TP de Maple : Trac´e de fonctions

Ce matériel couvre l'utilisation du logiciel Maple pour le tracé de fonctions et de courbes, ainsi que la modélisation de phénomènes mathématiques tels que la marche aléatoire, l'ensemble de Mandelbrot et le flocon de Von Koch. Il s'adresse aux étudiants en mathématiques ou en sciences appliquées souhaitant apprendre à visualiser des fonctions et des objets fractals à l'aide de Maple.

Tracé de fonctions simples avec Maple

Le tracé de fonctions dans Maple s'effectue principalement avec la commande plot. Le package plots est souvent nécessaire pour accéder à des fonctionnalités avancées.

Pour tracer une fonction f définie sur un intervalle [a, b], on utilise :

plot(f, a..b)

Par exemple, pour tracer l'expression expr := 45*Us*log(Us/Ui) avec Ui := 6.23, on tape :

plot(expr, Us=a..b)

Pour tracer une courbe paramétrée [x(t), y(t)] avec t ∈ [a, b] :

plot([x(t), y(t), t=a..b])

Pour relier des points [x1,y1], [x2,y2], [x3,y3], on utilise :

plot([[x1,y1], [x2,y2], [x3,y3]])

Si l'on souhaite afficher uniquement les points sans les relier, on ajoute l'option style=point.

Exemple

Tracer les fonctions fn : [0, 1[ → ℝ définies par :

fn(x) := (1 − x^n)^(1/n) pour n = 10, 20, 30.

Commande Maple :

plot([x -> (1 - x^10)^(1/10), x -> (1 - x^20)^(1/20), x -> (1 - x^30)^(1/30)], 0..1)

Tracés avancés et courbes spéciales

Maple permet aussi de tracer des courbes en coordonnées polaires, des courbes implicites et des graphes en 3D :

• Coordonnées polaires : option coords=polar dans plot.
• Courbes implicites : commande implicitplot pour tracer des ensembles définis par une équation f(x,y)=0.
• Graphes 3D : commande plot3D.

Exemples

1. Tracer la courbe polaire r = 1 - cos(θ) sin(θ).
2. Tracer la courbe définie implicitement par l'équation :

x^3 y + x y^4 − 3 x^2 y − 2 x^2 y^3 + x^3 + 3 y^4 = 0

Dans le domaine D = {−1 ≤ x, y ≤ 3}, on peut utiliser l'option numpoints pour affiner le tracé.

Marche aléatoire

On considère un point mobile partant de (0,0) dans le plan, qui à chaque pas se déplace d'une unité vers le nord, le sud, l'est ou l'ouest, de façon équiprobable. On s'intéresse à la trajectoire de ce point.

Pour générer un nombre aléatoire dans Maple, on initialise une variable :

var := rand(1..n)

puis on obtient un nombre aléatoire dans J1, nK par :

a := var()

Exercices

1. Construire une marche aléatoire de 2000 pas : calculer la suite des coordonnées [x_n, y_n] du mobile au temps n. Visualiser la trajectoire avec plot.
2. Créer une animation montrant l'évolution d'un groupe de dix particules partant du point (0,0) et effectuant chacune 100 déplacements aléatoires. Utiliser la commande :

display(liste_graph, insequence=true)

où liste_graph est une liste de graphiques Maple.

Ensemble de Mandelbrot

Soit un nombre complexe c = a + ib. On définit la suite (z_n) par :

z_0 = 0 et ∀ n ∈ ℕ, z_{n+1} = z_n^2 + c.

L'ensemble de Mandelbrot est formé par les points (a, b) du plan tels que la suite (z_n) reste bornée.

Une condition suffisante pour que c ne soit pas dans l'ensemble de Mandelbrot est qu'il existe n tel que :

|z_n| < |z_n|^2 − |c|.

Exercice

1. Écrire une procédure prenant en argument n et renvoyant l'expression de |z_n|^2 − |z_n| − |c| en fonction de a et b.
2. Tracer sur un même graphique les courbes définies par :

{c = a + ib tel que |z_n|^2 − |z_n| − |c| = 0} pour n = 1, 2, 3, 4.

Flocon de Von Koch

Le flocon de Von Koch est une courbe fractale construite par itérations successives :

• Soient deux points A et B dans le plan.
• On divise le segment [AB] en trois segments égaux : [AC], [CE], [EB].
• On construit un triangle équilatéral direct CED sur le segment [CE].
• On remplace alors [AB] par la suite de segments [A, C], [C, D], [D, E], [E, B].
• On répète ce procédé sur chaque segment obtenu, indéfiniment.

Le flocon de Von Koch à l'étape n est la figure obtenue après n itérations.

Exercices

1. Créer une procédure qui, étant donné les coordonnées de deux points A = [x1, y1] et B = [x2, y2], renvoie les coordonnées du troisième sommet C du triangle équilatéral direct ABC.
2. Construire une procédure VonKoch(A, B, n) renvoyant la liste des points du flocon de Von Koch à l'étape n construit sur le segment [AB].
3. Écrire une procédure afficheVonKoch(n) affichant le flocon de Von Koch à l'étape n.
4. Calculer la longueur de la courbe constituant le flocon à l'étape n. Que se passe-t-il lorsque n tend vers l'infini ?

Glossaire des termes clés

• plot : fonction Maple permettant de tracer des graphes de fonctions ou de points.
• plots : package Maple contenant des fonctions avancées de tracé.
• paramétrée : une courbe définie par des fonctions x(t) et y(t) selon un paramètre t.
• implicitplot : commande Maple pour tracer des courbes définies implicitement par une équation f(x,y)=0.
• marche aléatoire : trajectoire d'un point se déplaçant à chaque pas dans une direction choisie aléatoirement.
• ensemble de Mandelbrot : ensemble de points complexes c pour lesquels la suite z_{n+1} = z_n^2 + c reste bornée.
• flocon de Von Koch : fractale construite par itérations successives sur un segment, remplaçant chaque segment par quatre segments formant un motif triangulaire.
• rand : fonction Maple générant des nombres aléatoires dans un intervalle donné.

Points clés à retenir

• La fonction plot est la base pour tracer des fonctions, points, courbes paramétrées et polaires dans Maple.
• Les courbes implicites et les graphes 3D nécessitent des commandes spécifiques comme implicitplot et plot3D.
• La marche aléatoire modélise un déplacement aléatoire dans le plan, visualisable par une suite de points.
• L'ensemble de Mandelbrot est défini par la dynamique complexe d'une suite récurrente.
• Le flocon de Von Koch illustre la construction fractale par itérations géométriques simples.
• Maple permet de créer des animations en affichant successivement une liste de graphiques.