Tous les Exercices d'Analyse PC-PSI

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PRÉPAS

EL-HAJ LAAMRI (cid:129) PHILIPPE CHATEAUX (cid:129) GÉRARD EGUETHER ALAIN MANSOUX (cid:129) DAVID RUPPRECHT (cid:129) LAURENT SCHWALD

TOUS LES EXERCICES D'ANALYSE PC-PSI Pour assimiler le programme, s’entraîner et réussir son concours

(cid:2) Rappels de cours et exercices d’assimilation (cid:2) Plus de 300 exercices dont la majorité est issue d’oraux de concours récents

(cid:2) Solutions complètes et détaillées

TOUS LES EXERCICES D’ANALYSE PC-PSI

Pour assimiler le programme, s’entraîner et réussir son concours

TOUS LES EXERCICES D’ANALYSE PC-PSI

Pour assimiler le programme, s’entraîner et réussir son concours

El-Haj Laamri Agrégé en mathématiques et maître de conférences à Nancy-Université

Philippe Chateaux Agrégé en mathématiques et professeur en MP au Lycée Henri Poincaré à Nancy

Gérard Eguether Maître de conférences à Nancy-Université

Alain Mansoux Agrégé en mathématiques et professeur en PC au Lycée Henri Poincaré à Nancy

David Rupprecht Agrégé de Mathématiques et professeur en PSI au Lycée Henri Loritz à Nancy

Laurent Schwald Agrégé en mathématiques et professeur en CPGE au lycée Henri Poincaré à Nancy

Couverture : Claude Lieber

© Dunod, Paris, 2008 ISBN 978-2-10-053963-5

Présentation de la série « Tous les exercices de mathématiques »

L’évolution récente de l’enseignement des disciplines scientifiques dans les C.P.G.E s’est concrétisée par la définition d’un nouveau programme de première année en 2003 et de deuxième année en 2004. Un des objectifs de cette évolution a été de com- bler le fossé grandissant entre la classe de terminale et les classes préparatoires. La progression est explicitement imposée par le nouveau programme qui prévoit notam- ment « un programme de début de l’année », qui exclut la présentation abstraite des concepts au profit d’une démarche fondée sur l’exemple comme point de départ de la conceptualisation, qui préconise l’approche algorithmique en complément de l’ap- proche démonstrative et qui légitime la démarche expérimentale en mathématiques par l’utilisation des logiciels Maple ou Mathematica, logiciels systématiquement uti- lisés dans de nombreux concours, notamment dans le concours commun « Centrale - Supelec ». Mais les programmes des classes préparatoires ne sont pas les seuls à avoir évolué, les programmes de l’enseignement secondaire ont fait l’objet d’une évolution préalable. Enfin, l’attitude nouvelle des élèves face aux disciplines scien- tifiques rend inefficace l’approche axiomatique et leur appropriation grandissante de l’outil informatique nécessite d’intégrer cet outil à la pédagogie. L’ensemble de ces changements rend impérative la rédaction de nouveaux ouvrages. On constate que c’est davantage la structure, l’ordre des thèmes abordés, l’esprit du programme qui ont évolué, le fond étant resté relativement stable. Sur ce fond, que nous n’avons pas la prétention de renouveler, il existe déjà une abondante et excel- lente littérature ; nous revendiquons une continuité par rapport à nos illustres prédé- cesseurs et nous nous sommes largement inspirés de leurs écrits pour y puiser exer- cices et sujets en nous efforçant de les présenter en parfaite cohérence avec l’esprit du programme actuel. Car cette nouvelle collection répond à une nécessité : entière- ment rédigée après la parution des nouveaux programmes et le début de leur mise en oeuvre, elle garantit une parfaite compatibilité entre la rédaction des ouvrages et les préconisations du programme. . . ce que n’aurait pu assurer sans risque d’anomalies une simple remise en forme d’une rédaction antérieure. Tous les ouvrages de cette collection sont écrits trois ans après l’apparition des nouveaux programmes et en respectent scrupuleusement l’esprit. Les rédacteurs, ont enseigné et interrogé dans le cadre de l’ancien et du nouveau pro- gramme. Ils perçoivent donc parfaitement l’importance de l’évolution. Leur expé- rience de l’enseignement en classes préparatoires et à l’Université, leur interven- tion régulière en « colles », leur participation aux concours comme interrogateurs à l’oral et/ou correcteurs à l’écrit permettent d’affirmer qu’il s’agit d’équipes très

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« professionnelles ». L’équilibre entre la pluralité des approches qui enrichit le fond et la cohérence de la forme qui renforce l’efficacité est le résultat d’un véritable travail collaboratif, d’une maîtrise d’oeuvre rigoureuse et de sources d’inspiration précieuses. . . citons particulièrement pour les exercices d’oral la Revue de Mathé- matiques Spéciales, l’Officiel de la Taupe et les Archives des Professeurs de Spé du Lycée Henri Poincaré de Nancy en particulier celles constituées par Walter APPEL. Cette collection a l’ambition de faire bénéficier le lecteur de l’expertise profession- nelle des rédacteurs, chaque ouvrage est donc rédigé avec un souci de rigueur et de clarté au service de la pédagogie, souci qui s’exprime dans quelques principes :

– La qualité de rédaction aboutie exigée des élèves nécessite que les auteurs soient eux-mêmes exemplaires dans leur rédaction, aussi bien celle des énon- cés que celle des corrigés. Un soin tout particulier est apporté à l’écriture des éléments « logiques » : précis et sans ambiguïté , le style traduit explicitement les connexions logiques, implication, nécessité, suffisance, etc. dans un souci permanent de rendre explicite ce qui, ailleurs, reste parfois implicite.

– Les corrigés proposés sont toujours complets et commentés quand il le faut, en privilégiant les solutions méthodiques et raisonnables aux approches « astu- cieuses » et « miraculeuses ». L’expérience prouve en effet qu’un corrigé trop « brillant » inquiète l’élève qui se sent incapable de la même performance et ne lui apprend rien de la démarche constructive qui peut amener à une solution lorsqu’on possède une maîtrise suffisante des concepts. L’expérience montre aussi la vertu du contre-exemple. . . il en est fait un usage courant.

– La présence de rappels de cours synthétiques est nécessaire pour replacer les exercices dans leur contexte théorique sans avoir à quitter l’ouvrage en cours de lecture, pour fixer aussi quelques notations choisies parmi les standards. Mais ces éléments de cours ne se substituent en rien à l’enseignement magistral ou aux ouvrages de référence, ils constituent seulement un « minimum concep- tuel » immédiatement disponible pour aider la compréhension des exercices qui restent la matière essentielle de l’ouvrage.

– La volonté de respecter l’esprit des nouveaux programmes privilégie la présen- tation de sujets récents (de 2003 à 2006) en respectant scrupuleusement la forme de leur rédaction : aucun toilettage rédactionnel ne doit en masquer l’origina- lité, voire la difficulté. Le respect du lecteur exige sa mise en situation réelle de concours. Toutefois ces énoncés sont commentés et expliqués pour rassurer le lec- teur en lui montrant que sous des traits parfois déroutants on peut retrouver des « visages connus ». Certains exercices proposés aux concours avant 2003 figurent également dans cette collection en raison de leur intérêt ; ils sont alors rédigés sous une forme compatible avec le programme actuel.

Si ces principes généraux sont respectés dans l’ensemble de la collection, la plus grande maturité des élèves de deuxième année justifie quelques différences entre les ouvrages de première et de deuxième année. L’élève de première année peut avoir des difficultés à choisir seul, avec discernement, des sujets d’écrits dans les annales. Les

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ouvrages de première année présentent donc une sélection d’extraits de problèmes d’écrits. L’élève de deuxième année, plus mûr, est capable de trouver lui-même des sujets d’écrit, les ouvrages de deuxième année n’en présentent donc pas. Cette plus grande maturité explique aussi le choix qui a été fait de présenter en deuxième année un bon tiers des exercices d’oral dans leur rédaction d’origine, sans commentaires explicatifs, pour placer l’élève au plus près de la situation réelle du concours ; bien entendu, le corrigé est toujours rédigé clairement, avec toutes les indications et tous les commentaires que nécessite leur compréhension. L’objectif essentiel est le res- pect des élèves que l’on met dans une situation proche de celles des concours tout en les guidant dans la correction. Il semble également que des ouvrages spécifiques suivant les programmes (MP-MP*, PC-PC* et PSI-PSI*) soient justifiés en Mathé- matiques Spéciales alors qu’ils ne le sont pas en premier semestre de Mathématiques Supérieures. Mais, quels que soient les ouvrages, les auteurs ont réalisé un travail de sélection important parmi la multitude d’exercices disponibles pour proposer ceux qu’ils considèrent comme les plus significatifs : certains sont sélectionnés pour leur intérêt pédagogique, leur généralité, leurs déclinaisons possibles etc., d’autres sont présentés essentiellement pour donner une idée fidèle de « l’état de l’art actuel » des exercices d’oral et faire l’objet de commentaires au profit des futurs candidats. On aura compris que les ouvrages de cette collection sont avant tout au service des élèves pour lesquels elle constitue un véritable outil pédagogique d’appren- tissage et d’entraînement en vue des concours. Ces ouvrages devraient également convaincre les élèves de l’étendue des points abordés dans les sujets d’oral et d’écrit, qui couvrent réellement les programmes de première et de deuxième année. Mais les enseignants des C.P.G.E pourront aussi utiliser cette collection comme support de travaux dirigés et comme référence. Enfin, les examinateurs disposeront avec cette collection d’exemples de vrais sujets d’oraux donnés récemment ; les commentaires qui en sont faits pourront inspirer leur propre démarche pour une évaluation efficace et progressive des candidats. Pour conclure cette présentation, on me pardonnera d’utiliser un ton plus person- nel. Maître de conférences et agrégé en Mathématiques, j’ai souhaité partager plu- sieurs années d’expérience en assurant la maîtrise d’oeuvre des ouvrages de cette collection. Quinze années de participation à différents concours en tant que correc- teur d’écrit et examinateur d’oral, m’ont permis de bien connaître la littérature exis- tante et de bien observer l’évolution de l’attitude des élèves qui sont soumis, toujours davantage, à des sollicitations nombreuses et diverses, sollicitations qui ne facilitent pas la concentration et peuvent, parfois, les gêner dans la maîtrise de l’ensemble des techniques. La nécessité ressentie d’ouvrages adaptés, l’enthousiasme face à l’idée de les rédiger, l’impossibilité de réaliser seul un tel travail, m’ont conduit à réunir des équipes de rédaction et à assurer la maîtrise d’oeuvre du projet tout en partici- pant activement à l’écriture. Au delà de l’ambition de réaliser un travail de qualité, il s’agit d’une expérience humaine inoubliable. Trois personnes ont contribué à la réalisation de ce projet et je souhaite, au sens propre, leur donner le dernier mot : merci.

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Merci à Eric d’Engenières, responsable d’édition chez Dunod, qui m’a accordé sa confiance, a su m’encourager par la qualité de nos échanges et a pu me guider par des conseils et suggestions toujours formulés de manière chaleureuse. Merci à Hervé Coilland, directeur de l’I.U.T Nancy-Charlemagne et Vice-Président de l’Université Nancy 2 qui a toujours trouvé le temps pour des discussions ami- cales au cours desquelles se précisent les objectifs, s’échangent les idées et s’affinent quelques points de rédaction. Merci, infiniment, à Nezha, ma femme, qui accepte que beaucoup de temps soit consacré à ce projet, qui préserve autour de moi le calme nécessaire à une entreprise rédactionnelle, qui m’encourage et me conseille dans les phases les plus critiques et dont l’amour est un soutien permanent.

Nancy, le 15 février 2007 El-Haj LAAMRI

Avant-propos

Ce livre couvre le programme d’Analyse de deuxième année PC et PSI et poursuit la démarche rédactionnelle entamée avec les ouvrages de première année. Comme pour l’ensemble de la collection, le respect du programme officiel est un principe que nous avons suivi à la lettre. Ainsi, chaque exercice et chaque rappel de cours faisant appel à une notion qui n’est pas commune aux programmes de PC et PSI sont signalés de façon explicite. Par ailleurs, le programme prévoit la reprise et l’ap- profondissement en deuxième année de certains points abordés en première année : suites numériques, fonctions réelles d’une variable réelle, intégration sur un segment. Nous avons mis à profit cette possibilité pour que le présent ouvrage, tout en étant sans ambiguïté destiné aux élèves de deuxième année, présente trois chapitres utili- sables en première lecture dès le deuxième semestre de première année et pour les « révisions estivales » entre la première et la deuxième année. Les premiers chapitres traitent des suites numériques et des fonctions réelles d’une variable réelle. Ces notions déjà détaillées dans l’ouvrage de première année sont complétées ici par des exercices d’oral de 2007 et par des sujets nécessitant une maturité qu’on ne peut attendre au premier semestre de la première année. L’inté- gration sur un segment présente un large choix d’exemples de calculs d’intégrales ainsi que la mise en œuvre des propriétés de l’intégrale (essentiellement les inégali- tés) et l’étude de fonctions définies par une intégrale. Ce chapitre permet de réviser et d’approfondir le programme de première année tout en donnant une vue réaliste des exercices donnés à l’oral. Dans les chapitres sur les séries numériques, séries de fonctions, séries entières, séries de Fourier, nous insistons sur les méthodes et non sur les solutions astucieuses. . . souvent peu reproductibles. De même dans les chapitres concernant l’intégration sur un domaine non compact, nous avons privi- légié la méthode et la comparaison des outils. Par la ressemblance de leurs conclu- sions (mais non de leurs conditions d’application) certains théorèmes sont source de confusion : convergence uniforme, convergence normale, convergence dominée et corollaire, convergence des séries entières. Exemples et contre-exemples posent des points de repères pour éviter les confusions. Ensuite, dans la présentation des espaces vectoriels normés, nous avons tenu compte de l’appréhension, voire du malaise, que l’expérience nous a fait constater chez les élèves. Nous avons abordé ces notions en les mettant en œuvre dans un contexte familier et bien maîtrisé par les élèves (espaces de matrices et espaces de fonctions numériques continues sur un segment). Les équations différentielles linéaires constituent un chapitre très riche qui fait appel

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à un ensemble de connaissances débordant largement le cadre du chapitre. La par- tie consacrée à l’assimilation propose une révision puis un inventaire technique avec des exercices de mise en œuvre directe. La synthèse et l’approfondissement font le lien avec la technique et l’ouverture vers des notions plus étendues et plus générales. Clarification et points de repères nous ont semblé, là aussi, nécessaires. Enfin, même si les sujets concernant les équations différentielles non linéaires proviennent essen- tiellement des concours les plus « prestigieux », nous avons fait un effort particulier de rédaction pour les rendre abordables à tous les élèves et donner une occasion d’entraînement à l’écrit. Dans le chapitre consacré au calcul différentiel, nous avons tout d’abord rappelé les définitions essentielles, puis nous avons présenté de nom- breux exemples d’application à la recherche d’extrema et à la résolution d’équations aux dérivées partielles. Le dernier chapitre est consacré aux calculs d’intégrales mul- tiples et curvilignes, nous avons notamment insisté sur l’importance du paramétrage du domaine d’intégration et sur les techniques de changement de variables. Les premiers chapitres, par leur contenu et leur structure, marquent la transition entre les principes rédactionnels et pédagogiques propres aux ouvrages de première année et ceux utilisés pour les ouvrages de deuxième année. En première année, nous avions choisi de présenter et d’illuster de façon linéaire chaque nouvelle notion l’une après l’autre. Nous nous adressions alors à des lecteurs sortant des classes terminales et encore peu autonomes dans leur approche. En deuxième année, nous avons choisi de présenter globalement l’essentiel des notions d’un chapitre puis de progresser par étapes vers une compréhension et une maîtrise de plus en plus approfondies. Chaque chapitre (sauf les deux premiers) est donc constitué de trois parties :

– une présentation synthétique de l’essentiel du cours suivie d’exercices d’assimila- tion immédiate, dans lesquels chaque nouvelle notion est testée, sans complication inutile à ce niveau, dans un contexte qui permet d’identifier clairement une et une seule difficulté et de la résoudre, en respectant une sorte de « règle des trois uni- tés » : un exercice, une difficulté, une solution ;

– des exercices d’entraînement dont la rédaction progressive et le découpage en questions ont pour objectif d’amener le lecteur à la compréhension en le confron- tant de façon progressive aux difficultés propres à la notion étudiée ;

– des exercices d’approfondissement destinés à mettre l’élève en situation de concours , avec la nécessité pour lui de faire preuve de compréhension, d’initia- tive, d’intuition et de maîtrise technique.

La lecture d’un tel chapitre n’est donc plus nécessairement linéaire. La structure est parfaitement adaptée à des lecteurs de niveaux variés qui pourront éventuellement passer directement à une forme d’auto-évaluation en se concentrant sur les exercices d’approfondissements ou, au contraire, progresser pas à pas avec les exercices d’as- similation. Si les élèves de deuxième année ont pu gagner en autonomie, il n’en reste pas moins que leurs niveaux de compétence et de compréhension restent très hétéro- gènes. Ainsi, entre des « 3/2 » qui découvrent le programme pour la première fois

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et n’ont encore été confrontés à aucun concours, des « 5/2 » qui ont déjà étudié le programme mais ont échoué à leur première expérience et des « 5/2 » déjà admis à des concours mais dont l’ambition les amène à viser encore plus haut, les différences sont très fortes. Ce sont ces différences, constatées en particulier lors des séances de « colles », qui nous ont amenés à cette rédaction permettant plusieurs niveaux de lecture et d’utilisation de l’ouvrage. Entre les chapitres eux-mêmes, le programme de deuxième année n’impose pas d’ordre ni de découpage, contrairement au programme de première année. Cette liberté nous a permis de choisir une progression qui nous semblait la plus adaptée et la plus équilibrée. Chaque étape présente un nombre de notions nouvelles accep- table pour une perception d’ensemble compatible avec la structure des chapitres. Il n’y a pas que la hauteur des étages qui fait la difficulté d’un escalier : la hauteur acceptable des marches et leur régularité peut faciliter l’ascension. . . Nous avons donc retenu une progression qui nous semble adaptée, sans affirmer pour autant que d’autres progressions sont à rejeter. Notre diversité d’expérience, avantage de la rédaction collective, nous amène d’ailleurs à utiliser différentes progressions dans nos pratiques d’enseignement. Il reste ensuite le choix le plus difficile : face à l’infi- nité d’exercices possibles et au temps fini dont disposent les élèves pour préparer les concours, que proposer ? Quelques principes ont guidé notre sélection :

– respecter le parti-pris de progressivité en donnant des exercices qui permettent

d’assimiler, puis de s’entraîner et enfin d’approfondir ;

– donner une vue précise et réaliste d’exercices qui « tombent à l’oral » en s’ap- puyant en particulier sur une veille attentive des sujets donnés à l’oral dans plu- sieurs concours depuis plusieurs années ;

– privilégier les exercices « génériques » dont la maîtrise donne les clefs de nom- breux exercices (comme il avait déjà été annoncé en avant-propos des ouvrages de première année : habituer les élèves à reconnaître les « visages connus » sous leurs différentes apparences) ;

– profiter du « nomadisme » des exercices constaté entre des concours différents et ne pas hésiter à proposer un sujet de MP si son intérêt pédagogique le justifie, sachant que ce même sujet peut apparaître plus tard en PC ou PSI. . .

– convaincre les élèves que les oraux couvrent tout le programme des deux années (le théorème des accroissements finis, par exemple, pose beaucoup de problèmes aux élèves qui doivent l’utiliser à l’oral).

Pour éviter l’arbitraire des préférences personnelles lors d’une rédaction collective, une référence incontestable et « objective » est nécessaire : nous avons choisi pour référence la réalité des exercices donnés à l’oral, principalement depuis 2004, date d’application du nouveau programme. Mais ces exercices ont pour objectif le « clas- sement » des élèves et non leur formation. Dans un ouvrage d’apprentissage quo- tidien, certaines retouches se sont avérées nécessaires : lorsqu’ils utilisent ce livre, les élèves sont en cours de formation et pas encore en concours ! Notre expérience

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d’enseignants d’abord, de « colleurs » ensuite, d’examinateurs enfin, nous a per- mis d’observer en situation réelle, dans différentes classes, les élèves face à ces exercices. . . ce qui nous a convaincus de la nécessité d’en faire évoluer la rédac- tion pour qu’ils passent du statut d’exercice d’oral au statut d’exercice pédagogique. Notre expérience nous a permis cette adaptation sans, en aucune manière, dénatu- rer ces exercices. La rédaction retouchée de certains exercices répond à la fois à un objectif pédagogique et psychologique. Objectif pédagogique de guider l’élève par une rédaction détaillée qui fasse apparaître de façon explicite les difficultés et les techniques à maîtriser. Objectif psychologique de rassurer l’élève en l’amenant à résoudre seul une majorité de questions en favorisant ainsi le développement de son autonomie. Si un sujet a été donné à plusieurs concours, nous avons toujours choisi la version qui nous semblait la plus pédagogique, la plus détaillée. Nous avons éga- lement regroupé certains énoncés d’oral qui nous semblaient complémentaires ou permettaient de donner un aperçu des sujets régulièrement abordés à l’écrit. Quant aux éléments de cours, chacun sait que ce qui est élégamment écrit dans un cours à la rédaction parfaite n’est pas toujours aussi clair dans l’esprit des élèves. . . et nous n’avons pas hésité, parfois, à sacrifier l’élégance de la rédaction à la redondance lorsque cette dernière nous permettait de rendre explicites des notions souvent res- tées implicites. C’est en premier lieu aux élèves des classes préparatoires MP, MP*, PC1, PC2 et PC* du Lycée Henri Poincaré et PSI et PSI* du Lycée Henri Loritz de Nancy que nous adressons, collectivement, nos remerciements. Ils ont en effet largement contribué par leurs réactions, leurs questions, leurs erreurs et leur compréhension à guider nos efforts de présentation des exercices, de clarification des questions, de simplification des corrigés. Toujours aussi enthousiasmante cette aventure rédactionnelle est aussi une aventure humaine dans laquelle nous avons été aidés. Aidés matériellement par l’Institut Elie Cartan de Nancy qui nous a permis d’utiliser ses moyens informatiques et ses ressources documentaires. Aidés par l’IREM qui nous a donné un accès privilégié à ses ressources documen- taires, ainsi que par l’I.U.T Nancy-Charlemagne dont la bibliothèque nous a toujours reçus avec sourire et efficacité. Aidés également par le Lycée Henri Poincaré de Nancy qui nous a accueillis chaque samedi matin, de septembre à mars, dans une salle équipée de moyens informatiques. Aidés aussi par deux collègues de l’Institut Elie Cartan, Julien Chenal et Yannick Privat, qui ont lu une partie du manuscrit. Aidés enfin par trois collègues du Lycée Henri Poincaré, Gilles Demeusois, Michel Eguether et Edouard Lebeau qui nous ont lus en détail et dont les remarques ont sensiblement amélioré le présent ouvrage. Que tous soient sincèrement remerciés. Il est inévitable que certaines erreurs aient échappé à la vigilance de tous ceux qui ont lu cet ouvrage. Nous en assumons seuls la responsabilité et nous espérons que

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ceux qui en découvriront voudront bien nous faire part de leurs remarques à l’adresse suivante [email protected]. Enfin, si dans cette aventure humaine certaines personnes nous ont aidés, il en est sans qui rien n’aurait été possible. Nos compagnes, par leur infinie patience, leur soutien sans faille et leur attentive présence ont joué un rôle essentiel dans l’abou- tissement de ce projet. Au moment de mettre un point final à cet ouvrage c’est vers elles que nos pensées se tournent.

Nancy le 15 avril 2008 El-Haj Laamri, Philippe Chateaux, Gérard Eguether, Alain Mansoux, David Rupprecht, Laurent Schwald

Les exercices qui nous ont semblé les plus difficiles sont signalés par un ou deux symboles K.

Table des matières

Chapitre 1. Suites Numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 2. Fonctions réelles d’une variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Exercices d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices d’approfondissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 3. Intégration sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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L’essentiel du cours et exercices d’assimilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Chapitre 4. Séries numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Chapitre 5. Espaces vectoriels normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Chapitre 6. Suites et séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Chapitre 7. Séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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