TP de Maple : Tracé de fonctions
c(cid:13) Dikanaina Harrivel, protégé par la GNU Free Documentation License
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Les tracés en Maple s’effectuent à l’aide de la fonction plot dans la majorité des cas. Le
package plots sera bien utile pour ce TP.
que la suite (zn)n associée soit bornée. On peut montrer qu’une condition suffisante pour que
c ne soit pas dans l’ensemble de Mandelbrot est qu’il existe n tel que |zn| < |zn|2 − |c|.
• Le tracé le plus simple consiste à relier des points entres eux. Pour relier les points
de coordonnée [x1,y1], [x2,y2], [x3,y3] il suffit de taper plot([[x1,y1], [x2,y2],
[x3,y3]]). Si l’on veut que seuls les points soient affichés (qu’ils ne soient pas reliés
entre eux), on peut utiliser l’option style=point.
1. Ecrire une procédure prenant en argument n et renvoyant l’expression de |zn|2 −|zn|−|c|
en fonction de a et b.
2. Tracez sur un même graphique les courbes {c = a + ib tel que |zn|2 − |zn| − |c| = 0}
• Pour tracer le graphe d’une fonction f : [a, b] → R, il faut taper plot(f,a..b).
pour n = 1, 2, 3, 4.
• Pour tracer le graphe d’une expression, par exemple expr :=45Uslog(Us/Ui) avec
Ui:=6.23), on tape plot(expr,Us=a..b), commande qui trace le graphe de la fonction
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Us → expr = 45.Us. ln( Us
Ui ) sur l’intervalle [a, b].
• Pour tracer une le graphe d’une courbe paramétrée du plan [x(t), y(t)], t ∈ [a, b], la
syntaxe est: plot([x(t),y(t),t=a..b])
• Il y a beaucoup d’autres tracés possibles avec l’utilisation d’options (par exemple
coords=polar pour tracer des courbes en polaire) ou d’autres commandes, par ex-
emple implicitplot pour tracer des ensembles définis par une équation f (x, y) = 0 ou
encore plot3D pour tracer des graph en 3D.
1 Quelques exemples élémentaires.
1. Tracez sur un même graphique le graphe des fonctions fn : [0, 1[→ R définies par
fn(x) := (1 − xn)1/n pour n = 10, 20, 30.
2. Tracez la courbe r = 1 − cos(θ) sin(θ) en coordonnées polaires.
3. Tracez la courbe du plan définie implicitement par
x3y + xy4 − 3x2y − 2x2y3 + x3 + 3y4 = 0
(1)
3 Marche aléatoire
On considere un point mobile partant du point (0, 0) du plan et qui , a chaque pas de temps,
fait un déplacement de longueur 1 vers le nord, le sud, l’ouest ou l’est de façon équiprobable.
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On s’intéresse à la trajectoire de ce point.
Pour avoir un générateur de nombre aléatoire en Maple, il suffit d’initialiser une varia-
ble var de la façon suivante: var:=rand(1..n) (n étant un nombre entier). L’instruction
a:=var() affectera alors à a un nombre pris aléatoirement dans l’intervalle J1, nK.
1. construisez une marche aléatoire de 2000 pas, c’est-à-dire calculez la suite des coor-
données [xn, yn] du mobile, xn et yn étant les coordonnées du mobile au temps n. Vous
pouvez alors visualiser la trajectoire à l’aide de la comande plot.
2. Etant donné une liste de graphiques Maple permet de visualiser à la suite ceux-ci, vous
donnant ainsi une petite animation. Cette opération se fait à l’aide de la commande dis-
play(liste graph,insequence=true). Créez une animation montrant l’évolution d’un
groupe de dix particules partant du même point (0, 0) et effectuant cent déplacements
aléatoires vers le nord, le sud, l’est ou l’ouest (vous pourrez commencer avec une par-
ticule seulement).
dans le domaine D = {−1 6 x, y 6 3}. Vous pourrez utiliser l’option numpoints pour
affiner le tracé.
3.0.1 Flocon de Von Koch
2 L’ensemble de Mandelbrot
Etant donné un nombre complexe c = a + ib, on définit la suite (zn)n∈N par z0 = 0 et
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∀n ∈ N, zn+1 = z2
n + c. L’ensemble de Mandelbrot est formé par les points (a, b) du plan tels
Soient A et B deux points du plan orienté, on coupe alors le segment [AB] en trois segments
d’égale longueur [AC], [CE] et [EB]. Puis on considère le point D tel que CED soit un tri-
angle équilatéral direct, on obtient alors la suite de points [A, C, D, E, B]. On réitère ensuite
cette opération sur chacun des segments [A, C], [C, D], [D, E] et [E, B], et ainsi de suite. On
appelle Flocon de Von Koch à létape n la figure obtenue en itérant le procédé n fois.
Le flocon de Von Koch est basé sur ce motif, que l’on répète sur les 4 branches de cette
figure.
1. Créez une procédure qui étant donné les coordonnées de deux points du plan A :=
[x1, y1] et B := [x2, y2] renvoit les coordonnées du troisième sommet C du triangle
équilatéral direct ABC.
2. Construisez alors une procédure VonKoch(A,B,n) renvoyant la liste des points flocon
de Von Koch à l’étape n construit sur le segment [AB].
3. Ecrire une procédure afficheVonKoch(n) affichant le flocon de VonKoch à l’étape n.
4. Calculez la longueur de la courbe constituant le flocon de Von Koch à l’étape n. Que
se passe t-il lorsque n → ∞?