Transformée de Fourier des Fonctions et Produit de Convolution

(cid:3)

( )

R

Premi re Ann e Distance - Module Analyse de Fourier - Transform e de Fourier et Convolution 40

soit

iii) Translation Si lon note a (f ) (x) = f (x

a)

f (

t)

F

f(

)

(a

(cid:3)

R) la translat e de f , on a

soit

(cid:5)

( a (f)) ( ) = e2i a

f ( )

R

f (t

a)

F

(cid:3)

e2i a

f( )

i.e. la translation transforme la phase ( )

spectre

iv) Propri t inverse

( )

2 a

(cid:3)

(mod 2 ) et ne modie pas le

v) Parit

e2i xa f(t)

F

f

paire

impaire

F

F

F

r eelle paire

r eelle im paire F

f

f

f

A titre dexemple, d montrons la formule

f(

a)

(cid:3)

f

paire

f

impaire

(cid:3)

r eelle (paire)

(cid:3)

f

(cid:3)

imaginaire pure (impaire)

On a

(f ) ( ) =

donc

(f ) ( ) =

f

( )

R

(cid:13)

+

(cid:1)

f (t) e2i t dt =

t on a du =

+

+

(cid:1)

f (

t) e2i t dt

Par le changement de variables u =

(cid:13)

dt et en m me temps les bornes sont chang es,

(f ) ( ) =

f (u) e2i u du =

f (

) =

f

( )

(cid:15)

Par exemple, on lit dans le tableau des transformations de Fourier, que la transform e de Fourier de

(cid:3)

(a+2i ) . Alors f (t) = eatIR (t) aura pour transform e de

f (t) = eatIR+ (x) est donn e par

Fourier, la fonction

(cid:13)

(f ) ( ) =

(cid:14)

(cid:1)

(cid:3)

1

f( ) =

1

(a2i ) .

(cid:3)

(cid:13)

3.4 Transform e de Fourier et D rivation

La transform e de Fourier a dimportantes propri t s en liaison avec la d rivation. Celles-ci sont

r unies dans la proposition suivante. On a deux types de r sultats : lun portant sur la d riv e dune

transform e de Fourier, lautre sur la transform e de Fourier de la d riv e.

f

(cid:3)

(cid:14)

(cid:15)

(cid:3)

Premi re Ann e Distance - Module Analyse de Fourier - Transform e de Fourier et Convolution 41

Proposition 3 i) Soit f une fonction de

Alors

f( ) est d rivable sur R et lon a

1 (R) et supposons de plus que tf(t) soit aussi dans

L

1 (R) .

L

(cid:3)

d

d

f ( )

=

f( )

2

=

2i t) f (t) e2i t dt

R

(

R

(cid:1)

(cid:17)

Il est utile de lire cette formule de la fa on suivante ( crire et bien comprendre)

(cid:15)

(cid:14)

(cid:3)

(cid:3)

(cid:16)

tf (t)

F

1

2i )

(

d

d

Ceci se g n ralise facilement pour la d riv e dordre n.

f( )

(cid:14)

(cid:3)

(cid:15)

ii) Soit f une fonction de

k = 1,

, n. Alors, la fonction

1 (R) et supposons de plus que tkf(t) soit aussi dans

L

f( ) est n fois d rivable sur R et lon a

1 (R), pour

L

2i t)k f(t) e2i t dt

(

R

R

(cid:1)

d

d k

que lon peut crire

f( )

(cid:3)

=

f( )

(k)

=

(cid:14)

(cid:3)

(cid:17)

(cid:15)

(cid:16)

(cid:3)

tkf(t)

iii) Soit f une fonction de

L

F

1

2i )k

d

d k

(

(cid:14)

1 (R) et supposons de plus que f

( ) = (2i )

f( )

f( )

(cid:3)

C

R

(cid:15)

1 (R) et que f 2( )

1 (R). Alors

L

soit

(cid:5)

f 2(t)

F

(cid:3)

(2i )

f( )

Ceci se g n ralise

iv) Soit f une fonction de

k = 1,

, n. Alors

soit

v) En particulier, si f

(cid:3)

1 (R) et supposons de plus que f

L

n (R) et que f (k)( )

1 (R) pour

L

C

(cid:5)

f (k)

( ) = (2i )k

f( )

R

(cid:18)

(cid:19)

f (k)(t)

(cid:3)

(2i )k

f ( )

F

1 (R) et f est support compact, alors

(cid:3)

L

f est une fonction de

(R) .

C

La transform e de Fourier change d rivation et multiplication par un mon me.

(cid:3)

Preuve. i) et ii) L encore cest une cons quence du Th or me de D rivation dune int grale

d pendant dun param tre (cf. Cours semaine 2).

iii) et iv) Nous admettrons cette propri t

v) Rappelons que, grosso modo, le support de f est lensemble des points o f est non nulle. Dire

que f est support compact signie que f sera nulle en dehors dun certain intervalle avec a et

b nis. En quelque sorte la fonction f vit dans lintervalle . Il est souvent commode de remplacer

lintervalle par un intervalle sym trique [

A, A] ce que lon peut toujours faire. Alors, quelque

soit lentier k on peut majorer

Ak

|

d

f (t)

|

tkf (t)

(cid:4)

(cid:4)

(cid:4)

(cid:4)

(cid:4)

(cid:4)

Premi re Ann e Distance - Module Analyse de Fourier - Transform e de Fourier et Convolution 42

(R) .

C

puisque dans [

Ak

f (t)

|

|

A, A] on a

tk

Ak et en dehors de [

A, A] les deux termes sont nuls. La fonction

d

tant int grable, la condition ii) de la proposition est v ri e quelque soit lentier k, et

f est

(cid:4)

(cid:4)

d rivable nimporte quel ordre et donc une fonction de

(cid:4)

(cid:4)

Par exemple, on lit dans la table des Transform es de Fourier, que f (t) = et2

(cid:3)

a pour trans-

form e de Fourier

f ( ) = e 2 2

(Pourquoi ?), sans calcul, en appliquant le point iii) on a

. Consid rons f 2 (t) =

(cid:3)

2tet2

qui reste une fonction int grable

ou encore

2tet2

F

(2i )

e 2 2

(cid:14)

(cid:15)

tet2

F

i )

(

e 2 2

(cid:14)

(cid:15)

3.5 Formule dinversion de la transform e de Fourier

Comme pour la d composition en s ries de Fourier, il est fondamental dessayer de reconstruire

f laide de sa transform e de Fourier.

D nition 3 Transform e de Fourier inverse. Soit f une fonction de

form e de Fourier inverse par

1 (R), on d nit sa trans-

L

(f ) ( ) =

F

R

(cid:1)

f(t) e+2i t dt

R

Elle poss de des propri t s tout fait analogues celles de la transform e de Fourier

. Voici le

F

th or me de reconstruction de f partir de sa transform e de Fourier inverse. Bien remarquer quen

rempla ant lint grale par une somme de s ries, et

f ( ) par les coeceints de Fourier cn (f), il sagit

de lanalogue, pour une fonction non p riodique, de la d composition en s rie de Fourier.

(cid:3)

Th or me 1 Soit f une fonction de

1 (R) et supposons de plus que

L

f

1 (R) . Alors

L

i)

soit

f(t) =

R

(cid:1)

(cid:3)

f ( ) e+2i t d pour presque tout x

R

ii) L galit pr c dente a lieu en tout point de continuit de f.

(cid:3)

f =

F

f

p.p.

(cid:14)

(cid:15)

(cid:3)

On a donc un r sultat simple, sous les hypoth ses du Th or me. On voit ici r appara tre la notion

densembles n gligeables que nous avons tudi dans la chapitre pr c dent et cest lintroduction de

cette notion qui permet dobtenir un r sultat si concis et l gant.

Malgr tout, cet ensemble n gligeable de points, pour lesquels cette formule est fausse, est g nant dans

la pratique car si lon veut crire la formule pour un certain t0 ce point est-il ou non dans cet ensemble

n gligeable ? La deuxi me partie donne une pr cision importante : si t0 est un point de continuit

Premi re Ann e Distance - Module Analyse de Fourier - Transform e de Fourier et Convolution 43

de f alors la formule dinversion est vraie en t0. En particulier, si f est continue sur R, la formule sera

vraie partout.

Exemple : On a facilement par un calcul direct (voir aussi la table)

f (t) = e|t|

F

f ( ) =

2

1 + 4 2 2

f ( )

L1 (R) (Pourquoi ?). De plus, f (t) est une fonction continue sur

(cid:3)

Cette fonction

R on a

(cid:3)

+

2

1 + 4 2 2 e+2i t d = e|t|

(Bien prendre garde aux variables dint gration : ici on int gre en et on obtient une

x

(cid:1)

R

fonction de t). Comme

f ( ) est une fonction paire, la partie dint grale en sin (2 )

est nulle (Pourquoi ?) et on a

(cid:3)

+

(cid:1)

ou encore, par parit

2

1 + 4 2 2 cos (2 t) d = e|t|

R

x

+

4

1 + 4 2 2 cos (2 t) d = e|t|

En posant u = 2 t et si t > 0 on en d duit facilement (faire les d tails du calcul)

0

(cid:1)

x

R

+

cos u

t2 + u2 du =

2t

e|t|

0

(cid:1)

Pour t < 0 on posera u =

2 t. Faire le calcul. Finalement, on obtient

0

(cid:1)

Corollaire 1 Injectivit de la transform e de Fourier. Soient f et g dans

cos u

t2 + u2 du =

et

t

2

|

|

R

t

+

1 (R), Alors

L

f ( ) =

g ( )

R =

f = g

p.p.

Deux fonctions int grables, ayant m me transform e de Fourier sont gales presque partout.

(cid:3)

(cid:3)

Preuve. Cest une cons quence simple du th or me dinversion pr c dent. Posons h = f

g. On

1 (R), on peut appliquer le th or me dinversion et

a h

1 (R) et par hypoth se

L

h = 0. Comme

h

L

Ce qui s crit encore f = g p.p

(cid:3)

(cid:3)

h (x) =

R

(cid:1)

h ( ) e+2i x d = 0 p.p.

(cid:3)

Il est souvent utile de prendre la transform e de Fourier de la transform e de Fourier dune fonction

f (si cest possible). A cause du changement de signe dans la d nition de la transform e inverse, on

ne r cup re pas la fonction f mais sa sym tris e.

Premi re Ann e Distance - Module Analyse de Fourier - Transform e de Fourier et Convolution 44

Corollaire 2 Soit f dans

1 (R) avec de plus f continue sur R et

L

(

F

F

) (f ) = f

1 (R). Alors

L

f

(cid:3)

ou encore

f (t) = f (

t)

R

x

Exercice : On a pour a > 0

(cid:3)(cid:3)

Alors

f (t) = ea|t|

F

f ( ) =

2a

a2 + 4 2 2

(cid:3)

f (t) = f (t) = ea|t|

R

t

(cid:3)(cid:3)

puisque f est une fonction continue paire. En d duire que

1

a2+t2

F

a e2 a| |

Solution : Il y l un petit travail sur les constantes quil faut ma triser. Dapr s ce

qui pr c de, on a

2a

a2 + 4 2 2

F

ea|t|

En factorisant le terme 4 2 pour avoir le facteur 2 seul

On pose alors a2 = a

2

a

a2

4 2 + 2

2 2

(cid:14)

(cid:15)

F

ea|t|

a2

a22 + 2

F

e2 a2|t|

et enn, gr ce la lin arit de la transformation de Fourier

(cid:20)

(cid:21)

1

a22 + 2

F

a2 e2 a2|t|

On a vu quen g n ral

f n tait pas une fonction de

f /

est contraignante. Lorsque

(cid:3)

L

1 (R), lexpression

1 (R), donc lhypoth se faite dans ce th or me

L

f ( ) e+2i t d na g n ralement pas de sens.

f ( ) e+2i t d qui est la valeur principale de lint grale

R

+a

a

Par contre on peut parfois utiliser : lima

au sens de Cauchy. Cest une fa on tr s particuli re de calculer une int grale : cette quantit peut

1 (R) et permet dobtenir des r sultats analogues au th or me de

exister sans que f

soit dans

(cid:3)

(cid:3)

(cid:3)

(cid:22)

(cid:22)

Dirichlet pour les s ries. Par exemple, on a le th or me utile suivant.

L

Th or me 2 Soit f dans

1 (R) avec de plus f fonction

L

1 par morceaux et f 2

C

1 (R) . Alors

L

lim

a

+a

a

(cid:1)

f ( ) e+2i t d =

1

2

(cid:3)

R

x

Premi re Ann e Distance - Module Analyse de Fourier - Transform e de Fourier et Convolution 45

1 par

Exemple : La fonction f (t) = I[ 1

2 , 1

morceaux avec f 2 (t) = 0 p.p. (Pourquoi ?). Sa transform e de Fourier est la fonction

1 (R) . On ne peut donc pas lui appliquer le th or me

f ( ) = sin

2 ] (t) est une fonction int grable,

qui nest pas dans

C

L

dinversion. Par contre, le th or me pr c dent nous donne

(cid:3)

lim

a

+a

a

(cid:1)

sin

3.6 Transform e de Fourier dans

e+2i t d =

2 (R)

L

t

|

|

si t =

si

2

0 si

< 1

2

1

2

> 1

2

t

|

|

L

En g n ral, pour une fonction f

2 (R), lint grale d nissant la transform e de Fourier, soit

R f(t) e2i t dt, nexiste pas ! Et pourtant, les fonctions de carr int grable, correspondant aux si-

gnaux d nergie nie, jouent un grand r le dans de nombreux probl mes et il est essentiel de pouvoir

(cid:22)

d nir leur transform e de Fourier. Nous ne rentrerons pas dans les d tails de la construction de cette

2 (R) car elle est un peu d licate. Nous nous contenterons

de mentionner ici ses principales propri t s. La formule de Parseval-Plancherel est particuli rement

transform e de Fourier pour les fonctions de

L

importante : elle correspond une formule de conservation d nergie, l nergie du signal f (t) est la

m me que son nergie spectrale associ e

Pour une fonction qui est dans

f ( ).

2 (R) mais pas dans

L

(cid:3)

lourd, on notera di remment la transform e de Fourier de f savoir

L

1 (R) et m me si cela peut sembler un peu

f . Il faut retenir

(f) au lieu de

F

que ces deux transform es de Fourier sont d nies de fa on tr s di rente.

(cid:3)

Proposition 4 On d nit une transform e de Fourier

dans

2 (R)

L

F

:

F

(cid:23)

L

2 (R)

f

F

L

(f)

2 (R)

2 (R)

L

i)

est un op rateur lin aire de

2 (R) .

ii) La formule de Parseval-Plancherel est vraie dans

2 (R) dans

F

L

L

2 (R)

L

f, g

2 (R)

L

R

(cid:1)

f (t) g (t) dt =

(f) ( )

F

(g) ( ) d

R F

(cid:1)

et

f

2 (R)

L

f (t)

2 dt =

|

R |

(cid:1)

R |F

(cid:1)

(f) ( )

|

2 d

iii) La propri t dinversion de la transform e de Fourier est vraie dans

2 (R), savoir

L

f

2 (R)

L

[

F

F

(f)] =

[

F

F

(f)] = f

p.p.

(

F

tant la transform e de Fourier inverse).

iv) Si f

1 (R)

L

2 (R), les deux notions de transform e de Fourier co ncident

) L

f =

F

(f)

p.p.

(cid:3)

Premi re Ann e Distance - Module Analyse de Fourier - Transform e de Fourier et Convolution 46

v) Si f

1 (R)

L

2 (R) alors

) L

f

= f

p.p.

F

(cid:15)

(cid:3)

Voici un exemple simple dapplication de ces propri t s. Soit la fonction f = I[1,+1] L

2 (R) . On sait que

)

1 (R) . On peut consid rer sa

2 (R) mais pas

f (t) = sin(2 t)

1 (R)

(cid:14)

t

L

transform e de Fourier au sens de

(cid:3)

L

appartient

2 (R) et dapr s v)

L

L

(cid:24)

De m me, il est facile de v rier que

F

sin (2 t)

t

(cid:25)

= f = f = I

[1,+1]

g (t) = I

[ 1

2 ,+ 1

2 ] (t)

F

sin

dans

1 (R)

L

et donc, en consid rant la transform e de Fourier dans

2 (R)

L

sin

(cid:25)

F

(cid:24)

= I

[ 1

2 ,+ 1

2 ] (t)

Premi re Ann e Distance - Module Analyse de Fourier - Transform e de Fourier et Convolution 47

Tableau de Transform es de Fourier.

Fonctions de

1 (R) (a > 0 et k

L

N).

a (t) = I

(t)

F

sin a

Ta (t) =

1

2 |t|

a

(cid:14)

(cid:15)

eatIR+ (t)

tk

k! eatIR+ (t)

ea|t|

eat2

a (t) F

2 sin2( a /2)

2a 2

F

F

F

F

1

(a+2i )

1

(a+2i )

k+1

N

k

2a

a2+4 2 2

a e 2 2/a

(cid:26)

Formules r ciproques pour

f

1 (R) ou

L

(cid:3)

sin t

t

1

a2+t2

1

(a+2i t)

sin2 t

t2

2 (R)

L

I[1/2 ,1/2 ] ( )

a e2 a| |

ea IR+ ( )

T 2

( )

f

(cid:3)

F

F

F

F

Premi re Ann e Distance - Module Analyse de Fourier - Transform e de Fourier et Convolution 48

3.7 Produit de Convolution

Avec la transform e de Fourier et en liaison avec elle, le produit de convolution est un outil essentiel

pour l tude des ph nom nes physiques. En eet de tr s nombreux syst mes op rent comme des ltres,

au sens o un signal dentr e est modi apr s passage dans le syst me. Sous des hypoth ses tr s

g n rales de lin arit et dinvariance dans le temps, le signal de sortie sexprime sous forme dun

produit de convolution entre le signal dentr e et une fonction qui d pend du syst me tudi .

3.7.1 D nition et existence

D nition 4 Soient deux fonctions f et g de R dans R, on appelle produit de convolution de f

et g , not f g , la fonction, si elle existe, d nie par

f g (x) =

f (x

t) g (t) dt =

f (u) g (x

u) du

R

R

(cid:1)

(cid:1)

Exercice : Calculer le produit de convolution entre f (x) = e xIR+ (x) et g (x) =

e xIR+ (x) avec

= .

Solution : On a

f g (x) =

e (xt)IR+ (x

t) e tIR+ (t) dt

R

(cid:1)

t) et IR+ (t) car ce sont

On doit regarder avec soin les fonctions indicatrices IR+ (x

elles qui vont conditionner la valeur de lint grale. Il faut bien voir que dans ce calcul,

la variable x est x e et on int gre en t. Pour que ces fonctions indicatrices soient non

nulles, on doit la fois avoir

0 et

t

e

x

t

e

Il est clair que si x est n gatif, ces deux conditions sont contradictoires. En dautres

termes, pour x

d

0 on a f g (x) = 0. Pour x positif la condition pr c dente devient

0

t

d

d

x

donc les bornes dint gration sont 0 et x

f g (x) =

x

e (xt) e t dt = e x

x

e( )t dt

0

(cid:1)

= e x

=

e x

(

e( )t

(

) (cid:28)

(cid:27)

e x

)

0

(cid:1)

= e x 1

e( )x

)

(

x

0

Voici quelques cas importants dexistence du produit de convolution entre f et g.

(cid:6)

Premi re Ann e Distance - Module Analyse de Fourier - Transform e de Fourier et Convolution 49

Proposition 5 Si f et g sont deux fonctions continues, dont lune est support compact, alors f g (x)

existe

R.

x

Preuve. Supposons par exemple que le support de g soit contenu dans [

A, A] . Lint grale s crit

A

A

(cid:1)

f (x

t) g (t) dt

On int gre donc une fonction continue de t sur un intervalle [

A, A] born , donc cette int grale

existe, quelque soit x. Si cest le support de f qui est born , on utilise lautre criture du produit de

convolution et on d duit le r sultat.

Proposition 6 Si f et g sont deux fonctions de

i) f g (x) est d ni pour presque tout x

1 (R), alors

L

R.

ii) la fonction (d nie presque partout) f g appartient

iii) on a lin galit de norme

f g

(cid:9)

(cid:9)1 d (cid:9)

f

g

(cid:9)1 (cid:9)

(cid:9)1

1 (R).

L

Preuve. On admet lexistence de f g (x) . D montrons les points ii) et iii). Pour d montrer

lint grabilit de f g (x) , on tudie

f g (x)

R |

(cid:1)

dx =

|

d

d

Pour t x , le changement de variable u = x

R

R (cid:4)

(cid:1)

(cid:1)

(cid:4)

(cid:4)

(cid:4)

(cid:1)

g (t)

R |

(cid:1)

R

R |

|

R |

(cid:6)(cid:1)

(cid:1)

t montre que

f (x

f (x

dx

t) g (t) dt

(cid:4)

(cid:4)

(cid:4)

dx dt

(cid:4)

g (t)

|

| |

t)

f (x

t)

|

dx

dt

(cid:7)

Alors

f (x

R |

(cid:1)

t)

|

dx =

R |

(cid:1)

f (u)

|

du =

f

(cid:9)

(cid:9)1

ce qui d montre la fois les points i) et ii).

f g (x)

dx

f

d (cid:9)

(cid:9)1

|

g (t)

|

dt =

f

(cid:9)

g

(cid:9)1 (cid:9)

(cid:9)1

R |

(cid:1)

R |

(cid:1)

3.7.2 Convolution et Transform e de Fourier

La transform e de Fourier a la propri t remarquable d changer la convolution et la multiplication

au sens ordinaire, des fonctions. Formellement, et ce qui est retenir est que

(cid:7)f g (t) =

f (t)

g (t)

et souvent, une formule r ciproque

(cid:3)

(cid:3)

f g (t) =

f

g (t)

(cid:5)

(cid:3)

(cid:3)

Premi re Ann e Distance - Module Analyse de Fourier - Transform e de Fourier et Convolution 50

Il faut seulement prendre quelques pr cautions avec ces formules et savoir dans quels cas elles sont

v ri es. Nous r sumons dans la proposition suivante des cas importants dapplication de ces formules.

Proposition 7 i) Si f et g sont dans

1 (R), alors

L

(cid:7)f g (t) =

f (t)

g (t)

R

t

Si de plus, on suppose que

f,

g et f g sont dans

(cid:3)

1 (R), on a aussi

(cid:3)

L

(cid:3)

(cid:3)

f g (t) =

f

g (t)

R

t

iii) Si f et g sont dans

et par contre

2 (R), alors on a seulement

(cid:5)

(cid:3)

(cid:3)

L

f g (t) =

F

f

g

(t)

R

t

(cid:16)

(cid:3)

(cid:17)

(cid:3)

g (t)

f g (t) =

f

R.

t

(cid:5)

3.7.3 Un exemple dutilisation

(cid:3)

(cid:3)

Concluons cette utilisation conjointe de la transform e de Fourier et du produit de convolution, par

un exemple. Soit r soudre l quation di rentielle lin aire du second ordre, avec un second membre

f (suppos e dans

1 (R))

L

• 1

2 g22 + g = f

Formellement, si on applique la transform e de Fourier aux deux membres de cette quation, on

obtient (cf. transform e de Fourier et d rivation)

soit encore

1

2 (2i t)2

g (t) +

g (t) =

f (t)

g (t)

(cid:3)

1 +

(cid:6)

4 2t2

2

(cid:3)

(cid:3)

=

f (t)

(cid:7)

Comme la fonction

1 + 4 2t2

2

(cid:16)

(cid:17)

na pas de z ro r el, on en d duit

(cid:3)

(cid:3)

g (t) =

1

1 + 4 2t2

2

f (t)

En utilisant la table des transform es de Fourier, on v rie que

(cid:3)

(cid:3)

1

1 + 4 2t2

2

=

h (t)

avec

h (x) =

e |x|

1

2

Finalement, on peut crire

(cid:3)

g (t) =

h (t)

f (t)

(cid:3)

(cid:3)

(cid:3)

Premi re Ann e Distance - Module Analyse de Fourier - Transform e de Fourier et Convolution 51

Comme ici, f et h sont dans

1 (R) alors on a (cf. transform e de Fourier et convolution)

(cid:7)h f (t) et gr ce linjectivit de la transform e de Fourier

L

h (t) .

f (t) =

(cid:3)

(cid:3)

ou encore

g(x) =

1

2

g = h f p.p.

e |xt| f (t) dt p.p.t. x

R

R

(cid:1)

Resteraient justier chacune des transformations eectu es pr c demment sur l quation di -

R , mais ce calcul donne

rentielle et obtenir un r sultat plus pr cis que le pour presque tout x

une id e de la forme g n rale de la solution.