TD N°1 : Centre d’inertie, Aire, Volume

Ce document traite des notions fondamentales en statique des solides, notamment le calcul du centre d’inertie, des aires et des volumes pour diverses formes géométriques usuelles. Il s’adresse principalement aux étudiants en sciences industrielles souhaitant maîtriser les méthodes d’intégration et les théorèmes de Guldin appliqués aux solides de révolution et aux surfaces planes.

Centre d’inertie, aire et volume du cône

Considérons un cône de révolution d’axe Oz, de rayon de base R et de hauteur h. La demi-section du cône est représentée par un triangle rectangle.

Le premier théorème de Guldin permet de calculer l’aire de la surface latérale du cône. Cette aire est égale au produit de la longueur de la génératrice L par le périmètre du cercle décrit par le centre d’inertie G de cette génératrice.

La génératrice a pour longueur :

L = √(R² + h²)

La distance du centre d’inertie G à l’axe Oz est :

r_G = R / 2

L’aire de la surface latérale du cône est donc :

A_cone = 2π r_G L = π R √(R² + h²)

Le volume du cône est obtenu par le second théorème de Guldin, qui exprime le volume comme le produit de l’aire de la surface triangulaire (base du cône) par le périmètre du cercle décrit par le centre d’inertie G de cette surface.

L’aire de la base triangulaire est :

A = (R h) / 2

La distance du centre d’inertie G de cette surface à l’axe Oz est :

r_G = R / 3

Le volume du cône est donc :

V_cone = 2π r_G A = (1/3) π R² h

Centre d’inertie, aire et volume du tore

Le tore est obtenu par la rotation d’un cercle de rayon a autour d’un axe situé à une distance R du centre du cercle (R > a).

Le premier théorème de Guldin donne l’aire de la surface du tore :

A_tore = (2π a) × (2π R) = 4π² R a

Le second théorème de Guldin permet de calculer le volume du tore :

Le volume est le produit de l’aire du disque de rayon a par le périmètre du cercle décrit par le centre du disque :

V_tore = π a² × 2π R = 2π² R a²

Position du centre d’inertie d’un secteur circulaire homogène

Considérons un secteur circulaire homogène de rayon R et d’angle a (en radians). On cherche la position du centre d’inertie G de cette surface.

Un point courant P du secteur est repéré en coordonnées polaires (u, θ) avec :

• u variant de 0 à R
• θ variant de 0 à a

La surface élémentaire est :

ds = u du dθ

Les coordonnées cartésiennes de P sont :

x_P = u cos θ

y_P = u sin θ

Par symétrie, la coordonnée y du centre d’inertie est nulle :

Gy = 0

La coordonnée x du centre d’inertie s’exprime par :

Gx = (1/S) ∫∫ x_P ds = (1/S) ∫₀^a ∫₀^R u cos θ × u du dθ = (1/S) ∫₀^a cos θ dθ ∫₀^R u² du

Calcul des intégrales :

∫₀^a cos θ dθ = sin a

∫₀^R u² du = R³ / 3

La surface totale est :

S = (1/2) R² a

Finalement :

Gx = (2 R sin a) / (3 a)

Applications :

• Pour un demi-cercle (a = π/2) :

Gx = (2 R sin(π/2)) / (3 π/2) = (4 R) / (3 π)

• Pour un demi-disque (a = π) :

Gx = (2 R sin π) / (3 π) = (4 R) / (3 π)

Centre de gravité d’une demi-sphère homogène

On considère une demi-sphère homogène de rayon R. Un point courant P est repéré en coordonnées sphériques (u, θ, φ) :

• u : rayon variable de 0 à R
• θ : angle azimutal de 0 à 2π
• φ : angle polaire de 0 à π/2 (demi-sphère)

Les coordonnées cartésiennes de P sont :

x_P = u sin φ cos θ

y_P = u sin φ sin θ

z_P = u cos φ

Le volume élémentaire est :

dV = u² sin φ du dφ dθ

Par symétrie, les coordonnées x et y du centre de gravité sont nulles :

Gx = 0

Gy = 0

La coordonnée z du centre de gravité s’exprime par :

Gz = (1/V) ∫∫∫ z_P dV

Calcul des intégrales :

V = (2/3) π R³

Gz = (3 R) / 8

On retrouve ce résultat également en considérant la demi-sphère comme un empilement de disques de rayon variable r(y) = √(R² - y²) et d’épaisseur dy.

Centre d’inertie d’une surface complexe et volume associé (rotule)

On considère une surface homogène définie par une fonction l(y) représentant la longueur variable d’un élément rectangulaire d’épaisseur dy situé à l’ordonnée y.

Le centre d’inertie G de cette surface est donné par :

Gx = (1/S) ∫ y l(y) dy

avec S la surface totale :

S = ∫ l(y) dy

La fonction l(y) est déterminée par la distance entre une droite verticale d’équation x = D et un cercle de rayon R :

l(y) = D - √(R² - y²)

Le calcul de la surface S et de la position Gx s’effectue par intégration, en tenant compte des limites appropriées.

Le volume de la rotule obtenue par rotation de cette surface autour de l’axe est donné par le second théorème de Guldin :

V_rotule = 2π Gx S

Ce volume correspond bien à celui d’une sphère lorsque D = h = R.

Glossaire des termes clés

• Centre d’inertie (G) : Point d’application de la résultante des forces de gravité sur une surface ou un volume homogène.
• Premier théorème de Guldin : L’aire d’une surface de révolution est égale au produit de la longueur de la courbe génératrice par le périmètre du cercle décrit par son centre d’inertie.
• Second théorème de Guldin : Le volume d’un solide de révolution est égal au produit de l’aire de la surface génératrice par le périmètre du cercle décrit par son centre d’inertie.
• Surface élémentaire (ds) : Petite portion infinitésimale de surface utilisée pour les intégrations.
• Volume élémentaire (dV) : Petite portion infinitésimale de volume utilisée pour les intégrations.
• Coordonnées polaires : Système de coordonnées dans un plan défini par un rayon et un angle.
• Coordonnées sphériques : Système de coordonnées dans l’espace défini par un rayon et deux angles.
• Symétrie : Propriété d’une figure ou d’un solide qui permet de simplifier les calculs en annulant certaines coordonnées du centre d’inertie.

Points clés à retenir

• Les théorèmes de Guldin sont essentiels pour calculer les aires et volumes des solides de révolution.
• Le centre d’inertie d’une surface homogène peut être déterminé par intégration en coordonnées adaptées (polaires, sphériques).
• La symétrie géométrique simplifie grandement le calcul des centres d’inertie.
• Le volume d’un cône est égal à un tiers du produit de l’aire de sa base par sa hauteur.
• Le volume et l’aire du tore sont calculés en multipliant respectivement l’aire du disque générateur et la longueur de la courbe génératrice par le périmètre du cercle décrit par le centre d’inertie.
• La position du centre d’inertie d’un secteur circulaire dépend de l’angle du secteur et du rayon.
• Le centre de gravité d’une demi-sphère est situé à une hauteur égale à 3R/8 au-dessus de sa base.
• Le calcul du centre d’inertie d’une surface complexe nécessite la détermination préalable de la fonction décrivant la longueur variable de l’élément d’intégration.