Sciences Industrielles
TD N°1 : Centre d ’inertie, Aire, Volume
Statique des solides
TD N°1 : Centre d’inertie,
Aire, Volume
Exercice 1 :
Déterminer la surface et l’aire du cône d’axe (
dessous :
r
);O z
dont on a représenté la demi-section ci-
R
a
r
z
h
O
Exercice 2 :
Déterminer la surface et l’aire du tore d’axe (
dessous :
r
);O z
R
dont on a représenté la demi-coupe ci-
r
z
a
Exercice 3 :
Déterminer la position du centre d’inertie du secteur circulaire homogène représenté ci-
dessous. Cette surface représente par exemple la surface de contact entre une plaquette de
frein et son disque sur un système de frein à disque de véhicule automobile.
En déduire l’expression
de la position du centre
d’inertie d’un demi
disque de rayon R et d’un
demi cercle de rayon R
r
a
R
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Exercice 4
Déterminer la position du centre de gravité d’une
demi-sphère homogène de rayon R
Statique des solides
Exercice 5 :(difficile au niveau des calculs)
Déterminer la position du centre
de gravité de la surface homogène
ci-contre
r
y
D
R
O
h
r
x
En déduire le volume de la
rotule ci-contre dont une section
est la surface déterminée au
dessus.
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Statique des solides
TD N°1 : Correction
Centre d’inertie
Exercice 1 :
Déterminons l’aire du cône enge ndrée par la rotation de la
et de centre d’inertie
2
+
=
LR
2
h
ligne bleu de longueur
G au milieu du segment bleu.
Le premier théorème de Guldin nous permet d’écrire
que cette surface est égale au produit de la longueur de
la ligne par le périmètre du cercle décrit par le centre
d’inertie G de cette ligne
On a donc :
p=
2
Sr L
cone
G
C’est à dire puisque
r =
G
R
2
:
coneSRR
hp=
2
+
2
Déterminons le volume du cône engendrée par la rotation de la
et de centre d’inertie
surface triangulaire rouge d’aire
A =
Rh
2
uuuruur
2
OGOI=
3
G au 2
3
des médianes en partant du sommet :
Le second théorème de Guldin nous permet d’écrire
que ce volume est égale au produit de l’aire de cette
surface par le périmètre du cercle décrit par le centre
d’inertie G de cette ligne
On a donc :
r
z
R
rG
h
O
G
I
G
rG
R
rG
r
z
h
O
G
cone
Vr A p=
2
0
RR
2
Or
uuuruur
2
-=-
==
OGOI
332
Þ=-
0
3
h
R
G
y
3
=
r
G
R
3
, d’où :
coneVR h
1
p=
3
2
h
2L
et de centre d’inertie
Exercice 2 :
Déterminons l’aire du tore engendrée par la rotation de la
Rp=
ligne bleu de longueur
G au centre du cercle bleu.
Le premier théorème de Guldin nous permet d’écrire
que cette surface est égale au produit de la longue ur de
la ligne par le périmètre du cercle décrit par le centre
d’inertie G de cette ligne
On a donc :
G
C’est à dire puisque Gr
a= :
p=
24
p=
2
Sr L
tore
toreSaR
R
a
Déterminons le volume du tore engendré par la rotation de la surface rouge d’aire
et de centre G au centre de la surface rouge.
Le second théorème de Guldin nous permet d’écrire que ce volume est égal au produit de
l’aire de la surface par le périmètre du cercle décrit par le centre d’inertie G de cette surface.
A
Rp=
2
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r
y
r
z
Ó
Þ
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r
z
R
a= :
toreVaR
p=
2
2
2
a
Vr A p=
2
On a donc :
G
C’est à dire puisque Gr
tore
Exercice 3
)
;u J que l’on fait varier de la façon
[
[
Ja aÎ
ur RÎ
On parcourt la surface circulaire par un point
courant P repérer par ses coordonnées
polaires (
suivante :
L’expression de la position du centre d’inertie
de la plaque circulaire est :
uuuruuur
=
OGOPdm
et
=
J a
=
u R
.
]
]
;
;
==-
u r
J a
1
M
La plaque étant homogène, les masses sont
proportionnelles aux surfaces et l’on peut
donc écrire :
uuuruuur
=
OGOPds
1 u R
=
==-
S
u r
=
J a
J
a
r
y
Secteur
angulaire dJ
O
du
P
r
uJ
J
r
x
Avec ds la surface élémentaire entourant le
point courant P, qui puisqu’elle est
infinitésimale, est un rectangle de coté du et
de secteur angulaire dJ au rayon u , c’est à
=
dire dsu d u d J
Surface élémentaire
ds de secteur
angulairedJ situé au
rayon u
r
y
En projetant la relation
uuuruuur
1 u R
=
=
OGO P u d u d
==-
S
u r
J
=
J a
a
J
avec
(
rp=
SR
2
2
)
r
sur les axes x
et
, on obtient les expressions des coordonnées du centre d’inertie G notés : Gx et Gy .
=
xxu d u d
G
1 u R
=
==-
S
u r
=
J a
J a
P
J
et
=
yyud u d
G
1 u R
=
==-
S
u r
=
J a
J
a
P
cartésiennes du point courant P.
Or les coordonnées cartésiennes du point P sont :
J
avec
Px et Py , les coordonnées
x
P
y
P
=
=
u
u
cos
sin
J
J
Cependant, par raison de symétrie de la pièce par rapport à l’axe des abscisses, on voit bien
Gy = , ce
que le centre d’inertie de la surface est sur l’axe des abscisses, c’est à dire que :
0
que l’on vérifiera plus tard par calcul.
=
J a
=
u R
On a donc :
=
xudu d
G
p
(
R
1
2
)
2
r
==-
u r
J
a
2
cos
J
J
Les deux variables d’intégration étant indépendantes l’une de l’autre, l’intégrale double est
en fait le produit des deux intégrales simples, soit :
=
xudu
G
1
222
RrR
(
p
=
u R
d
==-
u r
2
)
2
r
=
J a
J
a
cossin
JJ
1
=
(
p
3
u
3
)
R
r
[
J
a
]
a
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ò
ò
-
ò
ò
ò
ò
ì
í
î
-
ò
ò
-
é
ù
é
ù
é
ù
ê
ú
ê
Publicité
ú
ê
ú
ë
û
ë
û
-
-
ë
û
ò
ò
-
ò
ò
ò
ò
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Statique des solides
=-
x
G
=
=
3
R
p
(
(
R
2sin
3
p
(
2sin
D’où :
x
G
=
1
2
r
2
)
)
3
r
(
2
R
2
r
3
r
3
R
r
sinsin
a
(
)
a
3
R
3
a
)
2
2
-+
)(
+
R rRRr
r
(
)(
3
R r R r
p
(
+
2
RRr
2sin
+
+
2
r
(
3
p
)
)
)
)
a
a
+
R r
Gy = :
0
Vérifions par calcul que
1
2
On a donc :
=
yudu d
G
p
R
(
=
u R
=
J a
==-
u r
J a
)
2
r
2
sin
J
J
Les deux variables d’intégration étant indépendantes l’une de l’autre, l’intégrale double est
en fait le produit des deux intégrales simples, soit :
==
xudu
G
p
1
222
RrR
(
=
u R
d
==-
u r
2
)
2
r
=
J a
J
a
sincos
JJ
1
(
p
3
u
3
)
[
R
r
J
a
]
a
=-
y
G
1
-+
2
(
R
p
)
2
r
3
R
3
R
3
r
)
coscos
a
û 144424443
3
a
(
r
0
; d’où le résultat :
Gy =
0
Appliquons ce résultat à un demi-cercle de rayon R :
Un demi-cercle de rayon R est une plaque circulaire pour laquelle
a =
p
2
et r R=
.
Il suffit donc d’appliquer la relation trouvée précédemment à ces valeurs. On obtient donc :
=
x
G
R
p
Appliquons ce résultat à un demi-disque de rayon R :
Un demi-disque de rayon R est une plaque circulaire pour laquelle
a =
p
2
et
r = .
0
Il suffit donc d’appliquer la relation trouvée précédemment à ces valeurs. On obtient donc :
=
x
G
2
R
3
p
Exercice 4 :
On repère un point courant P de la demi- sphère par ses coordonnées sphériques (
)
;u J j .
;
Les coordonnées cartésiennes sont alors égales à :
=
=
x
P
y
P
z
P
u
sincos
j
u
=
sinsin
j
u
cos
j
J
J
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ù
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ù
-
-
ê
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-
ë
û
-
-
-
-
ò
ò
-
é
ù
é
ù
é
ù
-
ê
ú
ê
ú
ê
ú
ë
û
ë
û
-
-
ë
û
ò
ò
é
ù
é
ù
-
ê
ú
ë
û
-
ë
ì
ï
í
ï
î
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Statique des solides
Pour que le point courant P parcourt toute la demi-sphère, il faut que les coordonnées
R
[
]
0;
[
]
]
[
duudu
,etsin
0;
0;
p
p
djj J
r
z
sphériques varient dans les domaines respectifs suivants:
u
J
j
Le volume élémentaire est alors un parallélépipède de coté :
Soit le volume élémentaire suivant :
2 sin
dVudud d jj J
=
P
j
Longueur du volume
élémentaire :
sinu
dj J
Longueur du volume
élémentaire : u dj
Longueur du volume
élémentaire : du
O
J
uuur
uOP=
r
y
r
x
)
Par raison de symétrie du volume par rapport aux axes choisis, on s’aperçoit que le centre
d’inertie G de la demi-sphère se situe sur l’axe (
. Les coordonnées de G sur les axes
r
(
;O x
L’expression de la position du centre d’inertie de la demi-sphère est :
uuuruuur
=
OGOPdm
sont donc nulles, ce que l’on démontrera par calcul.
r
);O z
r
;O y
et (
Jpj p
=
u R
)
=
=
1
M
=
0
u
J
=
0
=
j
0
La demi-sphère étant homogène, les masses sont proportionnelles aux volumes et l’on peut
donc écrire :
uuuruuur
=
OGOPdV
u
1 u R
=
=
V
0
=
Jpj p
=
J
=
0
j
=
0
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ì
Î
Î
Î
ï
í
ï
î
ò
ò
ò
ò
ò
ò
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En projetant la relation
axes (
et (
,(
)
G notés : Gx , Gy et Gz .
r
;O y
r
;O x
)
=
=
u R
Jpj p
uuuruuur
1
=
=
OGO Pud ud d
=
V
0
r
);O z
, on obtient les expressions des coordonnées du centre d’inertie
2
Rp=
3
jJ j
avec
sur les
sin
V
=
Publicité
0
J
j
=
u
0
2
3
2
2
0
0
0
u
2
u
=
=
=
=
=
=
=
j
j
P
P
P
J
J
J
=
0
=
0
,
=
=
=
Jpj p
sin
sin
sin
=
Jpj p
=
J p j p
jJ j
jJ j
jJ j
1
=
u R
yyud ud d
G
=
V
0
1
=
u R
xxudud d
G
=
V
0
1
=
u R
zzud ud d
G
=
=
V
0
u
0
j
du point courant P.
En exprimant les coordonnées cartésiennes de P rappelées précédemment et en remarquant
que les trois variables d’intégration (les trois coordonnées sphériques) sont indépendantes
(c’est à dire que les intégrales triples sont égales au produit des trois intégrales), on
obtient :
·
Px , Py et Pz , les coordonnées cartésiennes
cossin
d
JJ
avec
or
Jpj p
et
0
J
=
J p
==
u R
=
=
,
d
]
[
p
2
3
==
00
J
=
cossin
JJj j
=
0
j
J
=
0
0
u
3
donc
3
=
xudud
G
2
R
p
Gx =
0
3
=
zudud
G
2
R
p
3
u
·
·
==
u R
==
00
3
=
Jpj p
d
=
0
J
Jjj j
j
cossin
14243 or
)
(
sin 2
j
1
2
(
j
)
p
=
0
1
0
4
Jpj p
=
sinsin
JJj j
=
0
j
J
, donc
Gz =
0
2
cos
J
p
]
0
(
1cos 2
j
)
÷
d
j
=
j p
j
=
0
2
p j
]
cossin 2
J
0
1
(
)
j
p
0
, soit :
y
G
=
3
2
R
p
3
4
R
4
( )
2
p
ç ÷
2
, doù :
=
J p
J
=
0
1
2
)
(
d
sin2cos2
jj
=-
3
=
yudud
G
R
2
p
3
=
y
G
3
R
24
p
3
==
u R
==
00
u
4
u
=-
y
G
3
242
R
p
3
4
u
4
3
d
[
[
R
0
R
0
y =
G
R
3
8
Autre méthode : On peut parcourir tout la demi-sphère en « empilant » des disques de rayon
variable en fonction de y et d’épaisseur élémentaire dy .
r
y
)
0;; 0y
M (
centre d’inertie du
disque élémentaire de rayon
r(y), d’épaisseur dy
uuuruuuur
=
OGOMdV
y
1 y R
=
V
=
0
Soit, sur la seule coordonnées non nulle
=
y R
de G :
3
=
yyrydy
G
R
2
p
3
=
0
y
{
M
y
[
p
]2
( )
r
x
O
r
z
Il faut donc déterminer la fonction r(y) avant de pouvoir intégrer.
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ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
é
ù
ë
û
ò
ò
ò
ò
æ
ö
-
é
ù
-
ç
ê
ú
ë
û
è
ø
ò
é
ù
é
ù
-
ê
ú
ê
ú
ë
û
ë
û
æ
ö
è
ø
ò
ò
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L’équation du cercle contenu dans le plan (
r
coordonnées suivant x
On peut donc reprendre le calcul de la position du centre d’inertie de notre demi-sphère :
d’un point décrivant ce cercle. D’où :
, or r(y) est la
ryR
( )
est
y=
R
=
+
.
x
y
)
2
2
2
2
2
r r
;O x y
;
=
yy
G
3
R
2
R
p
3
=
yyRydy
G
R
2
3
=
y
G
=
y
G
3
R
22
3
3
R
3
2
=
y R
ydy
3
=
0
y
p
2
2
(
=
y R
=
Publicité
0
y
22
yR
4
2
4
y
)
3
R
0
4
R
4
. On retrouve donc bien le même résultat, c’est à dire :
y =
G
R
3
8
Exercice 5
r
y
D
R
r
x
O
dy
y
l(y)
h
On choisi comme élément
d’intégration, un rectangle
situé à l’ordonnée y, de
hauteur, dy et de longueur
variable l(y).
Le centre d’inertie P de cet
élément est donc à la
position :
uuur
=+
OPDxyy
.
r
r
( )
l y
+
÷
2
Avant d’intégrer pour
obtenir la position du
centre d’inertie de la
surface, il nous reste donc
à déterminer la fonction
l(y).
Remarque : Ce type d’intégration peut bien sûr s’appliquer à d’autre surface, pour lesquelles
la fonction l(y) serait différente.
Calcul de la fonction l(y) :
La longueur l(y) est la distance entre la droite verticale d’équation x D=
x
centre O et de rayon R, d’équation :
et le cercle de
, soit pour la partie qui nous intéresse
R
+
=
y
2
2
2
=
xR
2
y
2
. On a donc la relation suivante :
lyR
( )
=-
y
2
D
2
Calcul de la position du centre d’inertie G de la surface :
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Ó
-
é
ù
-
ë
û
ò
-
ò
é
ù
-
ê
ú
ë
û
-
-
æ
ö
ç
è
ø
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uuuruuur
=
OGOPdm
1
M
h
2
h
2
=
y
=-
y
On part de la relation général :
homogène, peut s’écrire :
uuuruuur
1
=
OGOPds
S
Calcul de S (surface globale) :
hh
==
yy
-=-+
===-
Sdsl ydyR
22
hh
=-=-=-
yy
22
h
=
y
yDdyyR
()arcsin
2
h
y
2
yRDy
2
2
hh
=-+
SRRDh
24
h
2 arcsin
2
÷
R
qui, puisque le solide est par hypothèse
avec
dsl ydy=
( )
.
222
2
2
1
2
y
÷
R
=
y
h
2
=-
y
h
2
On peut donc reprendre le calcul de la position du centre d’inertie G :
r
Par raison de symétrie, on cherche en fait la seule coordonnée sur l’axe x
r
puisque celle sur y
doit être nulle :
du centre d’inertie,
. Soit le calcul suivant :
=
xxds
G
1
S
=
y
=-
y
h
2
h
2
P
xR
G
=+-
yDdy
hh
-+
2
RRDh
24
=-
xR
G
yDdy
hh
-+
2
RRDh
24
=-
xRDy
G
hh
24
y
-+
2
RRDh
(
2
2
2
1
2
h
arcsin
2
÷
R
1
2
h
arcsin
2
11
2
h
arcsin
2
)
÷
R
÷
R
3
h
2
2
RD h
=
y
h
2
= -
y
h
2
=
y
h
2
h
2
(
= -
y
1
2
1
2
D
2
2
R
2
y
2
2
2
2
2
2
22
)
3
3
h
2
h
2
=
x
G
224
2
-+
2
RRDh
hh
24
2
h
arcsin
2
÷
R
Déterminons le volume de la rotule :
Il suffit d’appliquer le second théorème de Guldin :
Vx S
rotule
p=
2
.
G
D’où :
VRD hp
rotule
=-
(
2
2
)
3
h
12
Remarque : On retrouve bien le volume d’une sphère
3
Rp
pour
4
3
=
D
=
h
0
R
2
Emmanuel FARGES
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