TP de Maple : Courbes orthoptiques

Ce TP utilise Maple pour étudier les courbes orthoptiques associées à des coniques : ellipses, hyperboles et paraboles. Il permet de comprendre la notion d’ensemble orthoptique, c’est-à-dire l’ensemble des points du plan où l’on voit deux tangentes à la courbe sous un angle droit. Le travail porte sur la modélisation mathématique, la résolution d’équations tangentes, et la visualisation graphique des courbes et de leurs ensembles orthoptiques. Pour réaliser ce TP, il faut disposer de Maple avec le package plots et connaître les équations cartésiennes des coniques.

Objectifs

• Déterminer la condition pour qu’une droite soit tangente à une conique donnée.
• Exprimer les points de tangence en fonction des paramètres de la droite.
• Tracer une ellipse et ses tangentes, ainsi que les rectangles circonscrits associés.
• Déterminer et visualiser l’ensemble orthoptique d’une ellipse, d’une hyperbole et d’une parabole.
• Comprendre les propriétés géométriques des ensembles orthoptiques, notamment leur forme et leur existence selon les paramètres des coniques.

Prérequis et installation

• Logiciel Maple avec le package plots pour le tracé graphique et la fonction implicitplot.
• Connaissances de base en géométrie analytique : équations cartésiennes des coniques (ellipse, hyperbole, parabole).
• Notions sur les tangentes à une courbe et conditions de tangence.
• Compréhension des notions d’orthogonalité et d’angles droits entre droites.

L’ensemble orthoptique d’une ellipse

On considère une ellipse d’équation cartésienne :

f(x, y) = x²/a² + y²/b² = 1 avec a > 0 et b > 0.

1. Condition de tangence d’une droite donnée :

Soit une droite d’équation ux + vy = w avec (u, v) ≠ (0, 0). Pour qu’elle soit tangente à l’ellipse en un point (x0, y0), il faut que :

• Le point (x0, y0) soit sur l’ellipse : f(x0, y0) = 1.
• Le point (x0, y0) soit sur la droite : ux0 + vy0 = w.
• La droite soit tangente, donc la pente de la droite égale à la dérivée de l’ellipse au point (x0, y0).

2. Exprimer x0 et y0 en fonction de u, v, w, puis w en fonction de u et v. Vérifier l’unicité de la solution. Cette unicité signifie qu’à chaque droite tangente correspond un unique point de tangence.

3. Tracer sur un même graphique l’ellipse avec a = 2 et b = 5 ainsi que plusieurs tangentes.

Rectangles circonscrits à l’ellipse

L’ellipse étant symétrique par rapport à l’origine, si deux droites orthogonales sont tangentes à l’ellipse, alors leurs symétriques par rapport à l’origine le sont aussi. Les points de l’ensemble orthoptique forment alors les sommets de rectangles circonscrits à l’ellipse.

1. Écrire une fonction rectangle(a, b, t) qui renvoie la liste des sommets [A, B, C, D, A] du rectangle circonscrit à l’ellipse tel que la droite (AB) forme un angle t avec l’axe des abscisses.

2. Écrire une procédure affiche(a, b, t) qui affiche sur le même graphique l’ellipse et le rectangle ABCD.

3. Vérifier par un calcul formel que ce rectangle circonscrit est inscrit dans un cercle de centre O et de rayon √(a² + b²).

L’ensemble orthoptique d’une hyperbole

On considère une hyperbole d’équation :

f(x, y) = x²/a² − y²/b² = 1 avec a > 0 et b > 0.

1. Reprendre la méthode précédente pour trouver w, x0, y0 en fonction des paramètres u et v pour une droite tangente à l’hyperbole.

2. Étudier la condition pour que deux droites orthogonales (u, v, 0) et (−v, u, 0) passant par un point M = (X, Y) soient tangentes à l’hyperbole.

Montrer que ces conditions se réduisent à :

X² + Y² = a² − b².

3. Conclure que l’ensemble orthoptique de l’hyperbole est un cercle de centre O et de rayon √(a² − b²), et qu’il existe uniquement si a > b.

4. Écrire une fonction affichhyp(a, b) affichant sur un même dessin l’hyperbole et son ensemble orthoptique (le cercle).

L’ensemble orthoptique d’une parabole

Considérer une parabole d’équation :

y² = 2px avec p > 0.

Reprendre une des méthodes précédentes pour déterminer l’ensemble orthoptique de la parabole.

On obtient que l’ensemble orthoptique de la parabole est sa directrice.

Résultats attendus

• L’ensemble orthoptique d’une ellipse de demi-axes a et b est un cercle concentrique à l’ellipse de rayon √(a² + b²).
• L’ensemble orthoptique d’une hyperbole est non vide si et seulement si son excentricité est strictement inférieure à √2, et dans ce cas c’est un cercle concentrique à l’hyperbole de rayon √(a² − b²).
• L’ensemble orthoptique d’une parabole est sa directrice.
• Les rectangles circonscrits à l’ellipse, formés par les points d’intersection des tangentes orthogonales, sont inscrits dans un cercle de rayon √(a² + b²).
• Les tracés graphiques doivent montrer clairement l’ellipse, l’hyperbole ou la parabole, ainsi que les ensembles orthoptiques correspondants (cercles ou droites) et les rectangles circonscrits pour l’ellipse.

Pièges courants

• Ne pas vérifier que (u, v) ≠ (0, 0) dans l’équation de la droite, ce qui rendrait la tangente indéfinie.
• Confondre les conditions de tangence avec celles d’intersection simple, ce qui fausse les calculs des points de tangence.
• Oublier que l’ensemble orthoptique de l’hyperbole n’existe que si a > b, sinon il n’y a pas de solution réelle.
• Mal paramétrer l’angle t dans la fonction rectangle(a, b, t), ce qui empêche de tracer correctement les rectangles circonscrits.
• Ne pas utiliser la fonction implicitplot pour tracer les courbes implicites, ce qui complique la visualisation.
• Ne pas vérifier la symétrie des points pour les rectangles, ce qui peut conduire à des erreurs dans la construction des sommets.