TD N°2 : Actions mécaniques

Ce document traite des actions mécaniques en statique des solides, destiné aux étudiants en sciences industrielles. Il présente plusieurs exercices d’application pour modéliser et analyser les actions mécaniques sous forme de torseurs, notamment sur une table, une porte de bief, un barrage, et un frein à tambour.

Exercice 1 : Actions mécaniques sur une table

On considère quatre actions mécaniques agissant sur une table : trois forces appliquées en des points A, B et C, et un couple. L’objectif est de modéliser ces actions sous forme de torseurs ramenés en un point O, puis de déterminer l’axe central du torseur résultant et un point central situé sur le plan de la table.

Modélisation des actions mécaniques

• Les actions mécaniques de type forces sont modélisables par des torseurs à résultantes :

{
T(actionméca1table0) = { 0 ; 0 ; F1 ; 0 ; 0 ; 0 }
}
{
T(actionméca2table0) = { 0 ; F2 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 }
}
{
T(actionméca3table0) = { F3 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 }
}

• L’action mécanique de type couple est modélisable par un torseur couple :

{
T(actionméca4table0) = { 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; H }
}

Ramené en O

On calcule les moments en O des actions mécaniques 1, 2 et 3, puis on additionne avec le couple (invariant en tout point) :

{
T(actionméca1table) = { 0 ; 0 ; F1 ; bF1 ; 0 ; 0 }
}
{
T(actionméca2table) = { 0 ; F2 ; 0 ; 0 ; dF2 ; 0 }
}
{
T(actionméca3table) = { F3 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; dF3 }
}
{
T(actionméca4table) = { 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; H }
}

Le torseur résultant est la somme :

{
Ttable = T1 + T2 + T3 + T4
= { F3 ; F2 ; F1 ; bF1 ; dF2 ; dF3 + H }
}

Détermination de l’axe central et du point central

L’axe central a pour vecteur directeur la résultante des forces :

R = (F3, F2, F1)

Un point P de cet axe, situé sur le plan de la table (z = 0), vérifie :

OP = (x, y, 0)

avec x et y déterminés par la résolution des équations :

l = (dF2 + bF1 - H) / F1
x = (H b - dF3) / F1
y = (dF3 + H b) / F2

Dans le cas particulier où b = F2 et p = F1 = F3, on obtient :

x = (H a) / F1 + 1
y = (H a) / F1 - 1

Le point central P a donc pour coordonnées :

P = (x, y, 0)

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Exercice 2 : Action mécanique de l’eau sur une porte de bief verticale

Une porte rectangulaire de 4 m de haut et 10 m de large ferme un bief de canal de 3 m de profondeur. L’objectif est de déterminer le torseur des actions mécaniques exercées par l’eau sur la porte, puis de localiser le point d’application de la résultante des forces de pression.

Modélisation de la pression de l’eau

La pression varie avec la profondeur y selon :

p(y) = ρ_eau * g * y

avec ρ_eau = 1000 kg/m³ et g l’accélération gravitationnelle.

La force élémentaire sur une tranche horizontale dy est :

dF = p(y) * (largeur) * dy = ρ_eau * g * y * 10 * dy

Calcul du torseur en O

La résultante des forces est :

R = ∫₀³ ρ_eau * g * y * 10 dy = ρ_eau * g * 10 * ∫₀³ y dy = ρ_eau * g * 10 * (3² / 2) = 45 000 N

Le moment en O est :

M = ∫₀³ ρ_eau * g * y * 10 * y dy = ρ_eau * g * 10 * ∫₀³ y² dy = ρ_eau * g * 10 * (3³ / 3) = 4.5 × 10⁴ N·m

Détermination du point d’application B

Le point B est situé à la profondeur y telle que :

M = R * y

Donc :

y = M / R = 1 m

Le point B est situé à 1 mètre du fond du bief, ou à 2 mètres de la surface de l’eau.

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Exercice 3 : Action mécanique de l’eau sur un barrage

On considère un déversoir homogène supportant une hauteur d’eau h. La largeur du barrage varie avec la hauteur selon une fonction l(z). L’objectif est de déterminer la position du centre de gravité du barrage, puis de modéliser l’action mécanique de l’eau sous forme d’un torseur réduit en O.

Calcul du centre de gravité

La largeur l(z) est déterminée par l’intersection entre un cercle de rayon R et une droite, avec :

l(z) = R * cos(θ) + a * z + L

La surface de la section du barrage est :

S = ∫₀^h l(z) dz

Le centre de gravité G a pour coordonnées :

x_G = (1/S) ∫₀^h z * l(z) dz
z_G = (1/S) ∫₀^h z * l(z) dz

Les intégrales sont calculées en fonction de R, L, a et h. Le résultat donne la position précise de G.

Modélisation du torseur des actions mécaniques de l’eau

La pression de l’eau varie avec la profondeur z :

p(z) = ρ_eau * g * z

L’action mécanique élémentaire sur une surface élémentaire ds est :

dF = p(z) * ds * n

Le torseur global est obtenu par intégration sur la surface :

T_eaubarrage = ∫ p(z) * ds * (force et moment)

Le point O est un point central, l’axe central est la droite passant par O avec vecteur directeur la résultante :

R = (R_x, 0, R_z)

L’angle a entre l’axe central et l’horizontale est :

a = arctan(4 * p / 9) ≈ 39,3°

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Exercice 4 : Action mécanique de frottement sur un frein à tambour

Le frein à tambour fonctionne par le plaquage de deux mâchoires flottantes sur un tambour tournant, créant une force de frottement. L’objectif est de déterminer le torseur d’action mécanique global des mâchoires sur le tambour et le couple de freinage.

Répartition de la pression

La pression p exercée par la garniture est proportionnelle à l’usure radiale MM2, qui dépend de l’angle a :

MM2 = R * dj * (cos² a + sin² a) = R * dj * cos a

La pression est donc :

p(a) = p_max * cos a

Torseur d’action mécanique de la mâchoire droite

La pression exercée sur la mâchoire droite est :

p_1(a) = p_max1 * cos a

Le torseur en O est :

{
T_ensemble_droit = ∫ p_1(a) * dS * (force et moment)
}

avec un coefficient de frottement f, la force tangentielle locale est :

F_tangente = f * F_normale

Torseur d’action mécanique de la mâchoire gauche

La pression exercée sur la mâchoire gauche est :

p_2(a) = p_max2 * cos a

Le torseur est calculé de manière similaire, en tenant compte que l’angle a est négatif dans cette zone.

Torseur global et couple de freinage

Le torseur total est la somme des torseurs des deux mâchoires :

{
T_frein_tambour = T_ensemble_droit + T_ensemble_gauche
}

Le couple de freinage est :

C_f = f * ∫ p(a) * R * dS * cos a

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Glossaire des termes clés

• Torseur : représentation mathématique regroupant une force résultante et un moment résultant appliqués en un point donné.
• Résultante : somme vectorielle des forces appliquées sur un solide.
• Couple : action mécanique constituée uniquement d’un moment, sans force résultante.
• Axe central : droite caractéristique d’un torseur où le moment est colinéaire à la résultante.
• Point central : point situé sur l’axe central où le moment est minimal.
• Pression hydrostatique : pression exercée par un fluide en fonction de la profondeur.
• Force de frottement : force s’opposant au mouvement relatif entre deux surfaces en contact.
• Coefficient de frottement (f) : grandeur sans dimension caractérisant l’intensité du frottement entre deux surfaces.
• Usure radiale : déplacement infinitésimal d’une garniture de frein en contact avec le tambour, proportionnel à la pression exercée.

Points clés à retenir

• Les actions mécaniques sur un solide peuvent être modélisées par des torseurs combinant forces et moments.
• Le torseur résultant d’un ensemble d’actions peut être ramené en un point unique, facilitant l’analyse.
• L’axe central et le point central du torseur permettent de caractériser la ligne d’action globale des forces.
• La pression exercée par un fluide varie linéairement avec la profondeur, ce qui influence la résultante et son point d’application.
• La modélisation des forces de frottement sur un frein à tambour repose sur une répartition de pression proportionnelle à l’usure radiale.
• Le couple de freinage est calculé en intégrant la pression et le coefficient de frottement sur la surface de contact.