r
z
r
y
Sciences Industrielles
TD N 2 : Actions m caniques
Statique des solides
TD N 2 : Actions m caniques
Exercice 1 : Table
D terminer sous forme dun seul torseur ramen en O, lensemble des actions m caniques qui
sexercent sur la table repr sent e ci-dessous.
Action m canique 1 de
r
FF z= -
type force
1
1
sappliquant en A
r
r
y
Action m canique 3 de
r
FF x=
type force
3
3
sappliquant en C
r
O
Action m canique 2 de
r
FF y=
type force
2
2
sappliquant en B
r
On donne les dimensions suivantes :
r
x
Action m canique 4
de type couple
r
r
HH z=
r
uuur
r
; OBcxd z=
+
=
OAaxbyd z
avec d la hauteur de la table.
uuur
+
r
r
+
r
uuur
r
; OCpyd z=
+
r
Questions :
1) Mod liser les quatre actions m caniques qui agissent sur la table sous forme de torseur
(le plus simple possible) en un point de votre choix
2) Mod liser lensemble des quatre actions m caniques en O
3) D terminer laxe central du torseur des quatre actions m caniques qui agissent sur la
table ainsi que le point central qui se situe sur le plan de la table.
On pourra prendre pour all ger les calculs le cas particulier :
b
=
=
F
2
p
=
F
1
F
3
Exercice 2 : Action m canique de leau sur une porte de bief verticale
cluse
Porte
Articulation
Point A
1 m
3 m
eau
But e
O
Fond du canal
r
x
Une porte
rectangulaire dont la
section est montr e ci-
contre mesure 4m de
haut et 10m de large.
Cette porte ferme
lextr mit dun bief
de canal de 3m de
profondeur.
Kgmgm s
3
10
=
2
eau
On rappel :
=
1000/
r
On prendra
yr=
pyg
()
eau
(
3
)
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TD N 2 : Actions m caniques
Statique des solides
Questions :
1) D terminer sous forme de torseur en O, laction m canique de leau sur la porte du bief
2) D terminer le point B sur la porte du bief o sapplique la r sultante des forces de
pression, cest dire la r sultante de laction m canique de leau sur la porte.
Exercice 3 : Action m canique de leau sur un barrage
On consid re un d versoir homog ne (sorte de barrage rempli ras bord ) dont la section
est repr sent e ci-dessous. Ce barrage supporte une hauteur deau not e h (voir sch ma)
r
x
O
p
3
R
L
h =
R
3
2
(
Mp z
)
M
eau
r
z
a
Questions :
1) D terminer la position du centre de gravit du d versoir (ou barrage) : calculs difficiles
2) Mod liser sous forme dun torseur r duit en O, laction m canique quexerce leau sur le
d versoir (ou barrage) pour une largeur unitaire de 1 m tre. On rappelle que la pression
varie avec le profondeur de la fa on suivante :
atmosph rique et avec r
( )pzgz r=
la masse volumique de leau.
3) D terminer laxe central de ce torseur des actions m caniques quexerce leau sur le
d versoir. Proposer une mod lisation globale de cette action m canique r partie sous
forme dune force ( d terminer), sappliquant en un point A ( d terminer) de la surface
du d versoir (ou barrage)
en n gligeant la pression
Exercice 4 : Action m canique de frottement sur un frein tambour
Principe : Sous leffet de leffort exerc
par le piston, les deux m choires
flottantes avec leurs garnitures se
plaquent sur le tambour tournant cr ant
ainsi une force de frottement qui ralenti
le tambour et donc le v hicule.
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TD N 2 : Actions m caniques
Statique des solides
L tude a pour objectif de d terminer laction m canique globale des deux m choires sur le
tambour lors de la phase de freinage.
Question 1 :On pourra prendre le r sultat pour r pondre aux questions suivantes
Mod lisation de la r partition de pression exerc e par une m choire sur le tambour tournant
On admet que la pression est proportionnelle lusure radiale de la garniture (soit la longueur
MM2). Or la m choire, et donc sa garniture, tourne autour dun point fixe A.
r
y
J
a
dj
et de largeur L.
Param trage du probl me :
La surface frottante entre un
ensemble (garniture+m choire)
et le tambour tournant est
mod lis e par un arc de cercle de
centre O, de rayon R, de secteur
)
angulaire (
;J J
Soit un point M courant de la
surface frottante. Lorsque
lensemble (m choire+garniture)
tourne dune quantit
infinit simale (usure) dj autour
de son articulation A, le point M
se d place en M1. Le point M2 est
la projection du segment MM1
sur la droite OM
r
x
D terminer la longueur MM2 en fonction de a et des autres param tres du probl me
lorsque lensemble (m choire+garniture) tourne dune quantit infinit simale (usure)
dj
En d duire que la r partition de pression quexerce lensemble (m choire+garniture)
p
sur le tambour tournant est de la forme :
=
a
a
(
)
p
max cos
Question 2 :
D terminer en fonction de max
p
droit
p=
1
et du param trage le torseur daction
m canique en O quexerce lensemble droit (m choire+garniture) sur le tambour
tournant.
D terminer en fonction de max
p
gauche
p=
2
et du param trage le torseur daction
m canique en O quexerce lensemble gauche (m choire+garniture) sur le tambour
tournant.
On donne la figure param tr e pour lensemble m choire + garniture droite :
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TD N 2 : Actions m caniques
Sens de rotation
du tambour
r
y
r
ta
r
na
J
a
Statique des solides
En plus du param trage
pr c dent, on prendra un
coefficient de frottement de
valeur f
R partition de pression
p
max
droit
p=
1
r
x
Sens de rotation
du tambour
Garniture +
m choire
droite
Garniture +
m choire
gauche
Garniture +
m choire
gauche
Tambour
Question 3 :
En d duire en fonction de max
ainsi que du param trage le torseur
daction m canique en O quexerce lensemble des deux m choires et des deux garnitures sur
le tambour tournant.
En d duire le couple de freinage obtenu par ce frein tambour. On le notera
et max
p
p=
p=
gauche
droit
p
2
1
fC
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TD N 2 : Actions m caniques
Statique des solides
TD N 2 : Correction
Actions m caniques
Exercice 1 : Table
Question 1 :
Les actions m caniques de type forces sont mod lisables par des torseurs r sultantes. On a
donc :
{
T
(
actionm ca1table0
{
T
(
actionm ca3table0
0
F
1
Ax y z
0
0
F
3
0
(
r r r
;
;
)
}
)
=
0
}
)
=
0
{
T
(
actionm ca2table
}
)
=
0
F
0
2
0
Bx y z
0
0
(
r r r
;
;
)
r r r
;
;
Les actions m caniques de type couple sont mod lisables par des torseurs couple. On a
donc :
(
)
0
Cx y z
0
{
T
(
actionm ca4table0
}
)
=
0
0
0
0Ox y z
H
(
r r r
;
;
)
Question 2 :
Il suffit de recalculer les moments en O des actions m caniques 1, 2 et 3 puisque laction
m canique 4 tant de type couple, sa forme math matique est identique en tout point de
lespace.
r
rr
(
+ = +
MtableMtableOAFbaF
O
(
110
)
=
0
A
uuur
)
=
r
(
)
1
abF
0
d
F
1
1
1
0
, on peut donc
r crire le torseur de laction m canique 1 sur la table en O :
{
(
TaF
actionm ca1table
}
)
=
0
0
F
1
Ox y z
bF
1
1
0
(
r r r
;
;
)
rr
MtableMtableOBF
O
2200
)
=
(
r
(
+ =+
0
B
=
)
F
uuur
r
(
)
2
cdF
0
2
0
dcF
2
2
, on peut donc
r crire le torseur de laction m canique 2 sur la table en O :
{
T
(
actionm ca2table
}
)
=
0
dF
2
F
0
2
0Ox y z
cF
2
(
r r r
;
;
)
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TD N 2 : Actions m caniques
rr
MtableMtableOCF
O
330
)
=
0
(
C
r
(
+ = +
Statique des solides
uuur
)
=
r
(
)
3
0
F
3
0
dpF
0
3
3
, on peut donc
r crire le torseur de laction m canique 3 sur la table en O :
{
(
TdF
actionm ca3table
}
)
=
{
T
(
actionm ca4table0
}
)
=
0
F
3
0
0
0Ox y z
3
pF
3
(
r r r
;
;
)
0
0
0Ox y z
H
(
r r r
;
;
)
Question 3 :
Lensemble de ces quatre actions m caniques est donc mod lisable par un seul torseur en O, tel
que :
}
{
(
)
=
1 2 34table1table2table3table4table
T
T
TT
+ + +
}
)
}
)
}
)
{
{
{
{
T
+
+
(
(
(
(
OO
O
O
}
)
Soit :
{
TFdFaF
(
+ + + =
1 2 34table
}
)
+
O
FdFbF
32
1
+
O
1
23
F HpFcF
13
+
2
uuur
r
)
. Puisque lon nous le demande,
r
+
uuur
r
r
=
Laxe central a donc comme vecteur directeur la r sultante du t orseur ci-dessus, cest dire
r
+
uFxFyF z
. Un point de cet axe central, cest dire un point central, est le point P
3
r
PMtableRtable
(
)
+ + + =+ + +
1 2 341 2 3 4
tel que
l
(
r
r
r
2
1
+
on va chercher P sur la table, cest dire avec OPxxyydz
rr
r
)
)
MtableMtablePORtable
P
qui donne l quation suivante r soudre pour trouver les coordonn es x et y sur la table :
r
(
(
+ + +
1 2 3401 2 341 2 3 4
O
)
+ + + ==+ + + +
=
(
, ce
1
l
l
-+-
FdFbFxFdFbFyFdFyb F
32132
++-
=
FdFaFyFdFaFdFxFax F
23123
+
FHpFcF
13213
++
12
=+
31
+
+
dF HpFcFxFyFHpFcFxFyF
2
233
On obtient donc trois quations :
1
++-
2
+
2
-=
l
3
1
1
l
(
=
Fyb F
3
(
= -
=-
FaxFx
2
(
)
+
+-+
F HypFxc F
13
l
2
-=
l
)
)
a
1
1
(
)
=
y
F
l
3
F
1
+
b
F
l
2
F
1
2
F
l
-=++-+-
3
FHbpFac F
l
13
F
1
+
(
(
)
)
F
l
2
F
1
De la troisi me quation on tire l :
l
=+-+
(
2
F
2
F
+
1
2
F
1
)
2
F
3
(
)
HbpFac F
(
3
)
2
, do les coordonn es litt rales :
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TD N 2 : Actions m caniques
Statique des solides
=-+-+
xaHbpFac F
(
+
2
F
2
F
2
2
F
1
=++-+
ybHbpFac F
(
+
2
F
2
F
3
2
F
1
(
(
)
)
3
3
(
(
)
)
2
2
)
)
F
2
3
2
F
3
Ce qui se simplifie dans le cas particulier :
b
=
=
F
2
p
=
F
1
F
3
, de la fa on suivante :
1
+
=++
xaHac F
F
1
1
+
ybHac F
F
1
=-+
(
(
)
)
1
1
Laxe central est donc la droite de vecteur directeur la r sultante du torseur :
passant par le point central P de coordonn es :
)
(
1
+
=++
xaHac F
P
F
1
1
+
=-+
ybHac F
P
F
1
z
P
1
(
)
1
=
d
r
+
uFxFyF z
3
=
r
r
r
2
1
Exercice 2 :
Question 1 :
Pour avoir le torseur des
actions m caniques de
leau sur la porte du bief,
il suffit de sommer ,
cest dire dint grer les
actions m caniques
locales. Celle-ci ne sont
pas autre chose que le
produit de la pression par
la surface l mentaire.
r
y
cluse
eau
pression
p y
( )
Fond du canal
O
On va prendre comme surface l mentaire ds , une surface sur laquelle la pression est
r
consid r e comme constante, cest dire un rectangle situ la hauteur y suivant (
;O y
r
);O z
dimension dy suivant (
et 10 m (soit la largeur totale de la porte) suivant (
r
;O y
)
r
x
)
de
Laction m canique locale de leau sur la porte en un point courant M situ la hauteur y
suivant (
se d crit par le torseur en O :
r
;O y
)
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Statique des solides
r
(
dfeauporte
r
(
dMeauporte
M
M
O
10
r
10
r
eau
eau
(
)
gydy x
3
(
gyydy z
3
)
O
O
r
p yds x
( )
uuuur
(
OMp yds x
( )
=
r
)
O
)
)
r
=
O
r
(
gydy x
310
r
eau
(
(
yygydy x
r
) (
310
r
eau
)
) (
r
)
r
)
Laction m canique globale de leau sur la porte est donc mod lisable par le torseur en O :
r
)
=
Reauportegydy x
10
3
r
(
(
)
=
3
r
y
=
y
0
eau
{
Teauporte
(
}
)
=
O
O
O
{
Teauporte
(
}
)
=
r
)
=-
Meauportegyydy z
(
Oeau
=
3
y
=
y
0
10
r
r
)
=
Reauportegxydy
(
10
r
eau
r
=-
Meauportegzyydy
(
Oeau
)
10
r
(
3
(
3
=
3
y
=
0
y
)
)
=
3
y
=
y
0
(
3
r
r
Or
(
3
-=-
)
ydy
=
3
y
=
y
0
=
O
(
1
2
3
y
2
)
3
0
Do :
O
{
Teauporte
(
}
)
=
O
(
-=
yydy
3
)
y
y
0
=
=
3
et
9
2
r
(
Reauportex
(
r
MeauportezNm
= -
O
)
=
N
)
4
45.10
4
45.10
3
r
r
2
y
=
23
(
3
y
)
(
)
r
)
3
2
0
9
Remarque : leau exerce donc une force de
45.10 Kg = 45 tonnes
3
45.10 N soit le poids dune masse de
4
Question 2 :
Pour d terminer le point B (situ une hauteur y d terminer) sur la porte du bief o
sapplique la r sultante des forces de pression, cest dire la r sultante de laction m canique
de leau sur la porte, il suffit de d terminer B tel que
On crit donc :
rr
)
MeauporteMeauporteBOReauporte
B
== +
r
(
r
0
(
O
r
r
(
) 0
BMeauporte
=
uuur
) { (
r
y y
.
1444244431442443
r
z
4
45.1045.10
r
)
4
r
x
r
rr
444
+
045.1045.1045.1045.10
zyyxzy z
=-
=-
r
4
r
Soit l quation :
y =
On a donc
2 m tres de profondeur.
1 m tre.
Le point B est donc situ 1 m tre de puis le fond du bief, ou encore
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TD N 2 : Actions m caniques
Exercice 3 :
Statique des solides
Question 1 : D terminons la position du centre de gravit du barrage.
r
x
O
On prend comme
surface dint gration,
un rectangle de hauteur
dz et de largeur
d pendant de z : l(z)
Le centre de gravit P
de ce rectangle est bien
s r en son centre .
Voir figure ci-contre
R
M
(
Mp z
)
eau
r
z
dz
h =
R
3
2
L
z
P
l z
( )
a
l z
Calcul de ( )
l z est comprise entre le cercle de centre O et de rayon R gauche et une droite du
La largeur ( )
cot droit.
L quation du cercle est :
L quation de la droite est celle dune droite qui passe par les points de coordonn es :
(
R L+
et (
; 0 ; 0
soit
h
; 0 ;
R
.
)
)
x
z
z
2
2
2
+
2
=
2
=
xR
Soit
- =
x R L a
, ou bien encore :
+ +
R La
z
h
a z
=+ +
xR L
h
a z
=+ +-
R
h
lzx
Comme ( )
=
x
droitecercle
, on a :
lzRL
( )
z
2
2
Calcul de la position du centre dinertie G du barrage :
uuuruuur
=
OGOPds
=
surface de la section du barrage( )
=
Sl zdz
avec
1 z h
=
=
S
0
z
=
z h
=
0
Publicité
z
,
2
R
-+=+
2
z
uuur
OP
=
+
z
2
lzaz RLR
( )
+
222
h
0
z
2
2
et enfin
dsl zdz=
( )
.
Commen ons par calculer la surface de la section du barrage :
==
zhzhz h
-=
==+ +-
( )
Sl zdzRL
==
zz
00
+
azah
+-
RzdzhRLR
h
zdz
222
2
ah
+
=
ShRLzR
2
(
z
+-
R
)
+
1
2
22
2
arcsin
z
2
=
z h
=
z
0
z
R
=
(
=
0
)
(
)
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Statique des solides
=
ah
+
ShRLhR
2
(
h
+-
R
)
+
1
2
22
2
arcsin
h
R
or
h
= =
R
3
22
h
=
arcsinarcsin
R
3
p
3
donc :
=
ShRL
ah
+
2224
(
+-
)
- +
133
2
2
R
R
3
2
1arcsin
Ra
3
=++-
SR L
222
(
+
4
3
)
2
R
3
p
Cette surface peut tr s bien tre obtenue par addition soustraction de surface l mentaire, de la
fa on suivante :
O
Surface 1 :S1
Surface 3 :S3
O
Surface 2 :S2
p
3
R
p
3
R
Surface 4 :S4
On a donc tr s simplement :
S
Or
=++=+ +
SR LahR L a
1
)
(
(
Sha=
3
1
2
=
Ra
3
2
et
S
4
Do
(
=++-
SR La
)
R
p=
6
RRRa
33
282
=
S
1
)
S
2
R
3
2
S
3
,
=
ShR
2
S
4
1
23
cos
p
8
=
2
3
R
2
2
3
6
p
2
R
, ce qui donne apr s factorisation :
Ra
3
=+ +-
SR L a
222
R
4
+
3
2
3
p
soit
3
Ra
=++-
SR L
222
R
+
4
3
2
3
p
On retrouve bien la m me expression que par int gration.
r
On a donc calculer les coordonn es suivant x
r
et z
de G soit :
x
G
et
z :
G
=
z h
=
xx l zdz
G
=
z
P
0
1
S
( )
Emmanuel FARGES
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Tous droits de lauteur des Suvres r serv s. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des Suvres autre que
la consultation individuelle et priv e sont interdites.
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Sciences Industrielles
TD N 2 : Actions m caniques
Statique des solides
xRL
G
1
=
z h
=+++ +-
Rzdz
=
Sh
0
z
+
azRLRzaz
22
2
2
2
h
2
2
=
z h
=+ ++-+ +-
=
z
0
1
Sh
2
azaz
1
=++
2
S
=
z h
=
0
z
az
h
1
=+++
2
Sh
=
z h
=
0
z
2
a
+
2
zzRL
2
h
RL
222
RzRL
2
(
zdz
RLR
2
Rzdz
2
)
h
2
2
a
(
LRLdz
)
(
2
3
h a
1
=+++
xahRLhLRL
G
2
h
S
3
2
+
2
(
)
(
2
2
2
)
=+++
xaRL
G
2
4
=
x
G
3
R
(
++-
2
R L
3
2
)
R
+
+
LRL
Ra
3
222
2
1
p
3
2
a
3
(
+++
aRL
(
)
LRL
+
2
2
)
a
3
2222
++-
(
R L
3
)
+
R
1
p
1
=
Publicité
zhz h
==+ +-
zz l zdzzRL
G
P
=
SS
0
z
( )
Rzdz
h
1
=
=
0
z
a z
zRLz
G
1
=++-
S
2
ah
R
3
(
zdz
)
2
h
2
(
=
z h
=
z
0
2
2
zRL
G
13
=+++
S
22
aRR
48
1
(
3
2
R
)
4
R
3
2
)
,
h
=+++
xaRL
G
2
S
2
a
+
LRL
3
2
a
3
(
)
(
(
2
)
(
2
2
)
)
2
2
2
,
1
=+++
zRLR
G
S
2
ah
z
32
(
3
2
h
)
1
(
2
2
3
2
)
h
0
,
13
=++
zR L
G
S
22
aRR
7
(
4824
3
R
)
)
3
=
z
G
R
R L
aRR
(
++
4824
++-
(
R L
3
a
3
2222
3
)
)
+
2
7
R
1
p
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TD N 2 : Actions m caniques
Question 2 :
Statique des solides
On parcours la surface
avec une surface
l mentaire :
=
dsRdR d
1
, puisque lon prend
un barrage de largeur
unitaire.
J
J
=
O
p
3
r
x
J
R
r
M
=
dfp zd s n
( )
L
r
M
h =
R
3
2
r
z
M
=
dsR d J
a
La force l mentaire qui agit sur cette surface l mentaire vaut :
vecteur normal unitaire la surface sur laquelle agit la pression.
Laction m canique l mentaire qui agit sur la surface en M est donc mod lisable par le torseur
( )
le
r
M
=
dfp zd s n
r
M
r
avec Mn
r
df
M
uuuur
OMdf
r
M
=
O
J
r
gz Rd n
M
J
r
r
r
M
Rngz Rd n
r
r
M
=
O
J
r
gz Rd n
r
0
M
en O :
O
Pour obtenir laction m canique globale des actions m caniques de leau sur le barrage, il suffit
de sommer cest dire dint grer les actions m caniques l mentaires :
{
Teaubarrage
(
O
}
)
=
r
O
=
pJ
3
gRzn d
=
J
r
0
0
r
M
J
, avec :
z
r
et
n
M
==
sin et
zRnx
JJ
des fonctions de
r
+
z
M
cossin
J
J
r
:
r
Do
r
(
=
Reauba
)
rragegRRx
rJ
p
3
0
(
+
sincossin
z
J
J
r
)
ReaubarragegRdxd
=
(
p
2
3
rJJJJ J
z
0
+
sincossin
r
r
r
)
d
J
p
3
0
2
r
r
=-+
ReaubarragegR
(
r
=+
ReaubarragegRx
(
)
)
r
r
2
(
x
cos 2
1
42
)
J
4
p
3
r
0
J
(
sin 2
z
J
)
p
3
r
0
r
2 3
z
86
p
8
3
r
Question 3 :
Le torseur tant de fa on vidente un torseur r sultante puisque lon a montr que
r
OMeaubarrage
. Donc le point O est un point central, et comme laxe central admet
comme vecteur directeur la r sultante du torseur, laxe central est donc la droite passant par O
r
) 0
=
(
et de vecteur directeur
+
3
r
x
43