TP de Maple : Approximation, séries de Fourier

Ce TP utilise Maple pour étudier les approximations de fonctions périodiques par séries de Fourier et par polynômes. Il permet de comprendre le calcul des coefficients de Fourier, la construction des sommes partielles, ainsi que les phénomènes associés comme le phénomène de Gibbs. Il aborde aussi l’approximation de fonctions continues par des polynômes via le développement de Taylor, l’interpolation de Lagrange et l’utilisation des points de Tchebychev. Pour réaliser ce TP, il est nécessaire d’avoir accès à Maple et des connaissances de base en analyse et calcul formel.

Objectifs

• Calculer les coefficients de Fourier en cosinus et sinus d’une fonction périodique.
• Construire et visualiser les sommes partielles des séries de Fourier.
• Observer et analyser le phénomène de Gibbs sur une fonction particulière.
• Approcher une fonction continue par des polynômes via le développement de Taylor.
• Réaliser des interpolations polynomiales par la méthode de Lagrange et avec les points de Tchebychev.
• Visualiser et comparer les différentes méthodes d’approximation.

Prérequis et installation

• Logiciel Maple installé et fonctionnel.
• Connaissances en calcul intégral, séries de Fourier, et interpolation polynomiale.
• Notions de programmation dans Maple pour écrire des procédures.
• Fonctions mathématiques de base : cos, sin, intégration, dérivation.

Calcul des coefficients de Fourier et sommes partielles

On considère une fonction périodique f : R → R de période 2π, intégrable sur [−π, π]. Les coefficients de Fourier en cosinus an(f) et en sinus bn(f) sont définis par :

an(f) = (1 / 2π) ∫_−π^π f(x) cos(nx) dx

bn(f) = (1 / 2π) ∫_−π^π f(x) sin(nx) dx

La somme partielle Sn(f) de la série de Fourier est donnée par :

Sn(f)(x) = a0(f) + 2 Σ_k=1ⁿ [ak(f) cos(kx) + bk(f) sin(kx)]

Étapes :

1. Écrire une fonction coefcos(f,n) qui calcule an(f) pour une fonction f et un entier n.
2. Écrire une fonction coefsin(f,n) qui calcule bn(f) de même.
3. Écrire une fonction seriefourier(f,n) qui construit la somme partielle Sn(f) en utilisant coefcos et coefsin.
4. Tester ces fonctions sur les fonctions sin et cos, puis calculer le 25e coefficient en cosinus et en sinus de la fonction x → x^8 + 6x^2 + 1.
5. Calculer en fonction de n les nièmes coefficients de Fourier en sinus et cosinus de la fonction x → x·sin(x).
6. Créer une liste des 10 graphiques des fonctions Sn(exp) et exp sur [−π, π] pour n allant de 1 à 10.
7. Créer une animation montrant l’évolution des graphes lorsque n augmente.

Étude du phénomène de Gibbs sur une fonction particulière

On considère la fonction ϕ définie sur [−π, π] par :

ϕ(x) = −x + π·x / |x|

Étapes :

1. Calculer formellement le nième coefficient de Fourier de ϕ.
2. En déduire la somme partielle Sn(ϕ)(x) de la série de Fourier de ϕ.
3. Calculer la dérivée de cette somme partielle Sn(ϕ)'(x).
4. Chercher le premier point xn ∈ [0, π] où Sn(ϕ) admet un extremum local.
5. Déterminer la valeur yn = Sn(ϕ)(xn) en ce point.
6. Étudier la limite de yn lorsque n tend vers l’infini et discuter de la surprise de ce résultat (phénomène de Gibbs).
7. Utiliser la procédure evolution(f,n) pour visualiser le comportement des sommes partielles dans cet exemple.
8. Comparer ce comportement à celui observé dans les exemples précédents.

Approximation de fonctions par des polynômes

Le théorème de Stone-Weierstrass garantit qu’une fonction continue sur un compact de R peut être uniformément approchée par des polynômes. Ce TP propose de pratiquer cette approximation sur la fonction :

f(x) = 1 / (x^2 + 1)

Développement de Taylor

1. Définir la fonction f dans Maple et tracer son graphe sur l’intervalle [−5, 5].
2. Utiliser la commande taylor pour obtenir le développement limité T de f au voisinage de 0 à l’ordre 10.
3. Tracer sur un même graphique f et T sur [−1, 1], puis sur [−5, 5].
4. Écrire une procédure evolution(f,n) qui automatise la création d’animations montrant l’évolution de l’approximation polynomiale lorsque n varie.
5. Tester cette procédure sur plusieurs exemples.

Interpolation polynomiale

On cherche à construire un polynôme P de degré ≤ n interpolant la fonction f sur un intervalle donné.

1. Écrire une procédure lagrange(f,n,minimum,maximum) qui, pour une fonction f, un entier n et des bornes minimum et maximum, renvoie le polynôme P de degré ≤ n tel que :

∀k ∈ {0,...,n}, P(minimum + (k/n)(maximum − minimum)) = f(minimum + (k/n)(maximum − minimum))

Cette procédure utilise les points d’interpolation uniformément répartis.

Interpolation avec points de Tchebychev

Cette méthode modifie les points d’interpolation pour améliorer l’approximation et éviter certains phénomènes comme l’oscillation de Runge.

1. Écrire une procédure tchebychev(f,n,minimum,maximum) qui renvoie le polynôme ˜P de degré ≤ n tel que :

∀k ∈ {0,...,n}, ˜P(zk) = f(zk)

où les points zk sont définis par :

zk = ½ (minimum + maximum) + ½ (maximum − minimum) cos((2k + 1) π / (2n + 2))

(Question subsidiaire : ce polynôme existe-t-il ? Pourquoi ? On pourra utiliser la fonction interp de Maple.)

2. Tracer sur [−5, 5] la fonction f définie par (1) ainsi que les polynômes obtenus par lagrange et tchebychev pour n = 4, 10, 20, 50.
3. Visualiser et comparer les résultats obtenus avec ces deux méthodes et avec le développement de Taylor.

Résultats attendus

• Les coefficients de Fourier calculés doivent correspondre aux intégrales définies et aux propriétés des fonctions testées (sin, cos, polynômes).
• Les sommes partielles Sn(f) doivent converger vers f sur les intervalles étudiés, avec une convergence visible dans les animations.
• Pour la fonction ϕ, on observe un phénomène de Gibbs : les sommes partielles présentent un dépassement près des discontinuités, et la limite de yn n’est pas la valeur attendue au point d’extremum.
• Les développements de Taylor approchent bien f près de 0, mais l’approximation se dégrade sur des intervalles plus larges.
• Les interpolations de Lagrange avec points uniformes peuvent présenter des oscillations importantes pour n élevé.
• L’utilisation des points de Tchebychev améliore nettement la qualité de l’approximation, réduisant les oscillations.

Pièges courants

• Ne pas respecter la périodicité 2π de la fonction lors du calcul des coefficients de Fourier fausse les résultats.
• Oublier le facteur 1/(2π) dans les intégrales des coefficients an et bn conduit à des erreurs systématiques.
• Confondre les indices n et k dans les sommes partielles Sn(f).
• Ne pas vérifier la convergence des séries ou la validité des approximations sur l’intervalle choisi.
• En interpolation, choisir des points uniformes pour des degrés élevés peut provoquer des oscillations (phénomène de Runge).
• Ne pas utiliser la fonction interp de Maple correctement pour l’interpolation aux points de Tchebychev peut empêcher la construction du polynôme.
• Lors de la visualisation, ne pas utiliser l’option insequence=true dans display empêche de créer correctement les animations.