Tous les Exercices d'Analyse PC-PSI

Ce document présente une série d'exercices d'analyse destinés aux étudiants de classes préparatoires PC-PSI, visant à tester leur maîtrise des suites numériques, des fonctions réelles, de l'intégration, des séries, des espaces vectoriels normés, des équations différentielles, et du calcul différentiel. Ces exercices, issus de concours récents, permettent d'évaluer à la fois la compréhension théorique et la capacité à appliquer les méthodes rigoureuses de résolution.

Exercice 1.1

On considère la suite (u_n) définie pour tout entier naturel non nul n par :

u_n = 5 sin(1/n²) + (1/5) n cos(n)

Il s'agit de montrer que la limite de u_n quand n tend vers +∞ est 0.

Étape 1 : Étude de la majoration de |u_n|

On commence par majorer la valeur absolue de u_n :

|u_n| ≤ 5 |sin(1/n²)| + (1/5) n |cos(n)|

Or, |sin(1/n²)| ≤ 1 et |cos(n)| ≤ 1, donc :

|u_n| ≤ 5 + (1/5) n

Cette majoration tend vers +∞ lorsque n → +∞, ce qui ne permet pas de conclure directement à la convergence vers 0.

Étape 2 : Analyse plus fine du terme 5 sin(1/n²)

Comme sin(x) ~ x lorsque x → 0, on a :

sin(1/n²) ~ 1/n² lorsque n → +∞

Donc 5 sin(1/n²) ~ 5/n² → 0.

Étape 3 : Étude du terme (1/5) n cos(n)

Ce terme n tend pas vers 0 car n croît sans borne et cos(n) oscille entre -1 et 1. Il faut donc vérifier l'énoncé car ce terme ne peut pas tendre vers 0.

Remarque : L'énoncé semble comporter une erreur ou une ambiguïté. En effet, le terme (1/5) n cos(n) ne tend pas vers 0. Peut-être que le terme est écrit incorrectement dans le texte source.

Conclusion : Avec les données fournies, la limite de u_n ne peut pas être 0. Il y a probablement une erreur dans l'énoncé ou dans la transcription du terme.

Exercice 1.2

Soit (u_n) une suite réelle. On suppose que les suites extraites (u_{2n}), (u_{2n+1}) et (u_{3n}) convergent. Il faut montrer que la suite (u_n) converge.

Étape 1 : Notations des limites

Notons :

• a = lim_{n→+∞} u_{2n}
• b = lim_{n→+∞} u_{2n+1}
• c = lim_{n→+∞} u_{3n}

Étape 2 : Relations entre ces limites

Considérons la suite extraite (u_{6n}) :

• Elle est extraite de (u_{2n}), donc lim u_{6n} = a.
• Elle est aussi extraite de (u_{3n}), donc lim u_{6n} = c.

On en déduit que a = c.

Considérons la suite extraite (u_{6n+3}) :

• On remarque que 6n + 3 = 2(3n + 1) + 1, donc (u_{6n+3}) est extraite de (u_{2n+1}), donc lim u_{6n+3} = b.
• C'est aussi une suite extraite de (u_{3n}), donc lim u_{6n+3} = c.

On en déduit que b = c.

Étape 3 : Conclusion

On a donc a = b = c. Or, la convergence des suites extraites (u_{2n}) et (u_{2n+1}) vers la même limite implique la convergence de la suite (u_n) vers cette limite commune.

Réponse : La suite (u_n) converge vers la limite commune a = b = c.

Remarque : Il est possible que les suites extraites (u_{2n}) et (u_{2n+1}) convergent sans que (u_n) converge, par exemple pour u_n = (-1)^n. L'ajout de la convergence de (u_{3n}) permet d'assurer la convergence de (u_n).

Exercice 1.3

Le texte est incomplet et ne permet pas de répondre à la question posée.

Méthode

Ce type d'exercices récompense la rigueur dans l'analyse des suites et la maîtrise des suites extraites. Il est essentiel de :

• Bien comprendre la définition des suites extraites et leur rôle dans l'étude de la convergence.
• Utiliser les propriétés des limites et des suites extraites pour établir des égalités entre limites partielles.
• Faire attention aux termes oscillants ou non bornés et vérifier la cohérence des expressions données.
• Ne pas hésiter à reformuler ou affiner les majorations pour obtenir des bornes utiles.
• Signaler clairement toute incohérence ou ambiguïté dans l'énoncé.

Les erreurs fréquentes concernent :

• La confusion entre convergence des suites extraites et convergence de la suite initiale.
• La mauvaise gestion des termes oscillants ou non bornés.
• Le manque de justification dans les passages de limites.
• L'oubli de vérifier que les limites des suites extraites sont cohérentes entre elles.

Enfin, la rédaction doit être claire et explicite, chaque étape justifiée, pour garantir la compréhension et la validation des résultats.