c(cid:13) Dikanaina Harrivel, protégé par la GNU Free Documentation License
source disponible sur http://www.velvia.org
TP de Maple : Courbes orthoptiques
Soit
une courbe plane de classe C1. On appelle ensemble orthoptique de
l’ensemble
O
sous un angle droit, c’est à dire, par lesquels passe deux
. Nous allons nous interesser au cas particulier où la
C
C
des points M de R2 où l’on voit
C
droites orthogonales et tangentes à
courbe
C
C
est une conique, car il est alors des particularités interessantes.
4. Créez alors une suite de graphique sur lesquels seront tracés l’ellipse f (x, y) = 0, le cercle
précédent ainsi que les rectangles pour t = 0, 2π
20 . Vous pouvez alors visualiser
la petite animation correspondant à votre liste en utilisant l’option insequence=true
de display.
20 , . . . 2.19π
1 L’ensemble orthoptique d’une ellipse
La réciproque peut être prouvée par technique analogue à celle que l’on va utiliser dans le
cas de l’hyperbole.
On se donne
(u, v, w) une droite d’équation cartésienne ux + vy = w avec (u, v)
= (0, 0).
On note
D
une hyperbole d’équation cartésienne f (x, y) = x2
a2
H
Publicité
2
y
b2 = 1 avec a > 0 et
−
On note
E
une ellipse d’équation cartésienne f (x, y) = x2
a2 + y2
b2 = 1 avec a > 0 et b > 0.
1.1 Condition pour qu’une droite donnée soit tangente à
1. Soit [x0, y0] un point du plan, donnez le système d’équation que doit vérifier u, v, w, x0
et y0 pour que la droite
(u, v, w) et l’ellipse
soient tangentes en [x0, y0].
2. Exprimer x0 et y0 en fonction de u, v et w, puis donnez w en fonction de u et v. Y a
t-il unicité de la solution ? qu’est-ce que cela signifie ?
3. Tracer sur un même graphique l’ellipse1 de parametre a = 2 et b = 5 et les tangentes
D
E
2 Hyperbole
E
b > 0.
2.1 Condition pour qu’une droite donnée soit tangente à
H
Reprenez ls questions du 1 de façon a trouver w, x0 et y0 en fonction des parametres u et
parallèles aux droites y = x et y =
x.
−
v.
Il n’existe pas de solution pour tout choix de (u, v), ceci est-il prévisible ?
1.2 Rectangles circonscrits à
E
E
étant symétrique par rapport à l’origine on peut remarquer que si deux droites ortho-
alors leurs symétriques par rapport à l’origine sont elles aussi
Publicité
gonales sont tangentes à
tangentes à
E
E
Les points de l’ensemble orthoptique à
.
E
à
, formant alors un rectangle circonscrit à
.
E
sont donc les sommets des rectangles circonscrits
E
1. Ecrire alors une fonction rectangle(a,b,t) renvoyant la liste [A, B, C, D, A] des som-
tel que la droite (AB) forme un angle t avec
mets du rectangle ABCD circonscrit à
l’axe des abscisses.
E
2. Ecrire alors une procédure affiche(a,b,t) affichant l’ellipse
le même graphique.
et le rectangle ABCD sur
E
3. Vérifier (par un calcul avec a, b et t formels) qu’un rectangle circonscrit à
dans le cercle de centre O et de rayon √a2 + b2.
est inscrit
E
1il faut utiliser implicitplot du package plots.
2.2 Condition pour que deux tangentes orthogonales se coupent en
un point donné
Soit M un point du plan de coordonnées [X, Y ].
(u, v, 0) et
1. Soient u et v fixés. A quelle condition les droites
0 paralleles respectivement a
? Montrer
D
Publicité
que ces conditions se réduisent à X 2 + Y 2 = a2
a un
orthoptique non vide si et seulement si a > b et que dans ce cas l’ensemble orthoptique
est un cercle de centre O et de rayon √a2
D
b2. On a donc prouvé que
v, u, 0) passant par M = [X, Y ] sont elles tangentes à
(
−
b2.
H
H
et
−
D
D
−
2. Ecrire une fonction affichhyp(a,b) affichant sur un même dessin l’hyperbole
ensemble orthoptique (s’il existe).
son
H
6
3 Parabole
4 Resultat :
Reprendre une des méthodes suivies dans le 1 et le 2 pour déterminer l’ensemble orthop-
tique d’une parabole
P
d’équation y2 = 2px avec p > 0.
On a donc ”prouvé” certaines des propositions suivantes :
– l’ensemble orthoptique d’une ellipse de demi-axes a et ab est le cercle concentrique à
l’ellipse de rayon √a2 + b2.
– l’ensemble orthoptique d’une hyperbole est non vide si et seulement si son exentricité
est strictement inférieure a √2 et alors c’est un cercle concentrique a l’hyperbole.
– l’ensemble orthoptique d’une parabole est sa directrice.