fonctions et Produit de Convolution

−∞

(cid:1)

fσ (t) e−2iπλt dt =

t on a du =

−

−

+∞

+∞

−∞

(cid:1)

f (

t) e−2iπλt dt

−

Par le changement de variables u =

(cid:13)

dt et en même temps les bornes sont changées,

(fσ) (λ) =

f (u) e2iπλu du =

f (

λ) =

f

(λ)

σ (cid:15) Par exemple, on lit dans le tableau des transformations de Fourier, que la transformée de Fourier de (cid:3) (a+2iπλ) . Alors fσ (t) = eatIR− (t) aura pour transformée de f (t) = e−atIR+ (x) est donnée par Fourier, la fonction

(cid:13)

(fσ) (λ) =

−∞

(cid:14)

(cid:1)

(cid:3)

1

−

f(λ) = 1 (a−2iπλ) . (cid:3)

(cid:13)

3.4 Transformée de Fourier et Dérivation

La transformée de Fourier a d’importantes propriétés en liaison avec la dérivation. Celles-ci sont

réunies dans la proposition suivante. On a deux types de résultats : l’un portant sur la dérivée d’une

transformée de Fourier, l’autre sur la transformée de Fourier de la dérivée.

f

(cid:3)

(cid:14)

σ (cid:15) (cid:3)

Première Année à Distance - Module Analyse de Fourier - Transformée de Fourier et Convolution 41

Proposition 3 i) Soit f une fonction de

Alors

f(λ) est dérivable sur R et l’on a

1 (R) et supposons de plus que tf(t) soit aussi dans

L

1 (R) .

L

(cid:3)

d dλ

f (λ)

=

f(λ)

′

=

2iπt) f (t) e−2iπλt dt

R

λ

∀

∈

( −

R

(cid:1)

(cid:17) Il est utile de lire cette formule de la façon suivante (à écrire et à bien comprendre)

(cid:15)

(cid:14)

(cid:3)

(cid:3)

(cid:16)

tf (t)

F →

1 2iπ)

( −

d dλ

Ceci se généralise facilement pour la dérivée d’ordre n.

f(λ)

(cid:14)

(cid:3)

(cid:15)

ii) Soit f une fonction de

k = 1,

· · ·

, n. Alors, la fonction

1 (R) et supposons de plus que tkf(t) soit aussi dans L f(λ) est n fois dérivable sur R et l’on a

1 (R), pour

L

2iπt)k f(t) e−2iπλt dt

( −

R

λ

∀

∈

R

(cid:1)

d dλk

que l’on peut écrire

f(λ)

(cid:3) =

f(λ)

(k)

=

(cid:14)

(cid:3)

(cid:17)

(cid:15)

(cid:16)

(cid:3) tkf(t)

iii) Soit f une fonction de

L

F →

1 2iπ)k

d dλk

( −

(cid:14) 1 (R) et supposons de plus que f

[f ′](λ) = (2iπλ)

f(λ)

λ

∀

∈

f(λ)

(cid:3) ∈ C R

(cid:15) 1 (R) et que f ′(λ)

1 (R). Alors

∈ L

soit

(cid:5) f ′(t)

F →

(cid:3)

(2iπλ)

f(λ)

Ceci se généralise

iv) Soit f une fonction de

k = 1,

· · ·

, n. Alors

soit

v) En particulier, si f

(cid:3) 1 (R) et supposons de plus que f

L

n (R) et que f (k)(λ)

1 (R) pour

∈ L

∈ C

(cid:5) f (k)

(λ) = (2iπλ)k

f(λ)

R

λ

∀

∈

(cid:18) (cid:19) f (k)(t)

(cid:3) (2iπλ)k

f (λ)

F →

1 (R) et f est à support compact, alors

(cid:3)

∈ L

f est une fonction de

∞ (R) .

C

La transformée de Fourier échange dérivation et multiplication par un monôme.

(cid:3)

Preuve. i) et ii) Là encore c’est une conséquence du Théorème de Dérivation d’une intégrale

dépendant d’un paramètre (cf. Cours semaine 2).

iii) et iv) Nous admettrons cette propriété

v) Rappelons que, grosso modo, le support de f est l’ensemble des points où f est non nulle. Dire

que f est à support compact signifie que f sera nulle en dehors d’un certain intervalle [a, b] avec a et

b finis. En quelque sorte la fonction f vit dans l’intervalle [a, b] . Il est souvent commode de remplacer

l’intervalle [a, b] par un intervalle symétrique [

A, A] ce que l’on peut toujours faire. Alors, quelque

soit l’entier k on peut majorer

−

Ak

|

≤

f (t)

|

tkf (t) (cid:4) (cid:4) (cid:4)

(cid:4) (cid:4) (cid:4)

Première Année à Distance - Module Analyse de Fourier - Transformée de Fourier et Convolution 42

∞ (R) .

C

puisque dans [ Ak

f (t) | |

−

A, A] on a

tk

Ak et en dehors de [

A, A] les deux termes sont nuls. La fonction

≤

−

étant intégrable, la condition ii) de la proposition est vérifiée quelque soit l’entier k, et

f est

(cid:4) (cid:4) dérivable à n’importe quel ordre et donc une fonction de

(cid:4) (cid:4)

Par exemple, on lit dans la table des Transformées de Fourier, que f (t) = e−t2

(cid:3)

a pour trans-

formée de Fourier

f (λ) = √πe−π2λ2 (Pourquoi ?), sans calcul, en appliquant le point iii) on a

. Considérons f ′ (t) =

(cid:3)

2te−t2

−

qui reste une fonction intégrable

ou encore

2te−t2

−

F →

(2iπλ)

√πe−π2λ2

(cid:14)

(cid:15)

te−t2

F →

iπλ)

( −

√πe−π2λ2 (cid:14)

(cid:15)

3.5 Formule d’inversion de la transformée de Fourier

Comme pour la décomposition en séries de Fourier, il est fondamental d’essayer de reconstruire

f à l’aide de sa transformée de Fourier.

Définition 3 Transformée de Fourier inverse. Soit f une fonction de

formée de Fourier inverse par

1 (R), on définit sa trans-

L

∗ (f ) (λ) =

F

R

(cid:1)

f(t) e+2iπλt dt

R

λ

∀

∈

Elle possède des propriétés tout à fait analogues à celles de la transformée de Fourier

. Voici le

F

théorème de reconstruction de f à partir de sa transformée de Fourier inverse. Bien remarquer qu’en

remplaçant l’intégrale par une somme de séries, et

f (λ) par les coefficeints de Fourier cn (f), il s’agit

de l’analogue, pour une fonction non périodique, de la décomposition en série de Fourier.

(cid:3)

Théorème 1 Soit f une fonction de

1 (R) et supposons de plus que

L

f

1 (R) . Alors

∈ L

i)

soit

f(t) =

R

(cid:1)

(cid:3) f (λ) e+2iπλt dλ pour presque tout x

R

∈

ii) L’égalité précédente a lieu en tout point de continuité de f.

(cid:3)

f =

∗

F

f

p.p.

(cid:14)

(cid:15) (cid:3)

On a donc un résultat simple, sous les hypothèses du Théorème. On voit ici réapparaître la notion

d’ensembles négligeables que nous avons étudié dans la chapitre précédent et c’est l’introduction de

cette notion qui permet d’obtenir un résultat si concis et élégant.

Malgré tout, cet ensemble négligeable de points, pour lesquels cette formule est fausse, est gênant dans

la pratique car si l’on veut écrire la formule pour un certain t0 ce point est-il ou non dans cet ensemble négligeable ? La deuxième partie donne une précision importante : si t0 est un point de continuité

Première Année à Distance - Module Analyse de Fourier - Transformée de Fourier et Convolution 43

de f alors la formule d’inversion est vraie en t0. En particulier, si f est continue sur R, la formule sera vraie partout.

Exemple : On a facilement par un calcul direct (voir aussi la table)

f (t) = e−|t|

F →

f (λ) =

2 1 + 4π2λ2

f (λ)

∈

L1 (R) (Pourquoi ?). De plus, f (t) est une fonction continue sur

(cid:3)

Cette fonction R on a

(cid:3)

+∞

2

1 + 4π2λ2 e+2iπλt dλ = e−|t| (Bien prendre garde aux variables d’intégration : ici on intègre en λ et on obtient une

−∞

∈

x

∀

(cid:1)

R

fonction de t). Comme

f (λ) est une fonction paire, la partie d’intégrale en sin (2πλ)

est nulle (Pourquoi ?) et on a

(cid:3) +∞

(cid:1) ou encore, par parité

−∞

2

1 + 4π2λ2 cos (2πλt) dλ = e−|t|

R

x

∀

∈

+∞

4

1 + 4π2λ2 cos (2πλt) dλ = e−|t| En posant u = 2πλt et si t > 0 on en déduit facilement (faire les détails du calcul)

0 (cid:1)

∈

x

∀

R

+∞

cos u t2 + u2 du =

π 2t

e−|t|

0 (cid:1)

Pour t < 0 on posera u =

2πλt. Faire le calcul. Finalement, on obtient

0 (cid:1) Corollaire 1 Injectivité de la transformée de Fourier. Soient f et g dans

cos u t2 + u2 du =

e−t

π t 2 | |

R∗

t ∀

∈

− +∞

1 (R), Alors

L

f (λ) =

g (λ)

λ

∀

∈

R =

⇒

f = g

p.p.

Deux fonctions intégrables, ayant même transformée de Fourier sont égales presque partout.

(cid:3)

(cid:3)

Preuve. C’est une conséquence simple du théorème d’inversion précédent. Posons h = f

g. On 1 (R), on peut appliquer le théorème d’inversion et

−

a h

1 (R) et par hypothèse

∈ L

h = 0. Comme

h

∈ L

Ce qui s’écrit encore f = g p.p

(cid:3)

(cid:3)

h (x) =

R

(cid:1)

h (λ) e+2iπλx dλ = 0 p.p.

(cid:3)

Il est souvent utile de prendre la transformée de Fourier de la transformée de Fourier d’une fonction

f (si c’est possible). A cause du changement de signe dans la définition de la transformée inverse, on

ne récupère pas la fonction f mais sa symétrisée.

Première Année à Distance - Module Analyse de Fourier - Transformée de Fourier et Convolution 44

Corollaire 2 Soit f dans

1 (R) avec de plus f continue sur R et

L

( F

F

) (f ) = fσ

1 (R). Alors

∈ L

f

(cid:3)

ou encore

f (t) = f (

t)

−

R

x

∀

∈

Exercice : On a pour a > 0

(cid:3)(cid:3)

Alors

f (t) = e−a|t|

F →

f (λ) =

2a a2 + 4π2λ2

(cid:3) f (t) = fσ (t) = e−a|t|

R

t ∀

∈

(cid:3)(cid:3) puisque f est une fonction continue paire. En déduire que

1 a2+t2

F →

π a e−2πa|λ|

Solution : Il y là un petit travail sur les constantes qu’il faut maîtriser. D’après ce

qui précéde, on a

2a a2 + 4π2λ2

F →

e−a|t|

En factorisant le terme 4π2 pour avoir le facteur λ2 seul

On pose alors a′ = a 2π

a a2 4π2 + λ2

2π2

(cid:14)

(cid:15)

F →

e−a|t|

a′ a′2 + λ2

π

F →

e−2πa′|t|

et enfin, grâce à la linéarité de la transformation de Fourier (cid:20)

(cid:21)

1 a′2 + λ2

F →

π

a′ e−2πa′|t|

On a vu qu’en général

f n’était pas une fonction de

f / est contraignante. Lorsque (cid:3)

∈ L

1 (R), l’expression

1 (R), donc l’hypothèse faite dans ce théorème L f (λ) e+2iπλt dλ n’a généralement pas de sens. f (λ) e+2iπλt dλ qui est la valeur principale de l’intégrale

R

+a −a

Par contre on peut parfois utiliser : lima→∞ au sens de Cauchy. C’est une façon très particulière de calculer une intégrale : cette quantité peut 1 (R) et permet d’obtenir des résultats analogues au théorème de

exister sans que f

soit dans

(cid:3)

(cid:3)

(cid:3)

(cid:22)

(cid:22)

Dirichlet pour les séries. Par exemple, on a le théorème utile suivant.

L

Théorème 2 Soit f dans

1 (R) avec de plus f fonction

L

1 par morceaux et f ′

C

1 (R) . Alors

∈ L

lim a→∞

+a

−a

(cid:1)

f (λ) e+2iπλt dλ =

1 2

(cid:3)

[f(t+) + f (t

)]

−

R

x

∀

∈

Première Année à Distance - Module Analyse de Fourier - Transformée de Fourier et Convolution 45

1 par Exemple : La fonction f (t) = πI[− 1 2π , 1 morceaux avec f ′ (t) = 0 p.p. (Pourquoi ?). Sa transformée de Fourier est la fonction 1 (R) . On ne peut donc pas lui appliquer le théorème f (λ) = sin λ λ

2π ] (t) est une fonction intégrable,

qui n’est pas dans

C

L

d’inversion. Par contre, le théorème précédent nous donne (cid:3)

lim a→∞

+a

−a

(cid:1)

sin λ λ

3.6 Transformée de Fourier dans

e+2iπλt dλ =   

2 (R)

L

t | | si t =

π si π 2 0 si

< 1 2π 1 2π ± > 1 2π

t | |

∈ L

En général, pour une fonction f

2 (R), l’intégrale définissant la transformée de Fourier, soit R f(t) e−2iπλt dt, n’existe pas ! Et pourtant, les fonctions de carré intégrable, correspondant aux si- gnaux d’énergie finie, jouent un grand rôle dans de nombreux problèmes et il est essentiel de pouvoir (cid:22) définir leur transformée de Fourier. Nous ne rentrerons pas dans les détails de la construction de cette 2 (R) car elle est un peu délicate. Nous nous contenterons de mentionner ici ses principales propriétés. La formule de Parseval-Plancherel est particulièrement

transformée de Fourier pour les fonctions de

L

importante : elle correspond à une formule de conservation d’énergie, l’énergie du signal f (t) est la

même que son énergie spectrale associée à

Pour une fonction qui est dans

f (λ). 2 (R) mais pas dans

L

(cid:3)

lourd, on notera différemment la transformée de Fourier de f à savoir

L

1 (R) et même si cela peut sembler un peu f . Il faut retenir

(f) au lieu de

F

que ces deux transformées de Fourier sont définies de façon très différente.

(cid:3)

Proposition 4 On définit une transformée de Fourier

dans

2 (R)

L

F

:

F

(cid:23)

L

2 (R) f

→

→ F

L (f)

2 (R)

2 (R)

∈ L

i)

est un opérateur linéaire de

2 (R) . ii) La formule de Parseval-Plancherel est vraie dans

2 (R) dans

F

L

L

2 (R)

L

f, g

∀

2 (R)

∈ L

R

(cid:1)

f (t) g (t) dt =

(f) (λ)

F

(g) (λ) dλ

R F

(cid:1)

et

f ∀

2 (R)

∈ L

f (t)

2 dt = |

R |

(cid:1)

R |F

(cid:1)

(f) (λ) |

2 dλ

iii) La propriété d’inversion de la transformée de Fourier est vraie dans

2 (R), à savoir

L

f ∀

2 (R)

∈ L

∗ [

F

F

(f)] =

[ F

F

∗ (f)] = f

p.p.

(

F

∗étant la transformée de Fourier inverse).

iv) Si f

1 (R)

∈ L

2 (R), les deux notions de transformée de Fourier coïncident

∩ L

f =

F

(f)

p.p.

(cid:3)

Première Année à Distance - Module Analyse de Fourier - Transformée de Fourier et Convolution 46

v) Si f

1 (R)

∈ L

2 (R) alors

∩ L

f

= fσ

p.p.

F

(cid:15) (cid:3) Voici un exemple simple d’application de ces propriétés. Soit la fonction f = I[−1,+1] ∈ L 2 (R) . On sait que

∩ 1 (R) . On peut considérer sa

2 (R) mais pas à

f (t) = sin(2πt)

1 (R)

(cid:14)

πt L transformée de Fourier au sens de

(cid:3)

L

appartient à 2 (R) et d’après v)

L

L

(cid:24) De même, il est facile de vérifier que

F

sin (2πt) πt

(cid:25)

= fσ = f = I

[−1,+1]

g (t) = π I

[− 1

2π ,+ 1

2π ] (t)

F →

sin λ λ

dans

1 (R)

L

et donc, en considérant la transformée de Fourier dans

2 (R)

L

sin λ λ

(cid:25)

F

(cid:24)

= π I

[− 1

2π ,+ 1

2π ] (t)

Première Année à Distance - Module Analyse de Fourier - Transformée de Fourier et Convolution 47

Tableau de Transformées de Fourier.

Fonctions de

1 (R) (a > 0 et k

L

N).

∈

Πa (t) = I

[−a/2,a/2] (t)

F →

sin πaλ πλ

Ta (t) =

1

2 |t| a

−

(cid:14)

(cid:15) e−atIR+ (t)

tk k! e−atIR+ (t)

e−a|t|

e−at2

Πa (t) F →

2 sin2(πaλ/2) π2aλ2

F →

F →

F →

F →

1 (a+2iπλ)

1

(a+2iπλ)

k+1

N

k

∀

∈

2a a2+4π2λ2

π

a e−π2λ2/a

(cid:26)

Formules réciproques pour

f

1 (R) ou

∈ L

(cid:3)

sin t t

1 a2+t2

1 (a+2iπt)

sin2 t t2

2 (R)

∈ L

πI[−1/2π,1/2π] (λ)

π a e−2πa|λ|

e−aλIR+ (λ)

π T 2 π

(λ)

f

(cid:3) F →

F →

F →

F →

Première Année à Distance - Module Analyse de Fourier - Transformée de Fourier et Convolution 48

3.7 Produit de Convolution

Avec la transformée de Fourier et en liaison avec elle, le produit de convolution est un outil essentiel

pour l’étude des phénomènes physiques. En effet de très nombreux systèmes opérent comme des filtres,

au sens où un signal d’entrée est modifié après passage dans le système. Sous des hypothèses très

générales de linéarité et d’invariance dans le temps, le signal de sortie s’exprime sous forme d’un

produit de convolution entre le signal d’entrée et une fonction qui dépend du système étudié.

3.7.1 Définition et existence

Définition 4 Soient deux fonctions f et g de R dans R, on appelle produit de convolution de f et g , noté f ⋆g , la fonction, si elle existe, définie par

f ⋆ g (x) =

f (x

t) g (t) dt =

f (u) g (x

u) du

R

−

R

−

(cid:1)

(cid:1) Exercice : Calculer le produit de convolution entre f (x) = λe−λxIR+ (x) et g (x) = µe−µxIR+ (x) avec λ

= µ.

Solution : On a

f ⋆ g (x) =

λe−λ(x−t)IR+ (x

t) µe−µtIR+ (t) dt

R

−

(cid:1) t) et IR+ (t) car ce sont On doit regarder avec soin les fonctions indicatrices IR+ (x elles qui vont conditionner la valeur de l’intégrale. Il faut bien voir que dans ce calcul,

−

la variable x est fixée et on intégre en t. Pour que ces fonctions indicatrices soient non

nulles, on doit à la fois avoir

0 et

t

≥

x

t

≥

Il est clair que si x est négatif, ces deux conditions sont contradictoires. En d’autres

termes, pour x

≤

0 on a f ⋆ g (x) = 0. Pour x positif la condition précédente devient

0

t

≤

≤

x

donc les bornes d’intégration sont 0 et x

f ⋆ g (x) =

x

λµe−λ(x−t) e−µt dt = λµe−λx

x

e−(µ−λ)t dt

0 (cid:1) = λµe−λx

= λµ

e−λx (µ

− −

e−(µ−λ)t (µ

λ) (cid:28)

(cid:27)−

− e−µx λ)

0 (cid:1) = λµe−λx 1

e−(µ−λ)x λ)

− (µ

−

x

0

Voici quelques cas importants d’existence du produit de convolution entre f et g.

(cid:6) Première Année à Distance - Module Analyse de Fourier - Transformée de Fourier et Convolution 49

Proposition 5 Si f et g sont deux fonctions continues, dont l’une est à support compact, alors f ⋆g (x)

existe

R.

x

∀

∈

Preuve. Supposons par exemple que le support de g soit contenu dans [

A, A] . L’intégrale s’écrit

−

A

−A

(cid:1)

f (x

−

t) g (t) dt

On intègre donc une fonction continue de t sur un intervalle [

A, A] borné, donc cette intégrale

existe, quelque soit x. Si c’est le support de f qui est borné, on utilise l’autre écriture du produit de

−

convolution et on déduit le résultat.

Proposition 6 Si f et g sont deux fonctions de

i) f ⋆ g (x) est défini pour presque tout x

1 (R), alors L R.

∈

ii) la fonction (définie presque partout) f ⋆ g appartient à

iii) on a l’inégalité de norme

f ⋆ g (cid:9)

(cid:9)1 ≤ (cid:9)

f

g (cid:9)1 (cid:9)

(cid:9)1

1 (R).

L

Preuve. On admet l’existence de f ⋆ g (x) . Démontrons les points ii) et iii). Pour démontrer

l’intégrabilité de f ⋆ g (x) , on étudie

f ⋆ g (x)

R |

(cid:1)

dx =

|

≤

≤

Pour t fixé, le changement de variable u = x

R

R (cid:4) (cid:1) (cid:1) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:1) g (t)

R |

(cid:1)

R

R |

|

R |

(cid:6)(cid:1)

(cid:1) t montre que

−

f (x

f (x

dx

t) g (t) dt (cid:4) (cid:4) (cid:4) dx dt (cid:4)

g (t) |

| |

t)

−

−

f (x

t) |

−

dx

dt

(cid:7)

Alors

f (x

R |

(cid:1)

t) |

−

dx =

R |

(cid:1)

f (u)

|

du =

f (cid:9)

(cid:9)1

ce qui démontre à la fois les points i) et ii).

f ⋆ g (x)

dx

f ≤ (cid:9)

(cid:9)1

|

g (t) |

dt =

f (cid:9)

g (cid:9)1 (cid:9)

(cid:9)1

R |

(cid:1)

R |

(cid:1)

3.7.2 Convolution et Transformée de Fourier

La transformée de Fourier a la propriété remarquable d’échanger la convolution et la multiplication

au sens ordinaire, des fonctions. Formellement, et ce qui est à retenir est que

(cid:7)f ⋆ g (t) =

f (t)

g (t)

et souvent, une formule réciproque

(cid:3)

(cid:3)

f g (t) =

f ⋆

g (t)

(cid:5)

(cid:3)

(cid:3)

Première Année à Distance - Module Analyse de Fourier - Transformée de Fourier et Convolution 50

Il faut seulement prendre quelques précautions avec ces formules et savoir dans quels cas elles sont

vérifiées. Nous résumons dans la proposition suivante des cas importants d’application de ces formules.

Proposition 7 i) Si f et g sont dans

1 (R), alors

L (cid:7)f ⋆ g (t) =

f (t)

g (t)

R

t ∀

∈

Si de plus, on suppose que

f,

g et f g sont dans

(cid:3)

1 (R), on a aussi

(cid:3) L

(cid:3)

(cid:3)

f g (t) =

f ⋆

g (t)

R

t ∀

∈

iii) Si f et g sont dans

et par contre

2 (R), alors on a seulement

(cid:5)

(cid:3)

(cid:3)

L

f ⋆ g (t) =

∗

F

f

g

(t)

R

t ∀

∈

(cid:16)

(cid:3)

(cid:17) (cid:3) g (t)

f g (t) =

f ⋆

R.

t ∀

∈

(cid:5) 3.7.3 Un exemple d’utilisation

(cid:3)

(cid:3)

Concluons cette utilisation conjointe de la transformée de Fourier et du produit de convolution, par

un exemple. Soit à résoudre l’équation différentielle linéaire du second ordre, avec un second membre

f (supposée dans

1 (R))

L

- 1 ω2 g′′ + g = f

Formellement, si on applique la transformée de Fourier aux deux membres de cette équation, on

obtient (cf. transformée de Fourier et dérivation)

soit encore

1 ω2 (2iπt)2

−

g (t) +

g (t) =

f (t)

g (t)

(cid:3) 1 +

(cid:6)

4π2t2 ω2

(cid:3)

(cid:3)

=

f (t)

(cid:7)

Comme la fonction

1 + 4π2t2 ω2 (cid:16)

(cid:17)

n’a pas de zéro réel, on en déduit

(cid:3)

(cid:3)

g (t) =

1 1 + 4π2t2 ω2

f (t)

En utilisant la table des transformées de Fourier, on vérifie que

(cid:3)

(cid:3)

1 1 + 4π2t2 ω2

=

h (t)

avec

h (x) =

ω e−ω|x|

1 2

Finalement, on peut écrire

(cid:3)

g (t) =

h (t)

f (t)

(cid:3)

(cid:3)

(cid:3)

Première Année à Distance - Module Analyse de Fourier - Transformée de Fourier et Convolution 51

Comme ici, f et h sont dans

1 (R) alors on a (cf. transformée de Fourier et convolution)

(cid:7)h ⋆ f (t) et grâce à l’injectivité de la transformée de Fourier

L

h (t) .

f (t) =

(cid:3)

(cid:3)

ou encore

g(x) =

1 2

ω

g = h ⋆ f p.p.

e−ω|x−t| f (t) dt p.p.t. x

R

∈

R

(cid:1)

Resteraient à justifier chacune des transformations effectuées précédemment sur l’équation diffé- R ”, mais ce calcul donne

rentielle et à obtenir un résultat plus précis que le ” pour presque tout x une idée de la forme générale de la solution.

∈